Поиск оптимального решения. Поиск оптимальных решений

Поиск оптимальных решений. Экономические приложения

Задача производственного планирования

Постановка задачи

Предприятие располагает ресурсами двух видов в количестве 120 и 80 ед. соответственно. Эти ресурсы используются для выпуска продукции I и II, причем расход на изготовление единицы продукции первого вида составляет 2 ед. ресурса первого вида и 2 ед. ресурса второго вида, единицы продукции второго вида - 3 ед. ресурса первого вида и 1 ед. ресурса второго вида. Прибыль от реализации единицы продукции первого вида составляет 600 руб., второго вида - 400 руб. Составить план выпуска продукции, обеспечивающий наибольшую прибыль, при условии, что продукции первого вида должно быть выпущено не менее продукции второго вида.

Разработка математической модели

Сведем данные условия задачи в таблицу:

Виды ресурсов	Виды продукции	Запасы ресурсов
Продукция I	Продукция II
Ресурс 1
Ресурс 2
Прибыль от реализации, ед.

Обозначим через x₁ количество единиц Продукции I, а через x₂ – количество единиц Продукции II. Требуется составить оптимальный план работы предприятия, т.е. найти такие значения переменных x₁ и x₂ (объем выпуска продукции каждого вида), чтобы обеспечить предприятию получение максимальной прибыли от реализации всей продукции и чтобы на ее производство хватило имеющихся в распоряжении ресурсов.

Математическая модель задачи выглядит следующим образом.

Целевая функция имеет вид:

Целевая функция (ЦФ) представляет суммарную прибыль.

Ограничения имеют вид:

Уравнения ограничений модели представляют собой ограничения задачи по расходу соответствующего ресурса, в ходе выполнения плана можно использовать либо весь запас этого ресурса либо часть его. Третье неравенство представляет дополнительное условие на объем производства Продукции I, он должен быть не менее объема производства Продукции II т.е. . Перенесем x₂ в левую часть неравенства и получим

Граничные условия представляют тот факт, что объем производства продукции не может быть отрицательным.

Разработка и создание электронной модели

Электронная модель будет иметь следующий вид:

В режиме отображения формул

В режиме отображения значений

Поиск оптимального решения

1.Выполнить команду меню СервисÞПоиск решения.

2.Ввести параметры в окно диалога Поиск решения.

Нажать кнопку <Параметры> и установить Линейную модель и Неотрицательные значения переменных (см. Граничные условия). Нажать кнопку <OK>.

После задания всех ограничений и установки параметров запустить процедуру поиска решений, нажать кнопку <Выполнить>.

Результат поиска решения

Самостоятельная работа

Разработать математическую модель, найти оптимальное решение задач.

1. Фабрика выпускает три вида тканей. Суточные ресурсы фабрики следующие: 700 ед. производственного оборудования, 800 ед. сырья и 900 ед. электроэнергии, расход которых на единицу ткани представлен в таблице.

Ресурсы	Ткани
I	II	III
Оборудование
Сырье
Электроэнергия

Цена одного метра ткани I равна 8 руб., ткани II - 7 и ткани III - 6 руб. Сколько надо произвести ткани каждого вида, чтобы прибыль от реализации была наибольшей?

2. Завод выпускает изделия двух типов: А и В. При этом используется сырье четырех видов. Расход сырья каждого вида на изготовление единицы продукции и запасы сырья заданы следующей таблицей:

Изделия	Сырье
I	II	III	IV
А
B
Запасы сырья

Выпуск одного изделия типа А приносит 3 денежные единицы прибыли, одного изделия типа В - 2 денежные единицы. Составить план выпуска продукции, обеспечивающий наибольшую прибыль.

3. Компания производит полки для ванных комнат двух размеров А и В. Агенты по продаже считают, что в неделю на рынке может быть реализовано до 550 полок. Для изготовления 1 полки типа А требуется 12 мин. машинного времени, а для изготовления одной полки типа В - 30 мин.; можно использовать 160 ч. машинного времени в неделю. Если прибыль от продажи полок типа А составляет 3 долл., а от полок типа В - 4 долл., то сколько полок каждого типа следует выпускать в неделю?

