Задач линейного программирования
ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА № 1
ГЕОМЕТРИЧЕСКАЯ ИНТЕРПРЕТАЦИЯ
ЗАДАЧ ЛИНЕЙНОГО ПРОГРАММИРОВАНИЯ
Задание.Используя геометрическую интерпретацию, найдите решения следующих задач.
Варианты:
1. Для производства столов и шкафов мебельная фабрика использует необходимые ресурсы. Нормы затрат ресурсов на одно изделие данного вида, прибыль от реализации одного изделия и общее количество имеющихся ресурсов каждого вида приведены в таблице:
| Ресурсы | Нормы затрат | Общее количество Ресурсов | |
| ресурсов | |||
| на одно изделие | |||
| стол | шкаф | ||
| Древесина: | |||
| I вида | |||
| II вида | |||
| Трудоемкость чел./час. | |||
| Прибыль от реализации одного изделия (руб.) |
Определить, сколько столов и шкафов фабрике следует изготовлять, чтобы прибыль от их реализации была максимальной.
2. Для производства двух видов изделий А и В используется токарное, фрезерное и шлифовальное оборудование. Нормы затрат времени для каждого из типов оборудования на одно изделие данного вида приведены в таблице. В ней же указан общий фонд рабочего временя каждого из типов оборудования, а также прибыль от реализации одного изделия.
| Затраты времени (станко-час.) на обработку одного изделия | Общий фонд | ||
| Тип оборудования | полезного рабочего | ||
| времени | |||
| А | В | оборудования (час.) | |
| Фрезерное | |||
| Токарное | |||
| Шлифовальное | |||
| Прибыль от реализации одного изделия (руб.) |
Составить план выпуска изделий А и В, обеспечивающий максимальную прибыль от их реализации.
3. На мебельной фабрике из стандартных листов фанеры необходимо вырезать заготовки трех видов в количествах, соответственно равных 24, 31 и 18 шт. Каждый лист фанеры может быть разрезан на заготовки двумя способами. Количество получаемых заготовок при данном способе раскроя приведено в таблице. В ней же указана величина отходов, которые получаются при данном способе раскроя одного листа фанеры.
| Вид заготовки | Количество заготовок (шт.) при раскрое по способу | |
| I | ||
| II | ||
| III | ||
| Величина | ||
| отходов |
Определить, сколько листов фанеры и по какому способу следует раскроить так, чтобы получить заготовок не меньше нужного количества при минимальных отходах.
4. На звероферме могут выращиваться черно-бурые лисицы и песцы. Для обеспечения нормальных условий их выращивания используется три вида кормов. Количество корма каждого вида, которое должны получать ежедневно лисицы и песцы, приведено в таблице. В ней же указаны общее количество корма каждого вида, которое может быть использовано зверофермой, и прибыль от реализации одной шкурки лисицы или песца.
| Вид корма | Количество единиц корма, которое ежедневно должны получать | Общее количество корма | |
| I | |||
| II | |||
| III | |||
| Прибыль от реализации одной шкурки (руб.) |
Определить, сколько лисиц и песцов следует выращивать на звероферме, чтобы прибыль от реализации их шкурок была максимальной.
5. Для производства двух видов изделий А и В предприятие использует три вида сырья. Нормы расхода сырья каждого вида на изготовление единицы продукции данного вида приведены в таблице. В ней же указаны прибыль от реализации одного изделия каждого вида и общее количество сырья данного вида, которое может быть использовано предприятием.
| Вид сырья | Нормы расхода сырья (кг) на одно изделие | Общее количество сырья (кг) | |
| А | В | ||
| I | |||
| II | |||
| III | |||
| Прибыль от реализации одного изделия (руб.) |
Учитывая, что изделия А и В могут производиться в любых соотношениях (сбыт обеспечен), требуется составить такой план их выпуска, при котором прибыль предприятия от реализации всех изделий будет максимальной.
