Есеп шығару үлгісі
№1.Дж. Томсон моделіндегі бір электронды атомның тербеліс жиілігін табу керек.
Берілгені:
N=1
Тербеліс жилігін табу керек.
Шешуі:Томсонның моделі бойынша атом оң және теріс электронмен зарядталған сфера. Оның зарядтары көлем ішінде бірқалыпты орналасады. Сондықтан атом бейтарап.
Атом центрінен r қашықтықтағы электронға f – күші әсер етеді.
f= (-e)E= - (1)
k= (2)
Ал есептің шарты бойынша электрон тепе– теңдік қалпынан ауытқып тербелсе, оның тербеліс жиілігі
(3)
болатыны механика бөлімінен белгілі және
(4)
(2) ® (3) - ге қойсақ, онда
(5)
мұндағы e – электрон заряды. m - электрон массасы. R – атом радиусы.
(4) және (5) теңдіктерді теңестірсек, онда (6)
№2.Томсон моделіндегі бір электронды атом, қанша спектрлік сызыққа сәулеленеді? Толқын ұзындығы l= 5000 А0 сәуле шығару үшін, атом радиусы қандай болу керек?
Берілгені:
l= 5000 = 0,5 ×
Табу керек:R - ?
Шешуі:Электронға атом центрінен центрге тартқыш және квазисерпімді күш әсер етуге тиіс:
f= -kr = - (1)
r=x; ауытқу шамасы.
k= m онда f=- m × r ; бұл күш электр тарапынан әсер ететін күшке тең, онда
f=(-e)E = - (2)
(3)
Гармониялық тербелістегі электрон бір жиілікте тербеледі, онда:
(4)
= (5)
немесе = (6)
онда R= ( )1/3= 1,25 ×
мұндағы, e – заряд; тыныштық массасы; с – жарық жылдамдығы; l - толқын ұзындығы;
R – атом радиусы.
№3.Заряды Ze ядроны альфа бөлшегімен атқылағанда бөлшектің ауытқу бұрышы (θ) ең жақын келу (нысаналы) қашықтығына (r) байланысты екендігін мына формулада көрсетілген:
сtg . Осы формуланы дәлелдеңдер.
Мұндағы альфа бөлшегінің массасы, - оның жылдамдығы.
Шешуі:Резерфордтың байымдауы бойынша атом зарядтар жүйесінен тұрады, оның центрінде, ауыр заряды (+Ze), өлшемі (радиусы) см ядро орналасқан. Бөлшек ядроға жақын келгенде,оған кулондық күш әсер етеді:
¦ = (1)
Бөлшектің траекториясы гипербола болады. Ауытқу бұрышы – Ө, ең жақын келу нысаналы қашықтығы - r. Бөлшектің нысаналы қашықтығы ядро жазықтығына жақын келген сайын, ауытқу бұрышы (Ө) артады.
Энергияның сақталу заңы бойынша ядродан қашықтаған бөлшектің импульс шамасы (Р), шашырағанға дейінгі импульсына ( ) тең (P = ).
Шашырау нәтижесінде импульс өсімшесі = 2 = 2 (2)
Ал Ньютонның II заңы бойынша = dt (3)
мұндағы - DР бағытындағы күш векторының проекциясы. Онда y = - - j
¦n = ¦сosy = ¦Sin (j + ) = Sin (j+ ) (4)
Осы (4)-ті (3)-ші теңдікке қойсақ, онда
= (5)
Альфа бөлшегіне әсер ететін күш центрлік, олай болса альфа бөлшегінің импульс моменті тұрақты ( ), бастапқы күйінде қалады. ; r = алмастырсақ, онда интеграл оңай шешіледі.
= (6)
(2) мен (6) теңдеуді теңестірсек ; (7)
Жауабы:сtg = .
№4.а) Резерфорд тәжірибесіндегі альфа бөлшектің кинетикалық энергиясы Мэв болса. Алтын атомының (Z = 79) ядросына, альфа бөлшегі қаншалықты жақын келе алады (қандай r қашықтыққа дейін жақын келеді)?
б) Резерфорд тәжірибесінде алтын фольга алынған деп есептесек, альфа бөлшектер Ө ³ 90° бұрыштарға шашырау үшін (r) ең жақын келу (нысаналы) қашықтық қандай болатынын есептеп табу керек.
