Решение задачи с помощью MS Excel

Краткие теоретические сведения

Ежедневно специалисты в области экономики и менеджмента сталкиваются с задачами оптимизации. Это и премирование штатного расписания, и расчет фонда заработной платы, и планирование рекламной компании, и еще множество задач, решаемых с помощью методов оптимизации. Наиболее легкими и показательными являются задачи линейной оптимизации.

Линейное программирование – это раздел высшей математики, занимающийся разработкой методов отыскания экстремальных значений линейной функции, на неизвестные которой наложены линейные ограничения.

Задачи линейного программирования относятся к задачам на условный экстремум функции. Однако для исследования линейной функции многих переменных на условный экстремум нельзя применить хорошо разработанные методы математического анализа.

Действительно, пусть необходимо исследовать на экстремум линейную функцию при линейных ограничениях . Необходимым условием экстремума является . Но . Отсюда . Так как все коэффициенты линейной функции не могут быть равны нулю, то внутри области, образованной системой ограничений, экстремальные точки не существуют. Они могут быть только на границе области.

Для решения таких задач разработаны специальные методы линейного программирования, которые особенно широко применяются в экономике.

Линейная оптимизационная задача

Контрольный пример

Для производства столов и шкафов мебельная фабрика использует необходимые ресурсы. Нормы затрат ресурсов на одно изделие данного вида, прибыль от реализации одного изделия и общее количество имеющихся ресурсов каждого вида приведены в табл. 8.1.

Таблица 8.1

Ресурсы	Нормы затрат ресурсов на одно изделие	Общее количество ресурсов
стол	шкаф
Древесина 1 вида	0,2	0,1
Древесина 2 вида	0,1	0,3
Трудоемкость (человеко-часов)	1,2	1,5	371,4
Прибыль от реализации одного изделия (руб.)

Определить, сколько столов и шкафов фабрике следует изготовлять, чтобы прибыль от их реализации была максимальной.

Решение

Для решения этой задачи необходимо построить математическую модель. Процесс построения модели можно начать с ответа на следующие три вопроса:

1. Для определения каких величин строится модель?

2. В чем состоит цель, для достижения которой из множества всех допустимых значений переменных выбираются оптимальные?

3. Каким ограничениям должны удовлетворять неизвестные?

В данном случае мебельной фабрике необходимо спланировать объем производства столов и шкафов так, чтобы максимизировать прибыль. Поэтому переменными являются: х1 - количество столов, х2 - количество шкафов

Суммарная прибыль от производства столов и шкафов равна z=6*x1+8*x2. Целью фабрики является определение среди всех допустимых значений х1 и х2 таких, которые максимизируют суммарную прибыль, т.е. целевую функцию z

Ограничения, которые налагаются на х1 и х2:

· объем производства шкафов и столов не может быть отрицательным, следовательно: х1, х2 ³ 0.

· нормы затрат древесины на столы и шкафы не может превосходить максимально возможный запас данного исходного продукта, следовательно:

0,2x1+ 0,1x2 £40,

0,1x1 +0,3x2 £60.

Кроме того, ограничение на трудоемкость не превышает количества затрачиваемых ресурсов

1,2x1+ 1,5х2 £ 371,4.

Таким образом, математическая модель данной задачи имеет следующий вид:

Максимизировать функции.

z = 6х1 + 8х2

при следующих ограничениях:

0,2x1+ 0,1x2 £40

0,1x1 +0,3x2 £60

1,2x1+ 1,5х2 £ 371,4

Данная модель является линейной, т.к. целевая функция и ограничения линейно зависят от переменных.

Решение задачи с помощью MS Excel

1. Отвести ячейки A3 и ВЗ под значения переменных х1 и х2 (рис. 8.1).

Рис.8.1. Диапазоны, отведенные под переменные,
целевую функцию и ограничения

2. В ячейку С4 ввести функцию цели: =6*АЗ+8*ВЗ, в ячейки А7:А9 ввести левые части ограничений:

=0,2*А3+0,1*ВЗ

=0,1*А3+0,3*ВЗ

= 1,2*АЗ+1,5*ВЗ,

а в ячейки В7:В9 - правые части ограничений. (рис.8.1.)