6. Некоторому заводу требуется составить оптимальный по реализации производственный план выпуска двух видов изделий при определенных возможностях четырех видов машин. План выпуска должен быть таким, чтобы от реализации выпущенной по этому плану продукции завод получил бы наибольшую прибыль. Оба вида изделия последовательно обрабатываются этими машинами.. В таблице указано время, необходимое для обработки каждого изделия этих двух видов указанными типами машин. Завод от реализации изделия-вида 1 получает 4 руб., от реализации изделия вида II- 6 руб. прибыли.
| Вид изделий | Виды машин | ||||
| I | 0.5 | ||||
| II | |||||
| Возможное время работы машин (час.) | |||||
7. В швейном цехе имеется 184 м ткани. На пошив одного халата требуется 4 м ткани, а на одну куртку 3-м. Трудоемкость пошива халата 4 чел. часа, а куртки 5 чел.час. В мастерской работают 15 человек по 8 часов в день Сколько следует изготовить халатов и курток за один день для получения наибольшей стоимости продукции, если халат стоит 4 ., а куртка - 6 . Известно, что халатов можно изготовить не более 15, а курток- не более 20.
8. Известно, что откорм животных экономически выгоден при условии, что каждое животное получает в дневном рационе не менее 6 единиц питательного вещества А, не менее 12 единиц вещества В, не менее 4 единиц вещества С. Для откорма животных используется два вида кормов. В таблице показано, сколько единиц каждого питательного вещества содержит 1 кг каждого вида корма.
| Питательные вещества | Корм | |
| I | II | |
| A | ||
| B | ||
| C | ||
| Цена корма за 1_кг |
Какое количество каждого вида корма необходимо расходовать, чтобы затраты на него были минимальные?
9. Содержание витаминов А и С в .1 кг фруктов задано таблицей:
| Фрукты | Витамины | |
| А(мг) | С(мг) | |
| Вишня | ||
| Абрикосы | ||
| Дневная норма витаминов - не менее (мг) |
Сколько килограммов вишни и сколько граммов абрикосов следует включить в дневной рацион при минимальных затратах, если 1 кг вишни стоит 40 руб а 1 кг абрикосов - 50 руб.
10. В швейном цехе имеется 380м ткани. На пошив одного платья требуется 5 м ткани, а на одну юбку 3-м. Трудоемкость пошива платья 7 чел. часа, а юбки 4 чел.час. В мастерской работают 10 человек по 8 часов в день 5 дней в неделю. Сколько следует изготовить платьев и халатов для получения наибольшей стоимости продукции, если платье стоит 10., а юбка - 7.
11. Для производства двух видов изделий А и В предприятие использует три вида сырья. Нормы расхода сырья каждого вида на изготовление единицы продукции данного вида приведены в таблице. В ней же указаны прибыль от реализации одного изделия каждого вида и общее количество сырья данного вида, которое может быть использовано предприятием.
| Вид сырья | Нормы расхода сырья (кг) на одно изделие | Общее количество сырья (кг) | |
| А | В | ||
| I | |||
| II | |||
| III | |||
| Прибыль от реализации одного изделия |
Определите производственную программу , обеспечивающую максимальную прибыль.
12. Для повышения урожайности опытного участка необходимо внести в почву не менее 300 условных единиц фосфорных удобрений и 200 условных единиц калийных удобрений. В магазине не оказалось фосфорных и калийных удобрений в чистом виде. В продаже были только 2 смеси удобрений, содержащие фосфор и калий. Один грамм смеси 1- содержит 2 единицы калийных удобрений и 9 единиц фосфорных удобрений. Один грамм смеси II содержит 7 единиц калийных удобрений и 4 единицы фосфорных удобрений. Обе смеси стоят одинаково - по 10 руб. за килограмм. Сколько нужно купить каждой смеси, необходимой для внесения в почву, чтобы при этом затратить на всю покупку как можно меньше денег?
13. Фермер в своем хозяйстве может одновременно откармливать до 500 уток и гусей. Откорм одной утки обходится (в среднем) 10 руб., а одного гуся - в 30 руб. Магазин согласен закупить откормленных птиц по следующим ценам: 30 руб. за утку, 70 руб. за гуся. Фермер может выделить на откорм птиц 9000 руб. В каком количестве следует откармливать уток и гусей, чтобы получить максимальную прибыль?
14. Для похода решили приобрести партию консервов. Все консервы должны содержать не менее 2 кг мяса, не менее 5 кг крупяных изделий и не менее 1 кг жиров. В магазине имелись в продаже консервы 2 видов.
| Компоненты | Тип консервов (содержание продуктов в граммах) | |
| Мясо | ||
| Крупа | ||
| Жиры | ||
| Цена 1 банки (руб.) |
Сколько нужно купить консервов каждого вида, чтобы при этом затратить меньшее количество денег?
