Температурная зависимость удельного сопротивления металлических проводников. В идеальном кристалле длина свободного пробега электронов равна бесконечности, а сопротивление электрическому току равно нулю

В идеальном кристалле длина свободного пробега электронов равна бесконечности, а сопротивление электрическому току равно нулю. Свойство электрона свободно перемещаться в идеальной кристаллической решетке не имеет аналога в классической механике. Рассеяние, приводящее к появлению сопротивления, возникает в тех случаях, когда в решетке имеются дефекты строения.

В чистых металлах совершенной структуры единственной причиной, ограничивающей длину свободного пробега электронов, является тепловое колебание атомных остовов в узлах кристаллической решетки. Совершенно очевидно, что с ростом температуры увеличиваются амплитуды тепловых колебаний атомных остовов. А это, в свою очередь, усиливает рассеяние электронов и вызывает возрастание удельного сопротивления. Взаимодействие электрона с колеблющимся атомным остовом лишь незначительно изменяет импульс электрона. В теории колебаний атомных остовов решетки следует учитывать не только амплитуду колебаний, но и частоту. Так, максимальная частота тепловых колебаний определяется температурой Дебая Q_Д.

Эта температура зависит от длины и энергии связи между атомными остовами в узлах кристаллической решетки и является важным параметром твердого тела.

При T > Q_Д удельное сопротивление металлов изменяется линейно с температурой (рис. 61, участок III).

Для большинства металлов характеристическая температура Дебая не превышает 400–450 К. Поэтому линейное приближение обычно справедливо при температурах от комнатной и выше. В низкотемпературной области (T << Q_Д) происходит спад удельного сопротивления, обусловленный постепенным исключением все новых и новых частот тепловых колебаний.

Рис. 61. Зависимость удельного сопротивления металлического проводника от температуры в широком диапазоне температур: а, б, в – варианты изменения удельного сопротивления у различных расплавленных металлов

В узкой области I, составляющей несколько кельвинов, у ряда металлов может наступить состояние сверхпроводимости (подробнее ранее) и на рисунке виден скачок удельного сопротивления при температуре T_св. У чистых металлов совершенной структуры при стремлении температуры к ОК удельное сопротивление также стремится к 0 (пунктирная кривая), а длина свободного пробега устремляется в бесконечность. Даже при обычных температурах длина свободного пробега электронов в металлах в сотни раз превышает расстояние между атомными остовами (таблица 9).

Таблица 9.

Средняя длина свободного пробега электронов при 0 °С для ряда металлов (lср × 10¹⁰, м)

Li		Cu
Na		Ag
K		Au
Ni		Fe

В пределах переходной области II происходит быстрый рост удельного сопротивления r (T), где n может быть до 5 и постепенно убывает с ростом температуры ~ до 1 при T = Q_Д.

Линейный участок (область III) в температурной зависимости r (T) у большинства металлов простирается до температур, близких к точке плавления. Исключение из этого правила составляют ферромагнитные металлы, в которых имеет место дополнительное рассеяние электронов на нарушениях спинового порядка. Вблизи точки плавления, т.е. в области IV, в обычных металлах может наблюдаться некоторое отступление от линейной зависимости.

Относительное изменение удельного сопротивления при изменении температуры на один кельвин (градус) называют температурным коэффициентом удельного сопротивления:

(5.3)

Положительный знак a_r соответствует случаю, когда удельное сопротивление в окрестности данной точки возрастает при повышении температуры.

Влияние примесей и других структурных дефектов
на удельное сопротивление металлов

Как отмечалось, причинами рассеяния электронных волн в металле являются не только тепловые колебания узлов решетки, но и статические дефекты структуры. Рассеяние на статических дефектах структуры не зависит от температуры. Поэтому, по мере приближения температуры к абсолютному нулю, сопротивление реальных металлов стремится к некоторому постоянному значению, называемому остаточным сопротивлением. Отсюда вытекает правило Маттиссена об аддитивности удельного сопротивления:

(5.4)

т.е. полное удельное сопротивление металла есть сумма удельного сопротивления, обусловленного рассеянием электронов на тепловых колебаниях узлов кристаллической решетки, и остаточного удельного сопротивления, обусловленного рассеянием электронов на статических дефектах структуры.

Исключение из этого правила составляют сверхпроводящие металлы, в которых сопротивление исчезает ниже некоторой критической температуры.

Наиболее существенный вклад в остаточное сопротивление вносит рассеяние на примесях, которые всегда присутствуют в реальном проводнике либо в виде загрязнения, либо в виде легирующего (т.е. преднамеренно вводимого) элемента. Любая примесная добавка приводит к повышению r, причем сопротивление возрастает пропорционально концентрации примесных атомов.

Иллюстрацией правила Маттиссена является рисунок 62, из которого видно, что температурные зависимости удельного сопротивления чистой меди и ее сплавов с малым количеством (приблизительно до 4 ат. %) индия, сурьмы, олова, мышьяка взаимно параллельны.

Различные примеси по-разному влияют на остаточное сопротивление металлических проводников. Рассеяние электронов на примесях зависит от различия в валентностях примесных элементов и металла (основа, растворитель). Чем больше разница в валентностях, тем выше рассеивание электронов на примесях. Отсюда следует, что влияние металлоидных примесей сказывается на снижении проводимости сильнее, чем влияние примесей металлических элементов.

Помимо примесей, некоторый вклад в остаточное сопротивление, вносят собственные дефекты структуры – вакансии (переход атома из узла кристаллической решетки на поверхность в результате испарения, либо перехода в междоузлие), атомы внедрения, дислокации, границы зерен. Концентрация точечных дефектов возрастает с температурой и может достигать высоких значений вблизи точки плавления.

Рис. 62. Температурные зависимости удельного сопротивления сплавов меди типа твердых растворов, иллюстрирующие правило Матиссена: 1 – чистая Cu; 2 – Cu – 1,03 ат. % In; 3 – Cu – 1,12 ат. % Ni