в) Осы шарттағы ядроның тиімді қимасы (әсерлесу қимасы) қандай шамада болады?
г) Алтын фольганың қалыңдығы d = 6 × м болғандығы Ө ³ 90° немесе одан үлкен бұрыштарға ауытқитын альфа бөлшектердің салыстырмалы санын анықта.
Берілгені:
Мэв
Z = 79
Табу керек: а) r - ? б) r - ? в) s - ?г) n - ?
Шешуі:а) Ядроға ең жақын аралыққа келгенде альфа бөлшектің кинетикалық энергиясы ( ), ядро жүйесінің потенциалдық энергиясына ауысады:
=
r =
Осы теңдеуден r – ді табамыз.
= 2,8 × . r=2,8
Сонда алтын атом ядросының радиусы шамасында немесе бұдан кішімәнге тең болады, ол атом радиусынан есе кіші.
б) r – мәні үшін Ө ³ 90° болса, онда ең жақын келу қашықтығы:
r = ctg = r=1,48
в) Ө ³ 90° болғандағы ядроның тиімді қимасын (s) табамыз.
г) Бірлік көлемдегі ядросанын мына формуламен табуға болады:
n = d × ; n=5,9
d = 1,93 × кг/ - алтынның тығыздығы;
M = 0,197 кг / моль – мольдық масса;
= 6,02 × -Авогадра тұрақтысы
Жауабы: а) r = 2,8 × ; б) r = в) s = p ; г) n = 5,9 × .
№5.Резерфорд – Бор моделін пайдаланып, электронның орбита бойындағы қозғалыс жылдамдығын қорытып шығарып, сутегі атомының бірінші және екінші дөңгелек орбитадағы жылдамдығын анықта.
Берілгені:
Табу керек: 1 - ? 2 - ?
Шешуі:Дөңгелек орбита бойымен қозғалған электронға центрден тепкіш күш және Кулондық күш әсер етеді. Ол күштер электронның стационар орбита бойымен қозғалуынқамтамасыз етеді, онда олар өзара тең.
; (1)
; (2)
екеуін теңестіріп, одан жылдамдықты анықтаймыз.
; = ; (3)
Бор постулаты бойынша электронның импульс моменті: (4)
(5)
(5) теңдікті(3) теңдікке апарып қойсақ:
= = яғни
Жауабы: Егер n = 1 болса, онда » 2,19 Мм/с.
ал n = 2 болса, онда М м/с.
№6.Электронның стационар орбитасы орнықты күйде болады. Квантталу шарты бойынша электрон орбитаcының радиусының мүмкін формуласын қорытып шығарып, сутегі атомы үшін электронның бірінші және екінші орбиталарының радиусын тап.
Берілгені:
Табу керек:
Шешуі:Алдыңғы есептердегідей, электронның импульс моменті:
; (1)
= n ; (2)
; (3)
(3) теңдіктегі жылдамдықтың мәнін (1) теңдікке қойсақ:
m × = ; (4)
одан
= (5)
Жауабы: Егер = 1 болса, онда Пм; ал болса, онда »212,4 Пм.
№7.Әрбір электрондық орбита белгілі энергетикалық деңгеймен анықталады да, электронның толық энергиясы кинетикалық және потенциалдық энегиялар жиынтығынан тұрады.
Осы n – орбитадағы толық энергияны қорытып шығарыңдар.
Шешуі:
E = (1)
(2)
Алғашқы есептерге байланысты дөңгелек орбита бойымен қозғалған электронға, кулондық және центрден тепкіш күштер әсер етеді. Бор постулаты бойынша электронның импульс моментін тұрақты мәндермен анықтауға болады. Сонда k – орбитадағы электронның жылдамдығы:
= (3)
(3) теңдікті® (2)теңдікке қойсақ, онда
; (4)
n – орбитаныңрадиусы ; (5)
Ал потенциалдық энергия: = ; (6)
(3) теңдікті (6) теңдікке қойсақ:
; (7)
Сонда толық энергия:
E= - ;E = - ; n = 1, 2, 3… E=-
n-нің мәндерін қою арқылы әрбір орбитадағы электронның толық энергияларын анықтаймыз.