15. Установка собирается из трех различных деталей А, В, С. На одном станке можно за смену изготовить либо 12 деталей типа А, 18 деталей типа В и 30 деталей типа С (1 режим работы), либо 20 деталей типа А, 15 деталей типа В и 9 деталей типа С (2 режим работы). За смену нужно изготовить детали для 720 установок. Какое наименьшее число станков (и при каком режимами' работы) нужно для выполнения заказа?
16. Для изготовления полки нужно вырезать из фанеры одну заготовку для задней стенки (деталь А), две заготовки для боковинок (деталь В) и три одинаковых заготовки для верхней, средней и нижней горизонтальных панелей (детали С). Имеющиеся на мебельном комбинате листы фанеры таковы, что при первом способе раскроя из одного листа можно изготовить одну деталь типа А, 4 детали типа В и 8 деталей типа С, а при втором способе раскроя - 3 детали типа А, 2 детали типа В и 2 детали типа С. Можно ли, имея 180 листов фанеры, изготовить 200 полок?
17. Для изготовления двух видов продуктов Р1 и Р2 используется три вида сырья: B1, В2 и B3. Расход сырья для изготовления 1 кг продукта и запасы сырья (кг), прибыль приносимая единицей изделия приведены в таблице: Составить план производства изделий, обеспечивающий получение максимальной прибыли
| Сырье | Нормы расхода сырья | Запасы сырья (кг) | |
| A1 | A2 | ||
| B1 | |||
| B2 | |||
| B3 | |||
| Прибыль |
18. Возможно использовать пассажирские самолеты двух типов. Количество самолетов каждого типа, количество пассажиров, которое может перевезти каждый самолет за месяц, и расходы по эксплуатации самолетов указаны в следующей таблице:
| Тип самолета | ||
| С1 | С2 | |
| Расходы на эксплуатацию (дес. тыс., руб.) | ||
| Число самолетов | ||
| Количество пассажиров, перевозимых 1 самолетом за 1 месяц _(в тыс., чел.) |
Каким образом следует использовать самолеты чтобы при минимальных затратах на эксплуатацию самолетов перевезти не менее 180 тыс, пассажиров?
19. Некий предприниматель заказывает телевизионной компании рекламу своей продукции. Для привлечения зрителей он хочет воспользоваться выступлением известного певца. На передачу отведено 30 минут. Певец соглашается петь не менее 15 минут. Заказчик настаивает на том, чтобы передача рекламы продолжалась не менее 4 минут.. Определить, при каком распределении времени между рекламой и певцом стоимость передачи будет минимальной, если минута выступления певца стоит 200 долларов, минута рекламы - 50 долларов.
20. На трех станках производят два вида изделий. Данные о затратах времени на обработку одного изделия, полезный фонд рабочего времени станков, а также прибыль от реализации одного изделия представлены в таблице. . Составить план производства изделий, обеспечивающий получение максимальной прибыли
| Станки | Нормы времени на обработку изделия (мин.) | Полезный фонд рабочего времени (мин.) | |
| А | В | ||
| I | |||
| II | |||
| III | |||
| Прибыль (руб.) |
21. На трех станках обрабатываются 2 изделия. Каждое-изделие проходит обработку на всех станках. В таблице задается трудоемкость обработки изделий на каждом станке, фонд полезного времени работы станков и прибыль от единицы изделия.
| Станки | Вид изделия | Фонд времени | |
| В1 | В2 | ||
| А1 | |||
| А2 | |||
| А3 | |||
| Прибыль от единицы изделия (pyб.) |
Составить план производства изделий, обеспечивающих наибольшую прибыль при наименьшей загрузке оборудования.
