Вавилонская поместная нумерация. Тема: системи числення (позиційні, непозиційні).
ЛАБОРАТОРНА РОБОТА №1
Тема: системи числення (позиційні, непозиційні).
Мета: виконати переведення чисел між різними системами числення та
основні алгебраїчні операції між числами двійкової системи.
Теоретичні відомості
Сукупність прийомів та правил найменування й позначення чисел називається системою числення. Звичайною для нас і загальноприйнятою є позиційна десяткова система числення. Як умовні знаки для запису чисел вживаються цифри.
Система числення, в якій значення кожної цифри в довільному місці послідовності цифр, яка означає запис числа, не змінюється, називається непозиційною.
Система числення, в якій значення кожної цифри залежить від місця в
послідовності цифр у записі числа, називається позиційною.
Щоб визначити число, недостатньо знати тип і алфавіт системи числення. Для цього необхідно ще додати правила, які дають змогу за значеннями цифр встановити значення числа. Найпростішим способом запису натурального числа є зображення його за допомогою відповідної кількості паличок або рисочок. Таким способом можна користуватися для невеликих чисел. Наступним кроком було винайдення спеціальних символів (цифр). У непозиційній системі кожен знак у запису незалежно від місця означає одне й те саме число.
Завдання до лабораторної роботи
3 варіант
1.Відповідно до варіанту виконати перетворення чисел з римської системі числення в десяткову і навпвки.
| X | |
| MMDLXIII | |
| II | |
| MXDLXIII |
2.Відповідно до варіанту виконати перетворення додатніх цілих чисел з однієї системи числення в іншу ( D- десяткова; В- двійкова; Q- вісімкова; H- шістнадцяткова).Навести блок-схему алгоритму перетворення десяткового цілого числа у двійкове.
| 110110001102 = 1*210+1*29+0*28+1*27+1*26+0*25+0*24+0*23+1*22+1*21+0*20 = 173410 |
| 221021123=2*27+2*26+1*25+0*24+1*23+1*22+1*21+2*20=43212 |
| 152210 = 0005F2 |
3. Відповідно до варіанту виконати перетворення дробових чисел з однієї системи числення в іншу. Навести блок-схему алгоритму перетворення десяткового дробового числа у двійкове.
| 10011,0101012=13,114116 |
| 0,91112=0,65849 |
| 7,7710=1,10002 |
4.Відповідно до варіанту виконати перетворення від`ємних чисел з однієї системи числення в іншу. Навести блок-схему алгоритму перетворення десяткового від`ємного числа у двійкове.
| -50310=10012 |
| 110110002=3308 |
| В1С516=4550910 |
5. Відповідно до варіанту виконати додавання та віднімання двійкових додатних чисел А і В, множення та ділення С і D.
| Додавання і віднімання | Множення і ділення |
| + 1110100 111100 | * 101 + 00000000 11101100 |
| ˉ 111100 999000 | 11101100 ÷101=1099911,88 |
6. Розкрити тему: «Найбільш значимі системи числення в історії людства»
Древнегреческая нумерация
В древнейшее время в Греции была распространена т.н. аттическая нумерация. Числа 1, 2, 3, 4 обозначались черточками , , , . Число 5 записывалось знаком (древнее начертание буквы «пи», с которой начинается слово «пенте» – пять); числа 6, 7, 8, 9 обозначались , , , . Число 10 обозначалось (начальной буквой слова «дека» – десять). Числа 100, 1000 и 10000 обозначались , , . Числа 50, 500, 5000 обозначались комбинациями знаков 5 и 10, 5 и 100, 5 и 1000. Общую запись чисел в аттической нумерации иллюстрирует пример 1.1.
Пример 1.1 Запись чисел в аттической системе счисления
| , | |
| , | |
| , | |
| . |
Таблица 1.1 Обозначение чисел в ионийской системе нумерации
| Обозна- Чение | Название | Значе-ние | Обозна-чение | Название | Значе-ние | Обозна-чение | Назва-ние | Значе-ние |
| Альфа | Йота | Ро | ||||||
| Бета | Каппа | Сигма | ||||||
| Гамма | Лямбда | Тау | ||||||
| Дельта | Мю | Ипсилон | ||||||
| Эпсилон | Ню | Фи | ||||||
| Фауб | Кси | Хи | ||||||
| Дзета | Омикрон | Пси | ||||||
| Эта | Пи | Омега | ||||||
| Тэта | Коппа | Сампи |
В третьем веке до н.э. аттическая нумерация была вытеснена так называемой ионийской системой. В ней числа 1 – 9 обозначались первыми девятью буквами алфавита; числа 10, 20, 30, … , 90 – следующими девятью буквами; числа 100, 200, … , 900 – последними девятью буквами.
Следует отметить, что буквы «фау», «коппа» и «сампи» отсутствуют в современном греческом алфавите.
Для обозначения тысяч и десятков тысяч пользовались теми же цифрами с добавлением особого значка ` сбоку.
