Системи числення, їх класифікація, та характеристика.
Завдання
1. Засвоїти теоретичний матеріал згідно теми;
2. Дати відповіді на поставлені питання (лекція 2);
3. Виконати письмово приведені завдання;
4. Випишіть питання, що виникли в ході засвоєння матеріалу;
5. Зробіть висновки.
Рекомендована література:
1. Стрыгин В.В., Щарев Л.С. Основы вычислительной микропроцессорной техники и программирования: Учеб. для вузов. – М.: Высш. Шк., 1989. – 479с.
2. В.В. Коштоев, К.К. Кипиани „Основы прикладной теории_цифровых автоматов” : Учебное пособие. – Тбилиси:1998. – 155 с.(електронний посібник)
Системи числення, їх класифікація, та характеристика.
Найпростішим способом запису натурального числа є зображення його за допомогою відповідної кількості паличок або рисочок. Таким способом можна користуватися для невеликих чисел. Як відомо, в давнину люди використовували таку систему підрахунку кількості об’єктів. Але з розвитком відносин між людьми, зростали і кількості об’єктів для підрахунку. Пальців на руках і ногах не вистачало, носити кіпу паличок – прототипів об’єктів підрахунку – також не зручно.
Наступним кроком було винайдення спеціальних символів (цифр). З історії людства відомі різні набори символів для зображення числа. Але не тільки набори символів в числі визначають його величину. Адже числа 358 і 583 містять однакові символи, але це різні числа.
Сукупність прийомів та правил найменування й позначення чисел називається системою числення.
Розрізняють системи числення:
· позиційні
· змішані
· непозиційні
Позиційні системи числення:Винахід позиційної системи числення, заснованої на помісному значенні цифр, приписують шумерам і вавилонцям. Її було розвинуто індусами і вона отримала неоціненні наслідки для історії людської цивилізації.
Загальноприйнятою в сучасному світі є десяткова позиційна система числення, яка з Індії через арабські країни прийшла в Європу. Основою цієї системи є число десять.
Основою системи числення називається число, яке означає, в скільки разів одиниця наступного розрядку більше за одиницю попереднього, або, скільки одиниць попереднього розряду поєднано в одиницю поточного.
Загальновживана форма запису числа є насправді не що інше, як скорочена форма запису розкладу за степенями основи системи числення,
Для позиційної системи числення з основою q будь-яке натуральне число х можна подати у вигляді полінома: , де ak — цілі (цифри, що утворюють число), такі, що 0≤ak<q, дійсне число xq = (anan-1 ... a0 , a-1 a-2 ... a-m)q= an*qn + an-1*qn-1 +… ..+a0*q0 +a-1*q -1 +a-2*q-2 +...+ a-m*q-m
В математичній практиці зручною визнана десяткова позиційна система числення, тобто основою її є число 10, а саме число розписується як розкладення його по степеням з основою 10:
xq = (anan-1...a0 , a-1a-2... a-m)q= an*10n + an-1*10n-1 +.. ...+a0*100 +a-1*10 -1 +a-2*10-2 +...+ a-m*10-m
Наприклад:130678=1·105+3·104+0·103+6·102+7·101+8·100
Тут 10 є основою системи числення, а показник степені - це номер позиції цифри в записі числа (нумерація ведеться зправо на ліво, починаючи з нуля).
У непозиційних системах числення величина, яку позначає цифра, не залежить від позиції її у числі. При цьому система може накладати обмеження на позиції цифр, например, щоб вони були розташовані по спаданню, чи згруповані за значенням. Проте це не є принциповою умовою для розуміння записаних такими системами чисел.
Римська цифра | Десяткове значення |
I | |
V | |
X | |
L | |
C | |
D | |
M |
Типовим прикладом непозиційної системи числення є римська система числення, в якій у якості цифр використовуються латинські букви:
Наприклад, VII = 5 + 1 + 1 = 7. Тут символи V і I означають 5 і 1, відповідно, незалежно від місця їх у числі.
Змішана система числення є узагальненням системи числення з основою b і її часто відносять до позиційниї систем числення. Основою змішаної системи є послідовність чисел, що зростає, і кожне число x представляється як лінійна комбінація: , де на коефіцієнти ak (цифри) накладаються деякі обмеження.
Системи числення в ЕОМ
Двійкова система счислення: Основа q =2, алфавіт – {0, 1}.
Найпоширенішою для подання чисел у пам'яті комп'ютера є двійкова система числення. Для зображення чисел у цій системі необхідно дві цифри: 0 і 1, тобто достатньо двох стійких станів фізичних елементів.
╔═···Приклад 1. Визначити десяткове число в двійковій системі числення х=1910.
Розв’язування. Кожні дві одиниці поєднуються в 1 десяток, кожні два десятка поєднуються в 1 сотню, дві сотні – в 1 тисячу, і т.д. Тобто 12=110, 102=210, 1002=410, 10002=810, 100002=1610, …
1910=(16+2+1)10=(10000+10+1)2=100112.