22. На четырех станках обрабатываются два вида изделия. Изделия проходят обработку на каждом станке. В таблице задана трудоемкость обработки одного изделия и фонд полезного времени работы станков. Составить план производства изделий, обеспечивающий максимальную загрузку станков.
| Станки | Вид изделия | Фонд времени | |
| В1 | В2 | ||
| А1 | |||
| А2 | |||
| А3 | |||
| А4 |
23. Предприятие изготовляет два вида изделий. Каждое изделие требует обработки на трех видах оборудования. Известны: прибыль, получаемая от реализации каждого изделия, фонд времени работы оборудования и трудоемкость обработки изделий. Сколько нужно изготовить тех или иных изделий, чтобы прибыль была наибольшей?
| Оборудование | Вид изделия | Фонд времени | |
| В1 | В2 | ||
| А1 | |||
| А2 | |||
| А3 | |||
| Прибыль (руб.) |
24. Для откорма крупного рогатого скота используется два вида кормов В1 и В2, в которые входят питательные вещества А1 А2, А3 и А4. Содержание количества единиц питательных веществ в 1 кг каждого вида корка, стоимость 1 кг корма и норма содержания питательных веществ в дневном рационе животного представлены в таблице. Составил, рацион при условии минимальной стоимости.
| Питательные вещества | Вид кормов | Норма содержания питательного вещества | |
| В1 | В2 | ||
| А1 | |||
| А2 | |||
| А3 | |||
| А4 | |||
| Стоимость 1 кг корма |
25. Предприятие располагает производственными мощностями (в часах) четырех видов (16, 10, 6, 7) и выпускает два вида продукции. Нормы затрат мощностей каждого вида составляют на единицу продукции А- 1, I, 0, 1, и единицу продукция В- 1, 1, 1, 0 (соответственно). Прибыль от реализации единицы продукции А, равна 8 , от единицы продукции В - 4 .
Составить плен производства, при котором прибыль предприятия от реализации всей продукции будет максимальной.
26. Трикотажная фабрика использует для производства свитеров и кофточек чистую шерсть, силон и нитрон, запасы которых составляют соответственно, 800,400 и 300 кг. Количество сырья (кг), необходимого для изготовления 10 изделий, а также прибыль, получаемая от их реализации, приведены в таблице. Составить план производства изделий, обеспечивающий получение максимальной прибыли.
| Вид сырья | Затраты пряжи на 10 шт. | |
| свитер | кофточка | |
| шерсть | ||
| силон | ||
| нитрон | ||
| Прибыль (руб.) |
27. При подкормке посевов необходимо внести на 1 га почвы не менее 8 единиц химического вещества А, не менее 21 единицы химического вещества Б и не менее 16 единиц химического вещества В. Фермер закупает комбинированные удобрения двух видов I и П. В таблице указаны содержание количества единиц химического вещества в 1 кг каждого вида удобрений и цена 1 кг удобрений. Определить потребность фермера в удобрениях I и II вида при минимальных затратах на его закупку.
| Химические вещества | Содержание химических веществ в 1 кг удобрений | |
| I | II | |
| А | ||
| Б | ||
| В | ||
| Цена на 1 кг удобрений |
28. Для откорма крупного рогатого скота используется два вида кормов В1 и В2, в которые входят питательные вещества А1 А2, А3 . Содержание количества единиц питательных веществ в 1 кг каждого вида корка, стоимость 1 кг корма и норма содержания питательных веществ в дневном рационе животного представлены в таблице. Составить, рацион при условии минимальной стоимости.
| Питательные вещества | Вид кормов | Норма содержания питательного вещества | |
| В1 | В2 | ||
| А1 | |||
| А2 | |||
| А3 | |||
| Стоимость 1 кг корма |
29. Для изготовления двух видов продуктов А1 и А2 используется три вида сырья: B1, В2 и B3. Расход сырья для изготовления 1 кг продукта и запасы сырья (кг), прибыль приносимая единицей изделия приведены в таблице: Составить план производства изделий, обеспечивающий получение максимальной прибыли
| Сырье | Нормы расхода сырья | Запасы сырья (кг) | |
| A1 | A2 | ||
| B1 | |||
| B2 | |||
| B3 | |||
| Прибыль |
30. На трех станках производят два вида изделий. Данные о затратах времени на обработку одного изделия, полезный фонд рабочего времени станков, а также прибыль от реализации одного изделия представлены в таблице. . Составить план производства изделий, обеспечивающий получение максимальной прибыли
| Станки | Нормы времени на обработку изделия (мин.) | Полезный фонд рабочего времени (мин.) | |
| А | В | ||
| I | |||
| II | |||
| III | |||
| Прибыль (руб.) |