Полный факторный эксперимент и математическая модель

Для движения к точке оптимума нам нужна линейная модель . Наша цель – найти по результатам эксперимента значения неизвестных коэффициентов модели. До сих пор, говоря о линейной модели, мы не останавливались на важном вопросе о статистической оценке ее коэффициентов. Теперь необходимо сделать ряд замечаний по этому поводу. Можно утверждать, что эксперимент проводится для проверки гипотезы о том, что линейная модель адекватна. Греческие буквы использованы для обозначения «истинных» генеральных значений соответствующих неизвестных. Эксперимент, содержащий конечное число опытов, позволяет только получить выборочные оценки для коэффициентов уравнения . Их точность и надежность зависят от свойств выборки и нуждаются в статистической проверке. Как производится такая проверка, будет показано ниже. А пока займемся вычислением оценок коэффициентов. Их можно вычислить по простой формуле

,

обоснование которой будет приведено ниже. Воспользуемся этой формулой для подсчёта коэффициентов и :

,

.

Благодаря кодированию факторов расчет ко­эффициентов превратился в простую арифметическую про­цедуру. Для подсчета коэффициента используется вектор-столбец х₁, а для – столбец x₂. Остается неясным, как найти . Если уравнение справедливо, то оно верно и для средних арифметических значений переменных: . Но в силу свойства симметрии . Следовательно, . Мы пока­зали, что есть среднее арифметическое значений пара­метра оптимизации. Чтобы его получить, необходимо сло­жить все y и разделить на число опытов. Чтобы привести, эту процедуру в соответствие с формулой для вычисления коэффициентов, в матрицу планирования удобно ввести вектор-столбец фиктивной переменной x₀, которая прини­мает во всех опытах значение +1. Это было уже учтено в записи формулы, где jпринимало значения от 0 до k.

Теперь у нас есть все необходимое, чтобы найти неизвестные коэффициенты линейной модели

.

Коэффициенты при независимых переменных указывают на силу влияния факторов. Чем больше численная величина коэффициента, тем большее влияние оказывает фактор. Если коэффициент имеет знак плюс, то с увеличением зна­чения фактора параметр оптимизации увеличивается, а если минус, то уменьшается. Величина коэффициента соответ­ствует вкладу данного фактора в величину параметра опти­мизации при переходе фактора с нулевого уровня на верх­ний или нижний.

Иногда удобно оценивать вклад фактора при переходе от нижнего уровня к верхнему уровню. Вклад, определенный таким образом, называется вкладом фактора (иногда его называют основным или главным эффектом). Он численно равен удвоенному коэффициенту. Для качественных факторов, варьируемых на двух уровнях, основной уровень не имеет физического смысла. Поэтому понятие «эффект фактора» является здесь естественным.

Планируя эксперимент, на первом этапе мы стремимся получить линейную модель. Однако у нас нет гарантии, что в выбранных интервалах варьирования процесс описывается линейной моделью. Существуют способы проверки пригодности линейной модели (проверка адекватности). А если модель нелинейна, как количественно оценить нелинейность, пользуясь полным факторным экспериментом?

Один из часто встречающихся видов нелинейности связан с тем, что эффект одного фактора зависит от уровня, на котором находится другой фактор. В этом случае гово­рят, что имеет место эффект взаимодействия двух факторов. Полный факторный эксперимент позволяет количественно оценивать эффекты взаимодействия. Для этого надо, пользуясь правилом перемножения столбцов, получить стол­бец произведения двух факторов. При вычислении коэффициента, соответствующего эффекту взаимодействия, с новым вектор-столбцом можно обращаться так же, как с вектор-столбцом любого фактора. Для полного факторного эксперимента 2² матрица планирования с учетом эффекта взаимодействия будет иметь вид

№ опыта	x0	x1	x2	x1x2	y
	+1	+1	+1	+1	y1
	+1	–1	+1	–1	y2
	+1	–1	–1	+1	y3
	+1	+1	–1	–1	y4

Очень важно, что при добавлении столбцов эффектов взаимодействий все рассмотренные свойства матриц планирования сохраняются.

Теперь модель выглядит следующим образом:

.

Коэффициент вычисляется обычным путем

.