3. Выбрать команды Сервис/Поиск решения (Tools/Solver) и заполнить открывшееся диалоговое окно Поиск решения (Solver) как показано на рис 8.2. Средство поиска решений является одной из надстроек Excel. Если в меню Сервис (Тоо1з) отсутствует команда Поиск решения (Solver), то для ее установки необходимо выполнить команду Сервис/ Надстройки/ Поиск решения (Tools/Add-ins/Solver). Для ввода ограничений нажмите кнопку Добавить.

Рис. 8.2. Диалоговое окно Поиск решения задачи о максимизации прибыли на фабрике

Внимание! В диалоговом окне Параметры поиска решения (Solver Options) необходимо установить флажок Линейная модель (Assume Linear Model) (Рис.8.3.).

Рис.8.3. Диалоговое окно Параметры поиска решения

4. После нажатия кнопки Выполнить (Solve) открывается окно Результаты поиска решения (Solver Results), которое сообщает, что решение найдено (рис. 8.4).

Рис. 8.4. Диалоговое окно Результаты поиска решения

5. Результаты расчета задачи представлены на рис. 8.5, из которого видно, что оптимальным является производство 102 столов и 166 шкафов. Этот объем производства принесет фабрике 1940 руб. прибыли.

Рис.8.5. Результаты расчета с помощью средства поиска решений для задачи максимизации выпуска столов и шкафов

Индивидуальное задание

1.Построить математическую модель задачи, согласно вашему варианту.

2.Решить задачу с помощью средства MS Excel Поиск решения.

3.Сделать соответствующие выводы.

Вариант 1

Для производства двух видов изделий А и В используется токарное, фрезерное и шлифовальное оборудование. Нормы затрат времени для каждого из типов оборудования на одно изделие данного вида приведены в табл.8.2. В ней же указан общий фонд рабочего времени каждого из типов оборудования, а также прибыль от реализации одного изделия.

Таблица 8.2

Тип оборудования	Затраты времени (станко-часов) на обработку одного изделия	Общий фонд полезного рабочего времени
А	В
Фрезерное Токарное Шлифовальное
Прибыль от реализации одного изделия (руб.)

Найти план выпуска изделий вида А и В, обеспечивающий максимальную прибыль от их реализации.

Вариант 2

На звероферме могут выращиваться черно-бурые лисицы и песцы. Для обеспечения нормальных условий их выращивания используется три вида кормов. Количество корма каждого вида, которое должны ежедневно получать лисицы и песцы, приведено в табл.8.3. В ней же указаны общее количество корма каждого вида, которое может быть использовано зверофермой, и прибыль от реализации одной шкурки лисицы и песца.

Найти оптимальное соотношение количества кормов и численности поголовья лис и песцов.

Таблица 8.3

Вид корма	Количество единиц корма, которое ежедневно должны получать	Общее количество корма
А	В
Вид 1 Вид 2 Вид 3
Прибыль от реализации одной шкурки (руб.)

Вариант 3

Для изготовления различных изделий А, В и С предприятие использует три различных видов сырья Нормы расхода сырья на производство одного изделия каждого вида, цена одного изделия А, В и С, а также общее количество сырья каждого вида, которое может быть использовано предприятием, приведены в табл. 8.4.

Таблица 8.4

Вид сырья	Норма затрат сырья (кг) на одно изделие	Общее количество сырья (кг)
А	В	С
Вид 1
Вид 2
Вид 3
Цена одного изделия (руб.)

Изделия А, В и С могут производится в любых соотношениях (сбыт обеспечен), но производство ограничено выделенным предприятию сырьем каждого вида.

Составить план производства изделий, при котором общая стоимость всей произведенной предприятием продукции является максимальной.

Вариант 4

На швейной фабрике для изготовления четырех видов изделий может быть использована ткань трех артикулов. Нормы расхода тканей всех артикулов на пошив одного изделия приведены в табл.8.5. В ней же указаны имеющиеся в распоряжении фабрики общее количество тканей каждого артикула и цена одного изделия данного вида. Определить, сколько изделий каждого вида должна произвести фабрика, чтобы стоимость изготовленной продукции была максимальной.

