Задача заміни устаткування
Постановка задачі. Нехай r(t) - вартість продукції, виробленої за рік на одиниці устаткування, вік котрого t років; L(t) - щорічні витрати на обслуговування цього устаткування; S(t) - залишкова вартість устаткування; Р - вартість нового обладнання.
Визначити оптимальний цикл заміни устаткування за період часу тривалістю N років, причому за ці N років прибуток fN(t), повинний бути максимальний.
Зауваження. У аналізованому процесі вік устаткування відраховується у прямому напрямку, а етапи, на які розбитий процес, в зворотному. Тому t=0 відповідає початку використання нового обладнання.
Складемо функціональне рівняння, визначивши залежність між величинами, що входять до умов задачі, на двох суміжних етапах. Якщо зберегти устаткування, вік котрого t років, то прибуток підприємства від його використання складається з прибутку на N-ому етапі, отриманий як різниця r(t) - L(t) між вартістю виробленої продукції та експлуатаційних витрат, і прибутком, отриманим за N-1 етапів , що залишився , при роботі на устаткуванні, вік котрого t+1 років, тобто
f N(t) = r(t) - L(t) + fN-1(t+1) (1.13)
Якщо на N-ому етапі устаткування, вік котрого t років, замінити новим, то прибуток після такої заміни складається з прибутку, отриманого як S(t) + r(0) - [P + L(0)], де r(0) - вартість продукції, зробленої на устаткуванні, вік котрого 0 років, а L(0) - експлуатаційні витрати, і прибутки, отримані за N-1 етапів , що залишилися в роботі на устаткуванні, вік котрого 0+1 років, тобто
fN(t) = S(t)- P+ r(0)- L(0)+ fN-1(t+1) (1.14)
Об’єднуючи (1.13) і (1.14) одержимо основне функціональне рівняння.
(1.15)
де верхній рядок визначає прибуток, отриманий при роботі на старому устаткуванні, нижній - на новому.
При цьому перехід на нове обладнання відбувається за 1 етап.
Вважаючи в (1.15) N=1 одержуємо функціональне рівняння одноетапного процесу, для котрого fN-1(t+1) і fN-1 (1) не має змісту. Тому
(1.16 )
Рівняння (1.15) і (1.16) дозволяють визначити величину fN(t) у залежності від fN-1(t+1), де при переході від одного етапу до іншого вік устаткування збільшується від t до t+1, а число етапів зменшується від N до N-1.
Приклад. Нехай Р=10, а S(t) = 0, тобто устаткування цілком себе окупило; r(t) - L(t) = 
(t), (t) - задано в таблиці 6.
Таблиця 6
| t | |||||||||||||
| (t) |
Рівняння (1. 15-1. 16) приймають такий вигляд
(1.17 )
(1.18 )
Послідовно обчислимо максимальні fN(t) для
N =1;2;...;12 при t = 0;1; ...; 12, використовуючи значення (t) із таблиці 6.
При N=1 процес одноетапний, тому використовуємо (1.18)
і так далі. Результати в таблиці 7
Таблиця 7
| t | |||||||||||||
| етапи | N | N-1 | |||||||||||
| f1(t) | |||||||||||||
| f2(t) | |||||||||||||
| f3(t) | |||||||||||||
| f4(t) | |||||||||||||
| f5(t) | |||||||||||||
| f6(t) | |||||||||||||
| f7(t) | |||||||||||||
| f8(t) | |||||||||||||
| f9(t) | |||||||||||||
| f10(t) | |||||||||||||
| f11(t) | |||||||||||||
| f12(t) |
При N > 2 використовуємо (1.17)
і т.д.
Для знаходження величини f2(t) необхідно знайдені значення f1(t) скласти в такому порядку:
f2(0) = f1(0) + f1(1)
f2(1) = f1(1) + f1(2)
і т.д., потім кожне отримане значення порівняти з f1(1), тобто з 9. Якщо f1(1) > f2(t), то обчислення припиняються. У цей момент устаткування необхідно замінити, тому що розмір прибутку, одержуваного в результаті заміни, більше, ніж у випадку використання старого. Відзначаємо цей момент V і обчислення припиняємо. При N=3 із (4.17) випливає, що
f3(0) = f1(0) + f2(1)
f3(1) = f1(1) + f2(2)
f3(2) = f1(2) + f2(3) і т.д.
Обчислення припиняємо, якщо f3(k) < f2(1) = 17.
Узагальнимо отримані результати. Починаючи з N=2, обчислення проводимо по формулі f2+n(t)=f1(t)+f1+n(t+1) n = 0;1;2 ... , t =0;1;2; ..., порівнюючи отримані f із f1+n(1). Якщо f1+n(1)>f2+n(t), обчислення припиняємо (заміна устаткування). Тому всі обчислення можна проводити без функціонального рівняння, безпосередньо в таблиці 7. За умовою, довжина етапу збігається з роком, тому рішення закінчуємо на дванадцятиетапному процесі.
За результатами обчислень, приведеними у таблиці 7 і лінії, що розмежовує області рішень зберігання і заміни устаткування, знаходимо оптимальний цикл заміни устаткування. У дванадцятиетапному процесі устаткування повинно бути замінене через чотири роки, тобто на 8-ом етапі; у восьмиетапному процесі - через чотири роки, тобто на 4-ом етапі, у чотирьохетапному процесі устаткування повинно замінятися також через 4 роки.