Для отличия цифр от букв, составлявших слова, писали черточки над цифрами. Обозначение чисел в ионийской нумерации представлены в таблице 1.1, а примеры написания различных чисел в примере 1.2.
Пример 1.2 Запись чисел в ионийской системе счисления
| , | |
| , | |
| , | |
| , | |
| . |
Такую же алфавитную нумерацию имели в древности евреи, арабы и многие другие народы Ближнего Востока.
Славянская нумерация
Южные и восточные славянские народы для записи чисел пользовались алфавитной нумерацией. У одних славянских народов числовые значения букв установились в порядке славянского алфавита, у других же (в том числе у русских) роль цифр играли не все буквы, а только те, которые имеются в греческом алфавите. Над буквой, обозначавшей цифру, ставился специальный значок: («титло»).
В России славянская нумерация сохранилась до конца XVII века. При Петре I возобладала так называемая «арабская нумерация», которой мы пользуемся и сейчас. Славянская нумерация сохранялась только в богослужебных книгах. В таблице 1.2 приведены славянские цифры.
При записи чисел, больших 10, цифры писались слева направо в порядке убывания десятичных разрядов (однако иногда для чисел от 11 до 19 единицы записывались ранее десяти). Для обозначения тысяч перед числом их (слева внизу) ставился особый знак .
Пример 1.3 иллюстрирует написание чисел в славянской системе нумерации.
Таблица 1.2 Обозначение чисел в древнеславянской системе нумерации
| Обозна-чение | Название | Значе-ние | Обозна-чение | Название | Значе-ние | Обозна-чение | Назва-ние | Значе-ние |
| Аз | И | Рцы | ||||||
| Веди | Како | Слово | ||||||
| Глаголь | Люди | Твердо | ||||||
| Добро | Мыслите | Ук | ||||||
| Есть | Наш | Ферт | ||||||
| Зело | Кси | Хер | ||||||
| Земля | Он | Пси | ||||||
| Иже | Покой | Омега | ||||||
| Фита | Червь | Цы |
Пример 1.3 Запись чисел в древнеславянской системе счисления.
| , | |
| , | |
| , | |
| . |
Римская нумерация
Древние римляне пользовались нумерацией, которая сохраняется до настоящего времени под именем «римской нумерации». Мы пользуемся ей для обозначения веков, юбилейных дат, наименования съездов и конференций, для нумерации глав книги или строф стихотворения.
В позднейшем своем виде римские цифры выглядят так: , , , , , , .
В римской нумерации явственно сказываются следы пятиричной системы счисления. В языке же римлян (латинском) никаких следов пятиричной системы нет. Значит, эти цифры были заимствованы римлянами у другого народа (предположительно у этрусков).
Все целые числа (до 5000) записываются с помощью повторения вышеприведенных цифр. При этом, если большая цифра стоит перед меньшей, то они складываются, если же меньшая стоит перед большей (в этом случае она не может повторяться), то меньшая вычитается из большей. Подряд одна и та же цифра ставится не более трех раз. Рассмотрим примеры.
Пример 1.4 Запись чисел римскими цифрами
| , | |
| , | |
| , | |
| . |
Выполнение арифметических действий над многозначными числами в этой записи очень громоздко и трудно. Тем не менее римская нумерация преобладала в Италии до XIII века, а в других странах Западной Европы - до XVI века.
Вавилонская поместная нумерация
В древнем Вавилоне примерно за 40 веков до нашего времени создалась поместная (позиционная) нумерация, т.е. такой способ изображения чисел, при котором одна и та же цифра может обозначать разные числа, смотря по месту, занимаемому этой цифрой. Наша теперешняя нумерация - тоже поместная, однако в вавилонской поместной нумерации ту роль, которую играет у нас число 10, играло число 60, и потому эту нумерацию называют шестидесятиричной. Числа, меньшие 60, обозначались с помощью двух знаков: для единицы и для десятка Они имели клинообразный вид, так как вавилоняне писали на глиняных дощечках палочками треугольной формы. Эти знаки повторялись нужное число раз. При отсутствии промежуточного разряда применялся знак . Запись чисел до 60 показана в примере 1.5. Способ обозначения чисел, больших 60 сведен в таблицу 1.3.
Пример 1.5 Запись вавилонской клинописью чисел до 60
| , | |
| , | |
| , | |
| . |
Таблица 1.3 Запись вавилонской клинописью чисел, больших 60
| Обозначение | Значение | Способ образования |
Шестидесятиричная запись целых чисел не получила распространения за пределами ассиро-вавилонского царства, но шестидесятиричные дроби проникли далеко за эти пределы: в страны Среднего Востока, Средней Азии, в Северную Африку и Западную Европу. Они широко применялись, особенно в астрономии, вплоть до изобретения десятичных дробей. Следы шестидесятиричных дробей сохраняются и поныне в делении углового и дугового градуса (а также часа) на 60 минут и минуты на 60 секунд.