Таблица 8.5

Артикул ткани	Норма расхода ткани (м) на одно изделие вида	Общее количество ткани (м)
Вид 1	Вид 2	Вид 3	Вид 4
Артикул 1		-
Артикул 2	-
Артикул 3			-
Цена одного изделия (руб.)

Вариант 5

Фабрика "GRM pie" выпускает два вида каш для завтрака - "Crunchy" и "Chewy". Используемые для производства обоих продуктов ингредиенты в основном одинаковы и, как правило, не являются дефицитными.

Основным ограничением, накладываемым на объем выпуска, является наличие фонда рабочего времени в каждом из трех цехов фабрики.

Управляющему производством Джою Дисону необходимо разработать план производства на месяц. В табл. 8.6 указаны общий фонд рабочего времени и число человеко-часов, требуемое для производства 1 т продукта.

Таблица 8.6

Цех	Необходимый фонд рабочего времени, ч ел. -ч/г	Общий фонд рабочего времени, чел. -ч. в месяц
"Crunchy"	"Chewy"
А. Производство
В. Добавка приправ
С. Упаковка

Доход от производства 1 т "Crunchy" составляет 150 ф. ст., а от производства "Chewy" - 75 ф. ст. На настоящий момент нет никаких ограничений на возможные объемы продаж. Имеется возможность продать всю произведенную продукцию.

Требуется: сформулировать модель линейного программирования, максимизирующую общий доход фабрики за месяц и реализовать решение этой модели.

Вариант 6

Оливер А. Петере скоро выйдет на пенсию, и ему предстоит решить, как поступить с единовременным пособием, которое в соответствии с пенсионной программой будет предоставлено ему фирмой. М-р Петере и его супруга намерены предпринять длительный визит в Австралию к своей дочери сроком на два года, поэтому любые сделанные в настоящий момент инвестиции будут свободны для использования на данный период. Очевидно, цель м-ра Петерса состоит в максимизации общего дохода от вложений, полученного за двухлетний период.

Мистера Петерса проконсультировали, что наилучшим вариантом вложения инвестиций был бы инвестиционный фонд, и в настоящее время он рассматривает возможность помещения инвестиций в один из таких фондов, состоящий из инвестиций трех типов - А, В и С. Сумма единовременного пособия составит 25000 ф. ст., однако, мистер Петере считает, что нет необходимости вкладывать в данный инвестиционный фонд все деньги; часть из них он намерен перевести на свой счет жилищно-строительного кооператива, который гарантирует ему 9% годовых.

По мнению бухгалтера фирмы, мистеру Петерсу следует попытаться распределить свои инвестиции таким образом, чтобы обеспечить как получение дохода, так и рост капитала. Поэтому ему посоветовали не менее 40% от общей суммы вложить в вариант А и перевести на свой счет. Для обеспечения значительного роста капитала не менее 25% общей суммы денежных средств, вложенных в инвестиционный фонд, необходимо поместить в проект В, однако, вложения в В не должны превышать 35% общего объема вложений в инвестиционный фонд ввиду высокой вероятности риска, соответствующей проекту В. Кроме того, для сохранности капитала в проекты А и С следует вложить не менее 50% средств, помещаемых в инвестиционный фонд.

В настоящее время проект А позволяет получать 10 % годовых и обеспечивает 1% роста капитала, проект В предполагает рост капитала в 15%; проект С дает 4% годовых и 5%-ный рост капитала.

Требуется: учитывая цель м-ра Петерса, сформулировать модель линейного программирования, показывающую, как следует распределить сумму единовременного пособия между различными проектами инвестиций.

Вариант 7

Общество с ограниченной ответственностью по производству гусеничных механизмов выпускает пять сходных друг с другом товаров - А, В, С, D и Е. В табл. 8.7 представлены расходы ресурсов, необходимых для выпуска единицы каждого товара, а также недельные запасы каждого ресурса и цены продажи единицы каждого продукта.