Таким чином, для одержання max прибутків в 12-ти етапному процесі оптимальний цикл складається в заміні устаткування кожні 4 роки.
Якщо в задачі заміни устаткування покласти, що вік устаткування t і етапи N відраховуються в прямому напрямку, то функціональне рівняння приймає такий вигляд
(1.19 )
де f(t) - сумарний прибуток, отриманий починаючи з N етапу і до кінця процесу на устаткуванні вік котрого t років на N-ом етапі. Верхня строчка визначає прибуток при зберіганні устаткування, нижня - при його заміні. Тут r(t) - вартість продукції, зробленої на N-ом етапі на одиниці устаткування; LN(t) - витрати; r(0) - вартість продукції, зробленої на одиниці нового обладнання, LN(0), відповідно, витрати, UN(t) = PN - SN(t) - витрати по заміні устаткування на N етапі віку t років.
Необхідно в десятиетапному процесі тривалістю 10 років знайти цикл заміни устаткування, вік якого три роки, якщо відомі оцінки ефективності використання старого (таблиця 8) і нового (таблиця 9) устаткування, починаючи з моменту його виготовлення і до кінця аналізованого періоду.
Таблиця 8
| Вік устаткування | ||||||||||||
| r(t) | ||||||||||||
| L(t) | ||||||||||||
| U(t) |
Час виготовлення устаткування відраховується від початку процесу, тобто якщо нове обладнання виготовлене в 1-ий рік, то старе устаткування має вік 3 роки, якщо в 2-ий - чотири роки і т.д.
Таблиця 9
| Час виготовлення устаткування. | Вік устатку-вання | ||||||||||
| у 1-й рік | r(t) | ||||||||||
| L(t) | |||||||||||
| U(t) | |||||||||||
| у 2-й рік | r(t) | - | |||||||||
| L(t) | - | ||||||||||
| U(t) | - | ||||||||||
| у 3-й рік | r(t) | - | - | ||||||||
| L(t) | - | - | |||||||||
| U(t) | - | - | |||||||||
| у 4-й рік | r(t) | - | - | - | |||||||
| L(t) | - | - | - | ||||||||
| U(t) | - | - | - | ||||||||
| у 5-й рік | r(t) | - | - | - | - | ||||||
| L(t) | - | - | - | - | |||||||
| U(t) | - | - | - | - | |||||||
| у 6-й рік | r(t) | - | - | - | - | - | |||||
| L(t) | - | - | - | - | - | ||||||
| U(t) | - | - | - | - | - | ||||||
| у 7-й рік | r(t) | - | - | - | - | - | - | ||||
| L(t) | - | - | - | - | - | - | |||||
| U(t) | - | - | - | - | - | - | |||||
| у 8-й рік | r(t) | - | - | - | - | - | - | - | |||
| L(t) | - | - | - | - | - | - | - | ||||
| U(t) | - | - | - | - | - | - | - | ||||
| у 9-й рік | r(t) | - | - | - | - | - | - | - | - | ||
| L(t) | - | - | - | - | - | - | - | - | |||
| U(t) | - | - | - | - | - | - | - | - | |||
| у 10-й рік | r(t) | - | - | - | - | - | - | - | - | - | |
| L(t) | - | - | - | - | - | - | - | - | - | ||
| U(t) | - | - | - | - | - | - | - | - | - |
Рішення починаємо з кінця процесу N=10, тобто знаходимо
(1.20)
Надаючи t=1; ...; 10 і з огляду на те, що устаткування, вік якого t років, виготовлено в 10-t рік від початку процесу, на підставі даних таблиці 9, одержуємо (використовуючи оцінки устаткування виготовлені в 9 і 10-й роки)
і т.д.
При t = 10; 11; 12 для визначення r10(t), L10(t), U10(t) використовуємо оцінки старого устаткування, приведені в таблиці 8
і т.д. Результати записуємо в таблицю 10.
Для знаходження наступних f(t) при t = 9, 8, ..., 1 використовуємо результати таблиці 10 і рівняння (1.19). При N=9 і t=1; ...; 12 одержуємо
і т.д. При t = 9; 10; 11; 12 використовуємо оцінки, приведені в таблиці 8
і т.д.
Таблиця 10
| t | ||||||||||||
| fN(t) | ||||||||||||
| N | ||||||||||||
| f10(t) | -25 | -35 | -40 | |||||||||
| f9(t) | -15 | -25 | -25 | |||||||||
| f8(t) | ||||||||||||
| f7(t) | ||||||||||||
| f6(t) | ||||||||||||
| f5(t) | ||||||||||||
| f4(t) | ||||||||||||
| f3(t) | ||||||||||||
| f2(t) | ||||||||||||
| f1(t) |
Лінія розмежовує області рішень, що полягають у зберіганні і заміні устаткування.
Т.ч. для одержання максимального прибутку від використання устаткування в 10-ти етапному процесі оптимальний цикл заміни устаткування повинний складатися в заміні устаткування на 1-ому етапі, вік котрого 3 роки. Нове обладнання використовується до 5-го етапу, на якому воно знову замінюється, робота на цьому устаткуванні продовжується до 10 етапу, на якому воно знову замінюється
Задача планування виробництва з