╚═··· |
Для людини двійкова система, звісно, є громіздкою у використанні. Їй звичною є десяткова система числення, в якій вироблені прийоми запису чисел за «іменем», прийоми додавання, віднімання, множення і ділення будь-яких чисел. У двійковому записі числа важко визначити його значення, оскільки відсутнє поняття «імені» саме двійкового числа, важко зпівставити ланцюжок, особливо при великій його довжині, зі змістом. Виникає потреба перетворити двійковий запис у десятковий і навпаки, що не так то і легко. Але ці операції є необхідними тоді, коли людина змушена за якимись причинами користуватися двійковою системою поза ЕОМ.
╔═···Приклад 2. Визначити десяткове значення числа, поданого в двійковій системі
числення х =100110112.
Розв’язування.
Згідно визначення число в позиційній системі числення можна розкласти у вигляді полінома:
100110112=(1·q7 + 0·q6 +0·q5 +1·q4 +1·q3 +0·q2 +1·q1 +1·q0)2 =
=1·27 + 0·26 +0·25 +1·24 +1·23 +0·22 +1·21 +1·20 ==27 + 24 +23 +21 +1=
=128+16+8+2+1=155.
╚═··· |
Не складно помітити, що результат складається з суми степенів основи 2k, де k – позиції числа, що містять 1 (k=0, 1, …). То ж надалі для простоти переведення двійкового числа в десяткову систему числення будемо використовувати таблицю десяткових значень розрядів двійкового числа, що містять 1:
Табл.1
k | 12 | 11 | 10 | 9 | 8 | 7 | 6 | 5 | 4 | 3 | 2 | 1 | 0 | |
2k | 4096 | 2048 | 1024 | 512 | 256 | 128 | 64 | 32 | 16 | 8 | 4 | 2 | 1 |
╔═···Приклад 3. Визначити десяткове значення числа, поданого в двійковій системі числення х=1010110102.
Розв’язування.
Згідно визначення число в позиційній системі числення можна розкласти у вигляді полінома:
1010110102 =2+8+16+64+256=26+320=346.
╚═··· |
Вісімкова система счислення: Основа q =8, алфавіт – {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}.
В 8-й системі числення не існує цифра 8, 9. Адже 8 одиниць попереднього розряду поєднуємо в одиницю поточного, тобто 8 одиниць поєднуємо в один десяток, 8 десятків в одну сотню, 8 сотень в одну тисячу і т.д. Тоді 810 = 108, 910 = 118.
╔═···Приклад 4. Визначити десяткове значення числа, поданого в вісімковій системі числення х=3578.
Розв’язування.
Згідно визначення число в позиційній системі числення можна розкласти у вигляді полінома:
3578 = ( 3·102 + 5·101 +7·100)8 = ( 3·82 + 5·81 +7·80)10 =192 + 40 + 7 = 239
╚═···
Спробуємо переводити десяткові числа в вісімкову систему.
╔═···Приклад 5. Визначити десяткове число в вісімковій системі числення х=77, х8-?
Розв’язування.
Кожні 8 одиниць поєднуємо в десятки. З 77-х одиниць утворюється 9 вісімкових десятків і 5 одиниць залишиться. З 9 десятків 8 десятків поєднаємо в одну сотню і 1 десяток залишиться. Одже отримали 1 сотню, 1 десяток і 5 одиниць: 77=1158.
╚═···
Шістнадцятерична система счислення: Основа q =16, алфавіт – {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B, C, D, E, F}.
В 16-й системі числення звичні для нас десяткові числа 10, 11, 12..15 менші ніж основа q =16, то ж вони повинні бути записані однією цифрою. Щоб не вигадувати додаткові цифри для цього, в міжнародній спільноті з цією метою використовуються перші латинькі літери, тобто: A16=10, B16=11, C16=12, D16=13, E16=14, F16=15.
╔═···Приклад 6. Визначити десяткове значення числа, поданого в 16-й системі числення х=2ЕА16.
Розв’язування.
Згідно визначення число в позиційній системі числення можна розкласти у вигляді полінома:
2ЕА16 = ( 2·102 + Е·101 +А·100)16 = ( 2·162 + 14·161 +10·160)10 =512 + 224 + 10 = 746
╚═···
10-а | 8-ва | 2-ва | 16-ва |
A | |||
B | |||
C | |||
D | |||
E | |||
F | |||
Приведемо таблицю значень десяткових чисел від 0 до 16 в розглянутих системах числення.
Для самостійної роботи
Критерії оцінювання:
1-5бали – конспект приведених прикладів;
Кожний розв’язаний приклад – 3 бали.
Максимальна кількість балів – 12.
Завдання 1. Визначити десяткове значення числа, поданого в двійковій системі числення.
Завдання 2. Визначити десяткове значення числа, поданого в вісімковій системі числення.
Завдання 3. Визначити десяткове значення числа, поданого в 16-ричній системі числення.
Завдання 4. Визначити десяткове число в вісімковій системі числення.
Варіант | Завдання 1 | Завдання 2 | Завдання 3 | Завдання 4 |
D1E6 | ||||
A0F5 | ||||
CC22 | ||||
B2A0 | ||||
9FC8 | ||||
E02B |