Таблица 8.7

Ресурсы	Товар	Недельный запас ресурсов
А	В	С	D	Е
Сырье, кг Сборка, ч Обжиг, ч Упаковка, ч	6,00 1,00 0,50	6,50 0,75 4,50 0,50	6,10 1,25 0,50	6,10 1,00 0,75	6,40 1,00 4,50 1,00
Цена продажи, ф.ст

Известны также издержки, связанные с использованием каждого вида ресурсов:

сырье - 2,10 ф. ст. за 1 кг;

сборка - 3,00 ф. ст. за 1 ч;

обжиг- 1,30 ф. ст. за 1 ч;

упаковка - 8,00 ф. ст. за 1 ч.

Требуется сформулировать задачу линейного программирования таким образом, чтобы в качестве переменных как целевой функции, так и ограничений выступали ресурсы. Кратко сформулировать предпосылки применения модели. Для максимизации элементов, составляющих прибыль за неделю, следует использовать компьютерный пакет прикладных программ.

Вариант 8

Нефтяная компания "РТ" для улучшения эксплуатационных качеств и снижения точки замораживания дизельного топлива, которое она производит, добавляет в него определенные химикаты. В каждом бензобаке объемом 1000 л должно содержаться не менее 40 мг химической добавки X, не менее 14 мг химической добавки Y и не менее 18 мг химической добавки Z. Необходимые химические добавки в форме готовых смесей поставляют "РТ" две химические компании А и В. В табл.8.8 приведено содержание химических добавок в каждом продукте, поставляемом указанными компаниями.

Таблица 8.8

Продукт	Химические добавки, мг/л
X	У	Z
А В

Стоимость продукта А - 1,50 ф. ст. за 1 л, а продукта В - 3,00 ф. ст. за 1 л. Требуется: найти ассортиментный набор продуктов А и В, минимизирующий общую стоимость добавленных в топливо химикатов.

Вариант 9

Администрация компании "Nemesis Company", осуществляя рационализаторскую программу корпорации, приняла решение о слиянии двух своих заводов в Аббатсфилде и Берчвуде. Предусматривается закрытие завода в Аббатсфилде и за счет этого - расширение производственных мощностей предприятия в Берчвуде. На настоящий момент распределение рабочих высокой и низкой квалификации, занятых на обоих заводах, является следующим (табл. 8.9).

Таблица 8.9

Квалификация	Аббатсфилд	Берчвуд
Высокая Низкая
Итого

В то же время после слияния завод в Берчвуде должен насчитывать 240 рабочих высокой и 320 рабочих низкой квалификации.

После проведения всесторонних переговоров с привлечением руководителей профсоюзов были выработаны следующие финансовые соглашения:

1. Все рабочие, которые попали под сокращение штатов, получат выходные пособия следующих размеров:

Квалифицированные рабочие - 2000 ф. ст.;

Неквалифицированные рабочие - 1500 ф. ст.

2.Рабочие завода в Аббатсфилде, которые должны будут переехать, получат пособие по переезду в размере 2000 ф. ст.

3.Во избежание каких-либо преимуществ для рабочих Берчвудского завода доля бывших рабочих завода в Аббатсфилде на новом предприятии должна совпадать с долей бывших рабочих Берчвудского завода.

Требуется: Построить модель линейного программирования, в которой определяется, как осуществить выбор работников нового предприятия из числа рабочих двух бывших заводов таким образом, чтобы минимизировать общие издержки, связанные с увольнением и переменой места жительства части рабочих. В процессе формализации следует использовать следующие переменные:

S1- число квалифицированных рабочих, переведенных на новую работу с завода в Аббатсфилде,

S2 - число квалифицированных рабочих, переведенных на новую работу с завода в Берчвуде;

U1 - число неквалифицированных рабочих, переведенных на новую работу с завода в Аббатсфилде;

U2 - число неквалифицированных рабочих, переведенных на новую работу с завода в Берчвуде.

Вариант 10

Компания "Bermuda Paint" - частная промышленная фирма, специализирующаяся на производстве технических лаков. Представленная ниже табл. 8.10 содержит информацию о ценах продажи и соответствующих издержках производства единицы полировочного и матового лаков.

