Вибір оптимальної стратегії статиста

Перед вибором оптимальної стратегії треба спростити платіжну матрицю з урахуванням домінуючих стратегій статистика, тобто відкидаються рядки з меншими елементами. Відкидати ті або інші стани природи не можна (відкидати стовпчики), оскільки вона може реалізувати будь-який свій стан, вигідно це статисту або ні. (У попередньому прикладі це потреба у сировині).

Ризиком r_ij статистика, коли він користується чистою стратегією A_i при стані П_j природи називається різниця між β _j і α _ij, тобто r_ij = β _j - а_ij

Для попереднього приклада матриця ризиків, має вигляд

Ai	Пj
	П1	П2	П3	max rij
A1
A2
A3

Розглянемо критерії вибору оптимальної стратегії статистика з використанням можливостей q_j станів природи. У цьому випадку користуються як середнім , (i=1;2…m)

для кожної стратегії A_i статистика так і середнім значенням r_i ризику

, (i=1;2…m)

У якості оптимальної за критерієм Байєса приймається чиста стратегія A_i, що дає max a_i

i

Припустимо, що в попередньому прикладі ймовірності споживання сировини в кількості 10, 11 і 12 од. дорівнюють q₁=0,3;
q₂=0,1; q₃=0,6. Отримаємо таблицю

Ai	Пj
	П1	П2	П3	ai
A1		-5	-10	-6,5
A2	-2		-5	-36
A3	-4	-2		-1,4
qj	0,3	0,1	0,6

Аналогічно, по Байєсу буде оптимальною і стратегія, що дає min r_i

i

Це буде знову А₃.

Якщо статистик не має у своєму розпорядженні об'єктивної інформації про q_j, то вважають, що

Цей прийом називається “принципом недостатньої підстави Лапласа”. На ньому заснований критерій Лапласа, за яким оптимально розраховується стратегія, що забезпечує

Іноді в якості q_j беруть середні значення експертних оцінок для кожного стану П_j.

Дотепер ми обирали оптимальні стратегії із множини чистих стратегій. Можна довести, що якщо відомі апріорні ймовірності станів природи, то статистику немає рації користуватися змішаними стратегіями, тому що при цьому його середній виграш не збільшиться.

Розглянемо критерії вибору оптимальної стратегії статистика при невідомих ймовірностях станів природи.

Критерій Вальда - це максимальний критерій і він працює як для чистих, так і для змішаних стратегій. Критерій Вальда - це критерій крайнього песимізму, тому що статистик припускає, що природа діє проти нього найгіршим чином, тобто вибирає П_j, при яких його виграш min a_ij

j

А потім він вибирає A_i, що дає max {min a_ij}=α. Це звичайна максимінна стратегія. i j

Як видно з попередньої таблиці оптимальною чистою стратегією за Вальдом являється А₃ (min a_ij=-10;-5;-4), тобто запас сировини на підприємствах повинний бути 12 од. при витратах на збереження 4 од.

Для змішаних стратегій критерій Вальда формується: оптимальною змішаною стратегією статистика вважається та, при якій його мінімальний середній виграш min

буде max, тобто змішана стратегія P*=(P*₁, … , P*_m) находиться із умови

У розглянутому прикладі для знаходження оптимальної за Вальдом змішаної стратегії P*=(P*₁, P*₂, P*₃) вирішується задача лінійного програмування

(j=1,2, … ,n) x_i≥0

Вирішуючи яку знаходимо x*=(x*₁, … , x*_m) і f*=f_min V=1/ f_min і в результаті отримаємо, , V*=-20/7.

Висновок: додаткові витрати будуть мінімальними і складуть 20/7=2,86 од., якщо запас сировини підтримувати на рівні 10×2/7+11×0+12×5/7=11,43 од.

Як бачимо рішення в змішаних стратегіях більш доцільне (менше витрати і рівень запасу). Критерій Севіджа теж критерій крайнього песимізму. За критерієм вибирається та чиста стратегія A_i, для якої досягається У нашому прикладі це буде стратегія A₃

Для змішаних стратегій критерій Севіджа:

Вирішується задача

y_j≥ 0 (i=1,2,…,m)(j=1,2,…,n)

Знаходимо y^*=(y^*₁, … , y^*_n) і φ^*=φ _max. Ціна гри V=1/φ _max, q*_j=V*y^*_j (j=1,2,…,n)...

СПИСОК ЛІТЕРАТУРИ

1. Зайченко Ю.П. Исследование операций. - К.: Вища школа, 1986 .

2. Вентцель Е.С. Исследование операций. - М.: Сов. Радио, 1972.

3. Вентцель Е.С. Теория вероятностей. - М.: Наука, 1964.

4. Ивченко Г.И., Каштанов В.А., Коваленко И.Н. Теория массового обслуживания. - М.: Высшая школа, 1982.

5. Зайченко Ю.П., Шумилова С.А. Исследование операций: Сборник задач. - К.: Выща шк., 1990.

6. Кузнецов Ю.Н., Кузубов В.И., Волощенко А.Б. Математическое программирование. - М.: Высшая школа, 1986.

7. Акулич И.Л. Математическое программирование в примерах задачах. - М.: Высшая школа, 1986.

8. Кузнецов Ю.Н. и др. Математическое программирование: Учебное пособие для вузов. - М.: Высш. школа, 1976, 351 с.