Законы соответствия и симметрии

Формально систему объектов рода i можно рассматривать как конечное или бесконечное множество объектов-систем, заданное посредством такого основания А_i которое включает в себя a Í { А_i⁽⁰⁾}, r Í { R_i}, z Í {Z_i} . Это отождествление позволяет автома­тически переносить понятия и теоремы теории конечных и беско­нечных, неразмытых и размытых множеств на область ОТС и тем самым развивать последнюю и как теорию конечных и бесконечных, неразмытых и размытых систем. Именно путем простого переноса знаний мы докажем существование важных для ОТС законов соответствия и симметрии. Однако прежде чем давать их определения и приводить теоретико-множественные схемы их доказательств, сделаем необходимые пояснения.

По аналогии с теорией множеств будем считать, что беско­нечная система объектов-систем рода В —S_B = {a, b, c,...} имеет ту же мощность, что и бесконечная система объектов-систем рода С — S_c = (a,b,g,...}, если существует взаимно однозначное соответствие между объектами-системами этих систем хотя бы по одному какому-нибудь закону (a)f = a (где f — закон фун­кционального отношения). В силу сказанного можно утвер­ждать, что S_c равномощно S_B, и писать | S_C| ~ | S_B|, где знак ~ (тильда) есть одновременно знак эквивалентности, поскольку определенное таким образом отношение есть отношение эквива­лентности.

Очевидно, понятие одинаковой мощности для конечных сис­тем объектов сводится к понятию равного числа объектов-систем, к равночисленности. Это означает, что понятие мощно­сти есть обобщение понятия числа элементов. И подобно тому как для двух конечных систем родов В и С с числом элементов n1, и n2 возможно только одно из трех соотношений n₁=n₂, n₁>n₂, n₁ <n₂, для двух бесконечных систем объектов S₁ и S₂ с мощностями, выраженными кардинальными числами m₁, и m₂, также возможно лишь одно из трех соотношений m₁ = m₂, m₁ >m₂, m₁ <m₂.

Предложения 24, 25. Законы соответствия и симметрии. Между любыми двумя системами объектов-систем S₁ и S₂ воз­можны соотношения лишь следующих четырех видов:

1) S₁ и S₂ взаимно эквивалентны и симметричны;

2) в S₁ есть собственная часть, эквивалентная и симметрич­ная S2, а в S₂ есть собственная часть, эквивалентная и симмет­ричная S₁.

3) в S₁ есть собственная часть, эквивалентная и симметрич­ная S₂, но в S₂ нет собственной части, эквивалентной и симмет­ричной S₁;

4) в S₂ есть собственная часть, эквивалентная и симметрич­ная S₁; но в S₁ нет собственной части, эквивалентной и симмет­ричной S₂.

Соотношение (5) такое, что в S₁, нет собственной части, эквивалентной и симметричной S₂, и в S₂ нет собственной части, эквивалентной и симметричной S₁; такое соотношение невоз­можно.

Предложение 24. Закон соответствия, как и в теории мно­жеств, в ОТС доказывается посредством аксиомы выбора Э. Цермело. Кроме того, важно учесть, что, согласно теореме Г. Кантора — С. Н. Бернштейна, гласящей «если каждое из двух множеств (систем) эквивалентно части другого, то данные мно­жества эквивалентны», случай (2) сводится к случаю (1). Отсю­да следует несовместимость соотношений m₁=m₂, m₁<m₂, m₁>m₂, где m₁, m₂— мощности соответственно S₁ и S₂.

Предложение 25. Закон симметрии, заключающийся в том, что существование между произвольными системами S1 и S₂ сим­метрии одного из четырех, а с учетом теоремы Кантора — Бернштейна — трех родов, выводится по крайней мере из того, что а) отношение эквивалентности (в нашем случае — «равномощности»), так или иначе реализующееся между системами, уже содержит требование взаимной симметричности, в чем мы убедились, анализируя отношение «равенство — симметрия»;

б) взаимно однозначные отображения, посредством которых установлены четыре (три) перечисленных в законе соответствия вида эквивалентности, представляют собой каждый раз совокуп­ность отображений, являющуюся математической группой отно­сительно принятого в ней закона композиции отображений. Действительно, такая совокупность (1) содержит тождественное отображение е, переводящее каждый элемент k Í Si (i=l,2) в себя; (2) для каждого отображения a : a®a' системы S₁ в S₂ содержит ему обратное a^--1 : a' ® a системы S₂ в S₁; (3) вместе с каждой парой отображений a , b содержит их произве­дение ab.

Учитывая поставленные в этом разделе задачи, остановимся подробнее на законе симметрии. Согласно этому закону, су­ществует, во-первых, межсистемная симметрия между любыми двумя системами родов А и В, во-вторых, внутрисистемная симметрия. Если же S_A и S_B рассматриваются как подсистемы некой новой системы S_C, то можно говорить о симметрии системы в целом.