№8.Негізгі күйдегі сутегі атомының энергиясы 12,09 эв тең, фотон арқылы қоздырғанда, электрон орбитасының радиусы қанша есе артады?
Берілгені:
m = 1
= 12,09 эв
Табу керек:n - ?
Шешуі:Фотонның энергиясы ; (1)
Толқындық санның – толқын ұзындықпен байланысы:
l = ; ; (2)
- Бальмердің әмбебап формуласы. Сутегі үшін Z=1;
Сонда E = = R h с .
Мұндағы m = 1, 2 . . . ал n = m + 1;
m = 1 болса , E = Rhс - .
n =
Есептің шарты бойынша қозған күйдегі радиусы, негізгі күйдегі орбита радиусынан қанша есе артық болады?
есе.
№9.Сутегі атомының ядросын, радиусы см шеңбер бойымен айналғанда электрон, сәуле шығару арқылы энергиясы кеміп отырса, онда ол қанша уақыттан соң ядроға құлап түседі?
Шешуі:
Электрон кез келген уақыт мезетінде шеңбер бойымен бірқалыпты қозғалады деп алайық. Сонда Ньютонның II заңы бойынша: F = ma
(1)
(2)
(2) теңдіктің екі жағында екіге бөліп жіберсек, сонда
(3)
бұл кинетикалық энергияны береді.
Ал ядро өрісіндегі электронның толық энергиясы E = ; (4)
Классикалық электродинамика заңдарына сүйеніп, зарядталған бөлшектің сәулеленуге кеткен бірлік уақыт шығыны: = - ; – үдеуі.(5)
(3) теңдікпен (4) теңдікті ескере отырып, (5) теңдікті ; (6)
r мен e айнымалыларды ажыратып, dt; (7)
(7) теңдікті интегралдаймыз.
Сонда ден 0 –ге дейін, ал t;0 – ден t- ге дейін:
t = » 1,5 × с болады.
№10. Электрон гармониялық тербеліске жақын, жиілікпен( тербеліп, өшетін тербеліске айналады. Қанша уақыттан кейін (∆t) ол өзінің бастапқы энергиясының 0,9 бөлігін жоғалтады.
Берілгені:
Табу керек:t-?
Шешуі:Классикалық электродинамика заңдарына сүйенсек, тербелген электронның онда шығын болған энергиясы мынадай формуламен өрнектеледі:
(1)
мұндағы Е - энергиясы, - электрон жылдамдығы, - үдеуі.
Егер электронның тепе-теңдік ауытқуы:
(2)
(3)
(4)
мұндағы х - ауытқу шамасы, ω - дөңгелектік жиілік, а - тербеліс амплитудасы, онда электронның толық энергиясы (5)
Бірлік уақыттағы орташа энергия шығыны:
(6)
(5) теңдіктен (7)
(7) теңдікті-(6) теңдікке апарып қойсақ
(8)
Олай болса, электронның энергиясының орташа өзгеруі мынадай түрде өрнектеледі:
(9)
Бастапқы энергия мәнін Е0 деп белгілесек, онда уақыт:
сан мәндерін қойсақ, онда
m - электрон массасы, c - жарық жылдамдығы, e - электрон заряды, - жилігі, E0 - бастапқы энергиясы.
№11. Сутегімен дейтерий туралы мәлімет бойынша Ридберг тұрақтысы:
ал атомдық массасы:
физикалық шкала бойынша.
Фарадей тұрақтысы:
(физикалық шкала бойынша) Осы шартты пайдалана отырып, электрон үшін табу керек.
Шешуі: Сутегімен дейтерий үшін Ридберг тұрақтысы:
(1)
мұндағы МН және МD –сутегімен дейтерийдің ядро массалары, осы (1) теңдіктен:
(2)
осы теңдіктің екі жағында (е) зарядқа көбейтсек, онда деп алсақ, онда
(3)
Олай болса электронның атомдық массасы Nm шамасы H мен D қарағанда аз шама, онда есепті шығару кезінде H-Nm және D-Nm мәндерін үлкен дәлдікпен қарастырудың қажеті жоқ. Сонда Nm=6,025·1023·9,108·10-28=5,49·10-4; ал H-Nm=1,007593; D-Nm=2,014186;
Осы мәндерді (3) теңдікке қойсақ, онда