Таблица 8.10

Лак	Цена продажи 1 галлона, ф.ст	Издержки производства 1 галлона, ср. ст.
Матовый Полировочный	13,0 16,0	9,0 10,0

Для производства 1 галлона матового лака необходимо затратить 6 мин трудозатрат, а для производства одного галлона полировочного лака - 12 мин. Резерв фонда рабочего времени составляет 400 чел.-ч в день. Размер ежедневного запаса необходимой химической смеси равен 100 унциям, тогда как ее расход на один галлон матового и полировочного лаков составляет 0,05 и 0,02 унции соответственно. Технологические возможности завода позволяют выпускать не более 3000 галлонов лака в день.

В соответствии с соглашением с основным оптовым покупателем компания должна поставлять ему 5000 галлонов матового лака и 2500 Галлонов полировочного лака за каждую рабочую неделю (состоящую из 5 дней). Кроме того, существует профсоюзное соглашение, в котором оговаривается минимальный объем производства в день, равный 2000 галлонов. Администрации данной компании необходимо определить ежедневные объемы производства каждого вида лаков, которые позволяют получать максимальный общий доход.

Требуется: Построить и решить линейную модель для производственной проблемы, с которой столкнулась компания. Для исходной задачи (не учитывающей сверхурочные работы) определить промежуток изменении показателя единичного дохода за 1 галлон полировочного лака, в котором исходное оптимальное решение остается прежним.

Вариант 11

Членов Ассоциации ученых Мидленда недавно уведомили, что их ассоциация получит государственные гранты на проведение исследований в соответствии с четырьмя основными исследовательскими проектами. Исполнительный директор ассоциации должен по каждому проекту назначить научного руководителя. В настоящее время эти обязанности можно возложить на одного из пяти исследователей - Адаме, Браун, Карр, Дэй и Иване. Время, требуемое для завершения каждого из исследовательских проектов, зависит от опыта и способностей исследователя, которому будет поручено руководство выполнением проекта. Исполнительному директору были представлены оценки времени выполнения проекта каждым из ученых (в днях).

Поскольку все четыре проекта обладают равным приоритетом в выполнении, исполнительный директор заинтересован в таком назначении научных руководителей, которое бы позволило свести к минимуму общее время (в днях), требуемое для завершения всех четырех проектов.

Таблица 8.11

Ученый-исследователь	Проект
Адаме
Браун
Карр
Дай
Иване

Используя данные табл.8.11 определить оптимальный вариант назначения научных руководителей проектов и, следовательно, общее число дней, необходимое для завершения четырех проектов. Найти какие-либо другие варианты назначения, которые привели бы к тому же результату. Учитывая, что ученые Браун, Карр и Дэй отдают предпочтение проектам 2 и 3, а ученые Адаме и Иване - проектам 1 и 4, какой из имеющихся оптимальных вариантов назначения, принятый исполнительным директором, был бы наиболее разумным?

Вариант 12

Собственные средства банка вместе с депозитами в сумме составляют 100 млн. долл. Часть этих средств, но не менее 35 млн. долл., должна быть размещена в кредитах. Кредиты являются неликвидными активами банка, так как в случае непредвиденной потребности в наличности обратить кредиты в деньги без существенных потерь невозможно.

Ценные бумаги, особенно государственные можно в любой момент продать. Поэтому существует правило, согласно которому коммерческие банки должны покупать в определенной пропорции ликвидные активы - ценные бумаги, чтобы компенсировать неликвидность кредитов. В нашем примере ликвидное ограничение таково: ценные бумаги должны составлять не менее 30% средств, размещенных в кредитах и ценных бумагах.

Найти оптимальный план работы банка с ценными бумагами и собственными средствами.

Вариант 13

Фабрика имеет в своем распоряжении определенное количество ресурсов: рабочую силу, деньги, сырье, оборудование, производственные площади и т.п. Допустим, ресурсы трех видов: рабочая сила, сырье и оборудованием – имеются в количестве соответственно 80 (чел/дней), 480 (кг) и 130 (станко/час). Фабрика может выпускать ковры четырех видов. Информация о количестве единиц каждого ресурса, необходимых для производства одного ковра каждого вида, и доходах, получаемых предприятием от единицы каждого вида товаров, приведена в табл.8.12.