4. Коммерческому отделу поручили проанализировать совместную деятельность подразделений фабрики по изготовлению и продаже двух видов краски для внутренних (В) и наружных (Н) работ, которая поступает в продажу по цене 3 тыс. руб. и 2 тыс. руб. за 1 т. Для производства красок используют два вида сырья А и В, максимально возможные суточные запасы которых составляют 3 т и 4 т. Расходы сырья на производство 1 т красок приведены в таблице.

Сырье	Расход сырья на 1 т краски, т	Запасы сырья, т
наружных работ, Н	внутренних работ, В
А	0,5	1,0
В	1,0	0,5
Цена 1 т, тыс. руб.

Изучение конъюнктуры спроса на рынке сбыта показало, что суточный спрос на краску для внутренних работ никогда не пре­вышал спроса на краску для наружных работ более чем на 1,5 т, а спрос на краску для внутренних работ никогда не превышал 2 т в сутки. Какое количество краски каждого вида необходимо произ­водить, чтобы доход от ее реализации был максимальным?

Кроме того, известно, что план фабрики должен предусмот­реть обязательный выпуск красок, производство которых не опу­скалось ниже 0,25 т, для красок для наружных работ и ниже 0,5 т – для красок для внутренних работ.

5. Фирма производит для автомобилей запасные части типа А и В. Фонд рабочего времени составляет 5000 чел.-ч в неделю. Для производства одной детали типа А требуется 1 чел.-ч, а для про­изводства одной детали типа В – 2 чел.-ч. Производственная мощность позволяет выпускать максимум 2500 деталей типа А и 2000 деталей типа В, в неделю. Для производства деталей типа А уходит 2 кг полимерного материала и 5 кг листового металла, а для производства одной детали типа В – 4 кг полимерного мате­риала и 4 кг листового металла. Еженедельные запасы каждого материала – соответственно 10 и 12 т. Общее число производи­мых деталей в течение одной недели должно составлять не менее 1500 штук.

Определите, сколько деталей каждого вида следует произво­дить, чтобы обеспечить максимальный доход от продажи за неде­лю, если доход от продаж одной детали типа А и В составляет со­ответственно 110 и 150 руб.

6. Фермер выращивает две сельскохозяйственные культуры: культуру А и культуру В. Доход от культуры А составляет 7 тыс.ден.ед./га, от культуры В – 5 тыс.ден.ед./га. Для возделывания культуры А необходимо 20 т/га горючего, культуры В – 30 т/га. Лимит горючего составляет 190 т. Норма внесения удобрений составляет для культуры А – 2 т/га, для культуры В – 1 т/га. Лимит удобрений составляет 12 т. Посадочного материала для каждой из культур требуется 3 т/га, лимит посадочного материала для культуры А – 15 т, для культуры В – 18 т. Какую посевную площадь следует отвести фермеру для каждой из культур, чтобы доход был наибольшим?

7. Производственная мощность цеха составляет 6 прессформ и 18 штампов в сутки. ОТК может пропустить в сутки не более 10 изделий того или другого типа (безразлично). На изготовление одной прессформы расходуется 5 кг легированной и 7 кг углеродистой стали, одного штампа – 1 и 2 кг, соответственно. Суточный лимит легированной стали составляет 26 кг, углеродистой – 40 кг. Прибыль от изготовления прессформы вчетверо больше, чем от изготовления штампа. Требуется так спланировать выпуск продукции, чтобы прибыль была максимальной.

8. В хозяйстве под зерновые культуры А и В может быть выделено до 100 га посевной площади. Затраты труда составляют для культуры А – 300 чел.-час/га, для культуры В – 150 чел.-час/га. Урожайность культуры А составляет 20 ц/га, культуры в – 10 ц/га. Хозяйство должно сдать не менее 160 т зерна (любого). Доход от культуры В составляет 5 тыс.ден.ед/га, культура А приносит хозяйству убыток в размере 1 тыс.ден.ед/га. Превышение дохода над убытками должно составлять не менее 50 тыс.ден.ед. Какую посевную площадь следует выделить под каждую культуру, чтобы затраты труда были наименьшими?