Частотные характеристики дискретных фильтров

Лекция 8

Вопросы лекции:

1. Понятие частотной характеристики.

2. АЧХ и ФЧХ БИХ- и КИХ-фильтров.

3. Свойства частотной характеристики.

Литература:

Понятие частотной характеристики

Рассмотрим входную последовательность вида

, (1)

если такая последовательность поступает на вход ЛДСС с импульсной характеристикой , то на выходе системы формируется последовательность

(2)

Таким образом, для последовательности выходная реакция ЛДСС определяется произведением входной последовательности на комплексный коэффициент , который называется частотной характеристикой и определяется как

(3)

Частотную характеристику дискретного фильтра также определяют как отношение преобразования Фурье выходной последовательности к преобразованию Фурье входной последовательности при нулевых начальных условиях

, (4)

где нормированная частота.

Частотная характеристика (ЧХ) представляет собой коэффициент передачи фильтра для каждого значения частоты .

Частотная характеристика совпадает с передаточной функцией при , т.е. на окружности единичного радиуса:

. (5)

На рис. 1 показана связь точек единичной окружности и частот:

· Точке соответствует ;

· точкам соответствуют ;

· точке соответствуют (рис. 7).

Рис. 1. Связь точек единичной окружности и частот

Часто возникает необходимость представить частотную характеристику фильтра или спектральный состав дискретной последовательности не в безразмерных единицах нормированной частоты, а в единицах частоты, связанной с периодом дискретизации . В этом случае пользуются соотношением для нормализованной частоты , с его помощью или . Например, при частотная характеристика периодична с частотой дискретизации , а

2. ЧАСТОТНЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ КИХ-ФИЛЬТРОВ И БИХ-ФИЛЬТРОВ

Используя передаточные функции рекурсивных, нерекурсивных, выражение (4), а также связь между передаточной функцией и частотной характеристикой (5), можно записать общие формулы для частотных характеристик дискретных фильтров.

КИХ-фильтр:

(6)

(7)

АМПЛИТУДНО-ЧАСТОТНАЯ И ФАЗО-ЧАСТОТНАЯ ХАРАКТЕРИСТИКИ

Частотная характеристика - комплексная функция. Ее можно представить в виде

. (8)

Амплитудно-частотной характеристикой называется функция

. (9)

Фазочастотной характеристикой (ФЧХ) называется функция

. (10)

АЧХ устанавливает связь между амплитудами, а ФЧХ — между фазами выходного и входного сигналов фильтра. Если

(11)

то в установившемся режиме

(12)

где

(13)

(14)

Общие формулы АЧХ КИХ-фильтра и БИХ-фильтра получаются из (1.61) и (1.62):

(15)

(16)

Учитывая (10), запишите самостоятельно формулы для ФЧХ фильтров.

3. СВОЙСТВА ЧАСТОТНЫХ ХАРАКТЕРИСТИК

Частотную характеристику можно рассматривать как спектр импульсной характеристики. Действительно, из (3) следует, что частотная характеристика является преобразованием Фурье импульсной характеристики:

(17)

Следовательно, свойства ЧХ фильтра во многом совпадают со свойствами спектра дискретного сигнала. Ниже приведены основные свойства частотных характеристик дискретных фильтров.

• Частотная характеристика является периодической функцией по частоте, с периодом, равным частоте дискретизации.

• АЧХ и ФЧХ также являются периодическими функциями с тем же периодом.

• Для фильтров с вещественными коэффициентами АЧХ — четная функция, а ФЧХ — нечетная функция.

• Для полного описания частотной характеристики фильтра с вещественными коэффициентами достаточно задать ее в основной полосе частот или .