Очевидно, мы придем не к 4(3), а к большему числу межси­стемных симметрии, если будем сопоставлять S_A и S_B по их системообразующим параметрам, т. е. по 1) m; 2) r; 3) z; 4) m, r; 5) m, z; 6) r, z; 7) m, r, z, которым в случае sa соответ­ствуют 7 множеств: {М_A} {R_A}, {Z_A}, {M_A, R_A}, {M_A, Z_A}, {R_A, Z_A}, {M_A, R_A, Z_A}, а в случае S_B — 7 множеств: {М_B} {R_B}, {Z_B}, {M_B, R_B}, {M_B, Z_B}, {R_B, Z_B}, {M_B, R_B, Z_B}. Между любыми множествами первых семи совокупностей и любыми множествами вторых семи совокупностей в свою очередь можно обнаружить различные эквивалентности и симметрии — всего 7´7 = 49 родов (типа : {М_A} ~{М_B}, {М_A} ~{R_B}…. {M_A, R_A, Z_A} ~ {M_B, R_B, Z_B}, a c yчeтом трех принципиальных разновидностей (перечисленных в за­конах соответствия и симметрии) —49´3=147 видов.

Подобным образом мы придем не к 4(3), а к 28 внутриси­стемным симметриям, если будем каждое из 7 множеств — {М}, {R}, {Z}, {M, R}, {М, Z}, {R, Z), {М, R, Z} — системы S_A или S_B сопо­ставлять как с самим собой, так и с любым другим множеством из 6 оставшихся. При учете же трех принципиальных разно­видностей таких внутрисистемных симметрий будет, естественно, не 28, а 28´3 = 84. Всего же для произвольных систем S_A и S_B возможно 49 + 28´2= 105 родовых и 105´3 = 315 видовых меж- и внутрисистемных симметрий.

Мы придем к иным классам системного изоморфизма и симметрии, если последние будем рассматривать с точки зрения 9 видов полиморфизма. Очевидно, согласно логике, мы обязаны 9 видов полиморфизма дополнить 9 видами системного изомор­физма и симметрии (см. схему выше) и еще 36 — из-за возможного изоморфизма между любыми парами полиморфиз­мов из 9 возможных. В итоге мы получим 45 различных систем­ных изоморфизмов и симметрии, а с учетом трех возможных разновидностей — 45´3= 135.

В учении о системных соответствиях и симметриях можно существенно продвинуться, если учесть, что требованиям законов соответствия и симметрии отвечают все формы существования материи — пространство (П), время (В), движение (Д) — и их «носитель», субстрат (С). Новые классы изоморфизма и симмет­рии можно вывести посредством следующих рассуждений.

Теоретически возможны такие 15 систем объектов данного типа: П, В, Д, С, ПВ, ПД, ПС, ВД, ВС, ДС, ПВД, ПДС, ВДС, ПВС, ПВДС. Если же различать порядок компонентов, то по­добных систем будет 64. С учетом их изомерийных, неизомерийных и изомерийно-неизомерийных случаев таких систем будет в первом случае 15´3 = 45, во втором — 64´3 = 192. С точки зрения законов соответствия и симметрии между любыми двумя системами объектов данных родов — одного и того же или разных типов — возможны соотношения эквивалентности и сим­метрии одного из трех родов. Тогда число возможных эквивалентностей и симметрии без учета и с учетом трех их разновидностей будет 120 и 360 — для систем 15-ти; 1035 и 3105 — для систем 45-ти; 2080 и 6240 — для систем 64-х, 18528 и 55584—для систем 192 разных типов. Отметим, что число возможных эквивалентностей и симметрии — å_n и полнота перебора определялись посредством формулы суммы первых n членов арифметической прогрессии вида å_n = (а₁ +а_n) • n/2 (где а₁ — первый, а_n — n-й член прогрессии). Например, для систем 15 разных типов å₁₅ = (1 + 15) • 15/2= 120 разным эквивалентностям и симметриям.

Закон системного сходства

Понятие «эквивалентность» в законе соответствия можно заме­тить понятием «системный изоморфизм», поскольку первая — частный случай второго и второй предъявляет к сопоставляе­мым системам менее жесткие требования, чем первая. Это сразу же приводит к закону системного изоморфизма — закону сис­темного сходства, а тем самым автоматически к 4(3), 315, 360, 3105, 6240, 55584 (соответственно перечисленным выше числам видов симметрии и соответствий), к механическим, физическим, химическим, геологическим, биологическим, социальным, а так­же к пространственным, временным, динамическим, субстанцио­нальным системным изоморфизмам.

