Стационарная теплопроводность однослойной и многослойной плоской стенки

В случае стационарной теплопроводности t-ра в любой точке тела неизменна во времени, поэтому процессы теплопереноса описывают диф. уравнением стационарной теплопроводности. или

При решении задач стационарной теплопроводности должны задаваться граничные условия, т.к. начальные условия не имеют смысла.

Рассмотрим теплопроводность через тонкую стенку, т.е. для пластины

неограниченно простирающейся вдоль осей Y и Z, но имеющей конечную толщину S в направлении оси X. Площадь через которую проходит тепловой поток постоянна. Коэф. теплопроводности стенки также величина const. T-ра на внешних поверхностях стенки известны и равны соответственно T₁ и T₂. Требуется найти распределение t-р в стенке и распределение теплового потока. Уравнение стационарной теплопроводности для одномерной задачи с учётом постоянства коэф. теплопроводности имеет вид

Проинтегрировав это уравнение один раз получим (9)

C₁ – произвольная константа интегрирования

Из полученного выражения следует, что плотность теплового потока – величина постоянная по толщине пластины, т.к. из закона Фурье:

Этот результат вытекает также из з-на сохранения энергии. Т.к. для сохранения стационарного режима необходимо, чтобы кол-во теплоты, проходящее через поверхности парал. плоскостей, были равны. Поскольку в противном случае T пластины должна изменяться во времени.

Вторично проинтегрировав ур-е (9) получим (11) t(x)=C₁x+C₂

С₂ – вторая производная.

Из выражения (11) следует, что распределений t-р по сечению пластины явл. линейным. Это выражение только при условии постоянства коэф-та теплопроводности , в противном случае распределение t-р явл. нелинейным. Значение С₁ и С₂ можно найти из граничных условий.

Граничные условия 1^ого рода

В этом случае задаём Т₁ и Т₂ на поверхностях пластины, т.е. t(0)=t₁ и t(S)=t₂. Используя эти граничные условия можно записать C₁=t₁

Второе граничное условие даёт С₁=(t₂-t₁)/S=-(t₁-t₂)/S. Т.о. распределение t-р по толщине пластины имеет вид t(x)= t₁-(t₁- t₂)x. Плотность теплового потока с учётом з-на Фурье – полный тепловой поток

Граничные условия 2^ого рода

При этом задано значение плотности теплового потока q на поверхностях пластины, т.е. q=const. Но в этом случае единственное решение задачи теплопроводности не существует, т.к. С₁= . Для решения задачи в приграничных условиях 2^ого рода необходимо задать дополнительное уравнение. Например: t-ру на одной из поверхностей, или t-ру среды и коэф. теплоотдачи.

Граничные условия 3^ого рода

В этом случае задаётся t-ра среды и коэф. теплоотдачи слева и справа пластины(рассматривается конвективный теплообмен). Распределение t-р по толщине пластины имеет линейный характер. В среде по обе стороны от пластины имеет место плавное изменение t-ры. Рассматриваемый процесс представляет собой процесс теплопередачи, т.е. включает коллективную теплоотдачу от среды к поверхности пластины, теплопроводность в пластине и конвективную теплоотдачу от поверхности пластины к среде.

Тепловые потоки для каждого из указанных процессов:

q_ср1-1=

поскольку процесс стационарный все эти три потока равны между собой: q₁=q₂=q₃=q

откуда имеем

K – коэф. теплопередачи

Тогда q=K Суммарное тепловое сопротивление

– внутреннее сопротивление стенки, – внешнее сопротивление.