Прямая линия на плоскости
Векторная алгебра.
Условие коллинеарности(параллельности) векторов и
:
или
, где
.
Орт вектора - вектор
, имеющий единичную длину и направление вектора
:
.
Проекция вектора на вектор
- число
.
Действия над векторами в координатной форме:
;
.
Длина вектора
:
.
Направляющие косинусывектора - числа:
,
,
, при этом
.
Координаты вектора , заданного точками
и
:
.
Расстояние между точками
и
:
.
Координаты точки , делящей отрезок
пополам:
,
,
.
Скалярное произведение векторов.
Скалярное произведениененулевых векторов и
- число:
.
Скалярное произведение обладает свойствами:
1) ; 2)
; 3)
; 4)
,где
- число;
Для векторов канонического базиса :
,
,
,
,
,
.
Некоторые приложения скалярного произведения:
1) Вычисление угла между векторами и
:
.
2) Установление перпендикулярности векторов и
:
.
3) Нахождение проекции вектора на вектор
:
.
Векторное произведение векторов.
Векторное произведение векторов и
- вектор
, определяемый условиями:
1) ; 2)
и
; 3)
- правая тройка векторов.
Векторное произведение обладает свойствами:
1) ; 2)
3)
; 4)
,где
- число;
Для векторов канонического базиса :
,
,
,
,
,
.
Для векторов и
, заданных координатами
,
:
Некоторые приложениявекторного произведения:
1) Вычисление площадей треугольника и параллелограмма: .
2) Установление параллельности векторов и
:
.
Смешанное произведение векторов.
Смешанное произведение упорядоченной тройки векторов ,
и
- число
. Смешанное произведение обладает свойствами:
1) ; 2)
; 3)
; 4)
и
-компланарны
;
Некоторые приложениясмешанного произведения:
1) Вычисление объёмов тетраэдра и параллелепипеда: .
2) Установление компланарности векторов ,
и
:
и
- компланарны.
3)Установление базиса в пространстве: и
- базис.
3)Установление принадлежности четырёх точек одной плоскости:
Аналитическая геометрия
Прямая линия на плоскости.
1) - общее уравнение прямой, где
- нормальный вектор прямой;
2) - уравнение прямой, проходящей через точку
вектору
;
3) - уравнение прямой, проходящей через точку
вектору
(каноническое уравнение);
4) - уравнение прямой, проходящей через две данные точки
,
;
5) -уравнения прямой с угловым коэффициентом
, где
- точка через которую прямая проходит;
(
) – угол прямой осью
;
- длина отрезка (со знаком
), отсекаемого прямой на оси
( «
», если на положительной части оси и «
», если на отрицательной).
6) -уравнение прямой в отрезках, где
и
- длины отрезков (со знаком
), отсекаемых прямой на координатных осях
и
( «
», если на положительной части оси и «
», если на отрицательной).
Расстояние от точки до прямой
:
.
Угол , (
) между прямыми
и
:
;
.
, если
или
.
,если
или
Координаты точки пересечения прямых и
:
или
.
Плоскость.
1) - общее уравнение плоскости, где
- нормальный вектор плоскости;
2) - уравнение плоскости, проходящей через точку
вектору
;
3) - уравнение плоскости, проходящей через три точки
,
и
;
4) -уравнение плоскости в отрезках, где
,
и
- дины отрезков (со знаком
), отсекаемых плоскостью на осях
,
и
( «
», если на положительной части оси и «
», если на отрицательной).
Расстояние от точки до плоскости
:
.
Угол , (
) между плоскостями
и
:
.
, если
, если
.