В философском плане эти выводы интересны тем, что они одновременно приводят к экспликации новых понятий об основ­ных и производных формах существования материи, об основных и производных формах пространства, времени, движения, суб­станции, а также об основных и производных формах их сочета­ний и размещений по 1, 2, 3 и 4. Как и в случае введения нового понятия «формы изменения материи», здесь также речь идет о содержательных вещах. Например, понятию «основные и про­изводные формы существования материи» отвечают

_{3 3}

3 основных (П, В,Д) и 4 ( åCⁱ₃=4 ) или 12 (åAⁱ₃) производных

^{i=2 i=2}

способов существования, в частности пространственно-временной, имеющий огромное значение в теории относительности А. Эйн­штейна.

Не все виды сходства, т. е. признаки, по которым могут быть сравнены системы, всеобщи и столь фундаментальны, как отно­шение, выраженное законом системности. Это обстоятельство ставит новый для ОТС вопрос о порождении и уничтожении сходства (по сравниваемым признакам). Здесь мы остановимся лишь на вопросе о числе и виде способов преобразований типа «несходное « сходное», «различие « сходство».

Очевидно, для того чтобы сходство (объекта-системы с са­мим собой, между объектом-системой и продуктами его измене­ния, только между продуктами его превращения) возникло, необходимы преобразования. Согласно центральному предложе­нию ОТС, отдельный объект-система может быть преобразован 8 способами: в себя — тождественным преобразованием, в дру­гие объекты — 7 другими способами (количественным, качес­твенным, относительным и скомбинированными из них). В табл. 8 содержатся наглядные модели шести из них, которые мы можем дополнить моделями двух отсутствующих в ней преобра­зований: 1) тождественным — «сон ® сон», 2) относитель­ным — «сон ® нос», «сон ® онс».

Что касается порождения сходства преобразованием сово­купности объектов-систем, то число способов будет равно не 8, а 255 при неразличении порядка или большему числу при разли­чении порядка комбинируемых превращений. Табл. 7 имплицит­но содержит модели по существу 127 способов из 255 возмож­ных. Эту же таблицу можно рассматривать и как таблицу 127 моделей преобразования сходного в несходное, несходного в сходное. Материалы этих таблиц удерживают от скоропали­тельного вывода об общности причин и механизмов возникнове­ния, основываясь лишь на исходных объектах-системах.

Таковы главные положения обобщенного учения об изомор­физме. В его научной значимости легко убедиться, сопоставляя учение ОТС об изоморфизме с какой-нибудь достаточно разви­той концепцией об изоморфизме, например с представлениями о биоизоморфизме, развитыми в рамках уже не СТЭ, а номогенетической теории эволюции Л. С. Берга [6].

Учение ОТС об изоморфизме, на наш взгляд, позволяет развить номогенетическую концепцию о сходстве вообще, биологическом в особенности, прежде всего благодаря, во-первых, экспликации изоморфической модификации в виде объекта-системы, а сходства, системного изоморфизма — в виде системы объектов одного и того же рода; во-вторых, теоретическому выводу единых для неживой, живой природы и общества зако­нов сходства — изоморфизации, соответствия, симметрии, сис­темного изоморфизма, сохранения системного сходства. Из их признания сразу следует вывод о неизбежности изоморфизации любых объектов-систем на всех уровнях их организации, всех их фундаментальных особенностей — субстанциональных, про­странственных, временных, динамических. Именно на этом, правда применительно лишь к биосистемам, настаивал Л. С. Берг (6), предлагая на основании огромного эмпирическо­го материала универсальный для живой природы закон биологи­ческого сходства — закон конвергенции[3]. Он считал, что этот закон охватывает как параллелизм, т. е. сходство организмов, обязанное их родству (таково, например, сходство близнецов), так и конвергенцию — сходство организмов, обязанное одинако­вым условиям существования (например, в водной среде; таково сходство между сельдевой акулой и дельфином). Кроме того, законом конвергенции он пытался охватить и случаи сходства, обязанные «известному единообразию законов природы» [6. С.287]. Однако Л. С. Берг не смог ни сформулировать едино­образные законы природы, ни привести хотя бы один пример порождаемого ими особого вида сходства. Тем не менее он был глубоко прав: неожиданное для биологов подтверждение номо­генез получил в ОТС.

В ОТС были сформулированы некоторые единые для всей природы законы системности, преобразования объектов-систем, поли- и изоморфизации, соответствия, симметрии, системного сходства, системной противоречивости и непротиворечивости, а также установлен «порождаемый» этими законами новый тип сходства — системная общность. Последняя не сводима ни к од­ному из типов сходства, известных в естественных и обществен­ных науках, в частности к параллелизму и конвергенции, извест­ным в биологии. Системная общность связана просто с различными реализациями одной и той же абстрактной системы того или иного рода.