Таблица 8.12

Вид ресурса	Норма ресурсов на одно изделие	Ресурсы
Ковер «Лужайка»	Ковер «Силуэт»	Ковер «Детский»	Ковер «Дымка»
Труд
Сырье
Оборудование
Цена (тыс. руб.)

Найти оптимальный план выпуска продукции.

Вариант 14

Рацион для питания животных на ферме состоит из двух видов кормов 1 и 2. Один килограмм корма 1 стоит 80 ден. ед. и содержит: 1 ед. жиров, 3 ед. белков, 1 ед. углеводов, 2 ед. нитратов. Один килограмм корма 2 стоит 10 ден. ед. и содержит 3 ед. жиров, 1 ед. белков, 8 ед. углеводов, 4 ед. нитратов.

Составить наиболее дешевый рацион питания, обеспечивающий жиров не менее 6 ед., белков не менее 9 ед., углеводов не менее 8 ед., нитратов не более 16 ед.

Вариант 15

На двух автоматических линиях выпускают аппараты трех типов. Другие условия задачи приведены в табл. 8.13.

Таблица 8.13

Тип аппарата	Производительность работы линии, шт. в сутки	Затраты на работу линий, ден. ед. в сутки	План, шт.
А В С

Транспортная задача

Контрольный пример

Фирма имеет 4 фабрики и 5 центров распределения ее товаров. Фабрики фирмы располагаются в Денвере, Бостоне, Новом Орлеане и Далласе с производственными возможностями 200, 150, 225 и 175 единиц продукции ежедневно, соответственно. Центры распределения товаров фирмы располагаются в Лос-Анджелесе, Далласе, Сент-Луисе, Вашингтоне и Атланте с потребностями в 100, 200, 50, 250 и 150 единиц продукции ежедневно, соответственно. Хранение на фабрике единицы продукции, не поставленной в центр распределения, обходится в $0,75 в день, а штраф за просроченную поставку единицы продукции, заказанной потребителем в центре распределения, но там не находящейся, равен $2,5 в день Стоимость перевозки единицы продукции с фабрик в пункты распределения приведена в табл.8.14.

Таблица 8.14

		Лос-Анджелес	Даллас	Сен-Луис	Вашингтон	Атланта
	Денвер	1,50	2,00	1,75	2,25	2,25
	Бостон	2,50	2,00	1,75	1,00	1,50
	Новый Орлеан	2,00	1,50	1,50	1,75	1,75
	Даллас	2,00	0,50	1,75	1,75	1,75

Необходимо так спланировать перевозки, чтобы минимизировать суммарные транспортные расходы.

Поскольку данная модель сбалансирована (суммарный объем произведенной продукции равен суммарному объему потребностей в ней), то в этой модели не надо учитывать издержки, связанные как со складированием, так и с недопоставками продукции. В противном случае в модель нужно было бы ввести:

· в случае перепроизводства - фиктивный пункт распределения, стоимость перевозок единицы продукции в который полагается равной стоимости складирования, а объемы перевозок объемам складирова­ния излишков продукции на фабриках;

· в случае дефицита - фиктивную фабрику, стоимость перевозок единицы продукции с которой полагается равной стоимости штрафов за недопоставку продукции, а объемы перевозок - объемам недопоставок про­дукции в пункты распределения.

Для решения данной задачи построим ее математическую модель:

Неизвестными в данной задаче являются объемы перевозок. Пусть x_ij - объем перевозок с i-ой фабрики в j-й центр распределения. Функция цели - это суммарные транспортные расходы, т. е. где с_ij – стоимость перевозки единицы продукции с i-и фабрики j-й центр распределения.

Неизвестные в данной задаче должны удовлетворять следующим ограничениям:

· Объемы перевозок не могут быть отрицательными.

· Так как модель сбалансирована, то вся продукция должна быть вывезена с фабрик, а потребности всех центров распределения должны быть полностью удовлетворены.

В результате имеем следующую модель:

- минимизировать при ограничениях:

, j Î [1,5],

x_ij ³ 0, iÎ [1,4], jÎ [1,5],

, iÎ [1,4],

где a_ij - объем производства на i-й фабрике, bj - спрос в j-м центре распределения.