Столбцы x₁ и x₂ задают планирование – по ним непосредственно определяются условия опытов, а столбцы x₀и x₁x₂ служат только для расчета.

Обращаем ваше внимание на то, что при оптимизации мы стремимся сделать эффекты взаимодействия возможно меньшими. В задачах интерполяции, напротив, их выяв­ление часто важно и интересно.

С ростом числа факторов число возможных взаимо­действий быстро растет. Мы рассмотрели самый простой случай, когда имелось одно взаимодействие. Обратимся теперь к полному факторному эксперименту 2³.

№ опыта	x0	x1	x2	x3	x1x2	x1x3	x2x3	x1x2x3	y
	+	–	–	+	+	–	–	+	y1
	+	+	–	–	–	–	+	+	y2
	+	–	+	–	–	+	–	+	y3
	+	+	+	+	+	+	+	+	y4
	+	–	–	–	+	+	+	–	y5
	+	+	–	+	–	+	–	–	y6
	+	–	+	+	–	–	+	–	y7
	+	+	+	–	+	–	–	–	y8

Эффект взаимодействия x₁x₂x₃ получается перемножением всех трех столбцов и называ­ется эффектом взаимодействия второго порядка. Эффект взаимодействия двух факторов называется эффектом взаи­модействия первого порядка. Вообще, эффект взаимодей­ствия максимального порядка в полном факторном эксперименте имеет порядок, на единицу меньший числа факторов. Довольно часто применяются синонимы: парные эффекты взаимодействия (x₁x₂, x₂x₃...), тройные (x₁x₂x₃, x₂x₃x₄...) и т. д.

Полное число всех возможных эффектов, включая b₀, линейные эффекты и взаимодействия всех порядков, равно числу опытов полного факторного эксперимента. Чтобы найти число возможных взаимодействий некоторого по­рядка, можно воспользоваться обычной формулой числа сочетаний

,

где k – число факторов, m – число элементов во взаимодействии. Так, для плана 2⁴ число парных взаи­модействий равно шести

.

Поясним физический смысл эффекта взаимодействия следующим примером. Пусть на некоторый химический процесс влияют два фактора: температура и время реакции. В области низких температур увеличение времени увели­чивает выход продукта. При переходе в область высоких температур эта закономерность нарушается. Здесь, на­против, необходимо уменьшать время реакции. Это и есть проявление эффекта взаимодействия.

Ортогональность матрицы планирования позволяет получить независимые друг от друга оценки коэффициен­тов. Это означает, что величина любого коэффициента не зависит от того, какие величины имеют другие коэффициенты.

Однако сформулированные выше утверждения спра­ведливы лишь в том случае, если модель включает только линейные эффекты и эффекты взаимодействия. Между тем, существенными могут оказаться коэффициенты при квадра­тах факторов, их кубах и т. д. Так, для случая существенных квадратичных членов в двухфакторном эксперименте модель можно записать так:

.

Какую информацию о квадратичных членах можно извлечь из полного факторного эксперимента?

Попытка построения вектор-столбцов для и при­водит к получению единичных столбцов, совпадающих друг с другом и со столбцом х₀. Так как эти столбцы нераз­личимы, то нельзя сказать, за счет чего получилась вели­чина b₀. Она включает значение свободного члена и вклады квадратичных членов. В этом случае говорят, что имеет место смешанная оценка. Это символически записывается следующим образом:

,

где b₀ – вычисленный нами коэффициент, а греческими буkвами, как принято в статистике, обозначены неизвест­ные истинные значения свободного члена ( ) и квадра­тичных коэффициентов ( ). Если бы мы сделали сколь угодно много опытов, то в пределе получили бы истинные значения коэффициентов. На практике реализуются лишь малые выборки, по которым вычисляются оценки истинных коэффициентов.

По отношению к квадратичной модели для двух факторов получается такая система смешивания:

, , , .

Следовательно, оценки всех коэффициентов, кроме b₀, не смешаны.

Число опытов в полном факторном эксперименте превышает число коэффициентов линейной модели, причем тем больше, чем больше факторов. Разность между числом опытов и числом коэффициентов во многих случаях оказы­вается очень велика, и возникает естественное желание сократить число необходимых опытов.

Источники литературы:

1. http://appmath.narod.ru/ (/page6.html)