Примерами такого сходства могут служить математический изоморфизм между 16 изомерами листьев липы и 16 изомерами альдогексоз (Ю. А. Урманцев), между общей структурой генети­ческого кода, рядом биномиального разложения 2⁶, икосаэдром, додекаэдром, химическим соединением бареной и радиолярией циркорегма додекаэдра (А. Г. Волохонский, Ю. А. Урманцев); сходство гомологических рядов развития животных и растений с гомологическими рядами спиртов и углеводородов (Е. Д. Коп и Н. И. Вавилов), биоэволюции, биоценоза, естественного отбо­ра с техноэволюцией, техноценозом, информационным отбором (Б. И. Кудрин) и т. д. Число подобных примеров можно без труда увеличить.

Все эти сходства не являются следствиями родства или (и) одинаковых условий существования. В свое время это дало нам повод сформулировать афоризм: «Сходно не всегда сходно по причине родства или одинаковых условий существования или по причине того и другого». Существование системной общности, разумеется, несколько усложняет наши представления о природе сходства. Но если ее не учитывать, то можно прийти к ошибоч­ным выводам, в частности к построению ложных «древ жизни», как показал С. В. Мейен на примере работ английского палеобо­таника Р. Мельвилля [54].

До возникновения ОТС различного рода соответствия, ска­жем, между качественно различными рядами развития или между законами различных областей природы и общества, или между числами-характеристиками качественно различных сис­тем... и т. д. устанавливались эмпирически и, как правило, мно­гими наивно рассматривались как чисто случайные совпадения. Между тем, может быть, впервые в науке ряд законов ОТС тако­го рода «абсолютно случайные» совпадения не только предпола­гает, но и требует.

В-третьих, развитию номогенетической концепции о сходстве способствует предложение алгоритма построения системного изоморфизма и алгоритма предсказания сходства, а также от­крытие ряда новых случаев математического изморфизма между некоторыми биологическими и небиологическими изомерийными системами.

В-четвертых, это возможно и благодаря выводу десятков, сотен, тысяч, десятков тысяч новых классов системного сходст­ва. Покажем значение этого вывода на конкретном примере. Как известно, помимо параллелизма и конвергенции, известных со времен Р. Оуэна (1843 г.), Л. С. Берг [6] различал еще четыре вида сходства, впоследствии названных [96] гетеротопным (сходство пород собак Старого и Нового Света), гетерохронным (повторное образование моллюсков рода Вола в разное геологи­ческое время; это так называемое повторное видообразование по Кокену), гетеродинамическим (сходство генетических систем управления и контроля разных организмов по их основным принципам функционирования), гетеросубстратным (сходство разных субстратов — животных, дрожжевых грибов, бобовых растений, в частности, по субстрату же — наличию у них разно­видностей гемоглобина). Оказывается, если ограничиться даже только приведенными 4 основаниями сходства, а именно П, В, Д, С (не говоря уже о других основаниях), то даже в этом случае ОТС позволяет весьма существенно дополнить список различных сходств перечнем 360 возможных эквивалентностей, симметрии и изоморфизмов для систем 15 и 55 584 — для систем 192 разных типов.

В-пятых, разработка номогенетической концепции сущес­твенно продвигается вперед и благодаря принципиально новому выводу всех, в том числе «полифилетических», способов пораже­ния или уничтожения сходства — 8 для отдельного объекта-системы, 255 — для их совокупностей. Вне ОТС такой вопрос в науке не поставлен.

В-шестых, изучение любого изоморфизма, в том числе биоло­гического, минералогического, химического и т. д., не только во всеобщей связи и взаимообусловленности, но и в системе кон­кретных изоморфизмов, исследуемых другими науками, также способствует развитию номогенеза.

В-седьмых, развитие рассматриваемой концепции в значи­тельной мере углубляется за счет выполнения требования изу­чать изоморфизм (сходство) в единстве с его противоположно­стью — полиморфизмом (различием) в качестве его равноправ­ного и необходимого дополнения. Между тем в СТЭ очень существенно недооценивают, а в номогенезе переоценивают зна­чение изоморфизмов в живой природе при одновременной перео­ценке («синтетисты») или недооценке («номогенетики») значе­ния в ней полиморфизма. Высказанные здесь соображения о СТЭ и номогенезе с новых сторон подтверждают глубокую правоту критических оценок К. Марксом и Ф. Энгельсом эволюционного учения Ч. Дарвина [50. Т. 30. С. 475; Т. 34. С. 133, 134].

Основываясь на главных предложениях ОТС и учения о по­ли- и изоморфизме, симметрии и диссимметрии, мы разовьем далее системный подход прежде всего к ряду философских проблем — к отношениям противоречия и непротиворечия, взаи­модействия, одностороннего действия и взаимонедействия, к про­блемам единства и многообразия мира, изменения и развития.