Напряжения и деформации при растяжении. Закон Гука

Рассмотрим призматический стержень с постоянной площадью поперечного сечения F, к концам которого приложена распределенная нагрузка, равнодействующая которой равна P (рис. 3.4).

На элементарную площадку dF действует элементарное усилие dN.

Отсюда dN = σ dF или N = σ dF (3.1)

В формуле (3.1) неизвестен закон распределения нормальных напряжений по площади поперечного сечения. Для ответа на этот вопрос на боковую поверхность элемента нанесем систему линий, перпендикулярных продольной оси элемента. После приложения нагрузки отмечаем, что эти линии не деформируются, а перемещаются поступательно. Это возможно в том случае, когда напряжения s по площади поперечного сечения распределены равномерно. Это предположение впервые высказал голландский ученый Д. Бернулли.

Гипотеза Бернулли – сечения плоские до деформации, остаются плоскими и после деформации.

Следовательно, формула (3.1) может быть записана как:

N = σ dF = σF

Отсюда найдем s = (3.2)

Для определения деформаций рассмотрим призматический стержень длиной l с размерами поперечного сечения a и b. После приложения нагрузки стержень удлинился и длина его стала равной l₁, а размеры поперечного сечения уменьшились и стали равными a₁ и b₁ (рис. 3.5).

На расстоянии z выделим участок стержня длиной dz. После приложения нагрузки его длина станет равной dz + Δdz.

Согласно определению относительная деформация

= , или Δ dz = ε dz

С учетом гипотезы Бернулли, если σ = const, следовательно, и ε = const, получим:

Δl = Δε dz = ε dz = εl

Продольная деформация при простом растяжении равна

= (3.3)

Здесь Δl - абсолютная продольная деформация.

Рассуждая аналогично найдем поперечные деформации, которые берутся со знаком «-», так как сечение сужается.

= - ; = -

Величины - Δa и Δb - абсолютная поперечная деформация.

Для изотропных материалов

| | = | | = ε¹

Французский ученый Пуассон установил, что отношение

| | = μ есть величина постоянная. (3.4)

Как будет показано ниже, коэффициент Пуассона μ меняется в пределах

0≤ μ ≥0,5 (3.5)

На основании гипотезы о линейной зависимости между напряжениями и деформациями (1.18) можно записать

σ = εE (3.6)

σ = εE = E или = E, отсюда

(3.7)

Формула (3.7) - закон Гука для абсолютной деформации элемента.

EF - жесткость стержня при растяжении.

Принцип Сен-Венана

Формулы (3.2) и (3.7) получены для случая растяжения стержня распределенной нагрузкой, приложенной к его торцам. В том случае, когда нагрузка прикладывается другим способом (рис. 3.6 а, в, с), гипотеза Бернулли наблюдается только в тех сечениях, которые удалены от места приложения ее на расстояние а, превышающее 1,5-2 раза больший его поперечный размер.

В этом случае напряжения у мест приложения нагрузки распределены не равномерно, о чем свидетельствуют деформации у мест приложения нагрузки. Это явление по имени французского ученого называется принципом Сен-Венана.

Принцип Сен-Венана - при нагружении элемента статически эквивалентной нагрузкой, у которой главный вектор и главный момент одинаковы, в сечениях, достаточно удаленных от мест приложения нагрузки, напряжения мало зависят от способа приложения нагрузки.