Трудности с алгоритмом обучения персептрона

Может оказаться затруднительным определить, выполнено ли условие разделимости для конкретного обучающего множества. Кроме того, во многих встречающихся на практике ситуациях входы часто меняются во времени и могут быть разделимы в один момент времени и неразделимы в другой. В доказательстве алгоритма обучения персептрона ничего не говорится также о том, сколько шагов требуется для обучения сети. Мало утешительного в знании того, что обучение закончится за конечное число шагов, если необходимое для этого время сравнимо с геологической эпохой. Кроме того, не доказано, что персептронный алгоритм обучения более быстр по сравнению с простым перебором всех возможных значений весов, и в некоторых случаях этот примитивный подход может оказаться лучше.

На эти вопросы никогда не находилось удовлетворительного ответа, они относятся к природе обучающего материала. В различной форме они возникают в последующих главах, где рассматриваются другие сетевые парадигмы. Ответы для современных сетей как правило не более удовлетворительны, чем для персептрона. Эти проблемы являются важной областью современных исследований.

Литература

1. McCulloch W. W., Pitts W. 1943. A logical calculus of the ideas imminent in nervous activiti. Bulletin of Mathematical Biophysics 5:115-33. (Русский перевод: Маккаллок У. С., Питтс У. Логическое исчисление идей, относящихся к нервной деятельности. Автоматы. – М.: ИЛ. – 1956.

2. Minsky M. L, Papert S. 1969. Perseptrons. Cambridge, MA: MIT Press. (Русский перевод: Минский М. Л., Пейперт С. Персептроны. – М: Мир. – 1971.)

3. Pitts W. Moculloch W. W. 1947. How we know universals. Bulletin of Mathematical Biophysics 9:127-47.

4. Rosenblatt F. 1962. Principles of Neurodinamics. New York: Spartan Books. (Русский перевод: Розенблатт Ф. Принципы нейродинамики. – М: Мир. – 1965.)

5. Widrow В. 1961. The speed of adaptation in adaptive control system, paper *1933-61. American Rocket Society Guidance Control and Navigation Conference.

6. Widrow B. 1963. A statistical theory of adaptation. Adaptive control systems. New York: Pergamon Press.

7. Widrow В., Angell J. B. 1962. Reliable, trainable networks for computing and control. Aerospace Engineering 21:78-123.

8. Widrow В., Hoff M. E. 1960. Adaptive switching circuits. 1960 IRE WESCON Convention Record, part 4, pp. 96-104. New York: Institute of Radio Engineers.

Глава 3.
Процедура обратного распространения

ВВЕДЕНИЕ В ПРОЦЕДУРУ ОБРАТНОГО РАСПРОСТРАНЕНИЯ

Долгое время не было теоретически обоснованного алгоритма для обучения многослойных искусственных нейронных сетей. А так как возможности представления с помощью однослойных нейронных сетей оказались весьма ограниченными, то и вся область в целом пришла в упадок.

Разработка алгоритма обратного распространения сыграла важную роль в возрождении интереса к искусственным нейронным сетям. Обратное распространение – это систематический метод для обучения многослойных искусственных нейронных сетей. Он имеет солидное математическое обоснование. Несмотря на некоторые ограничения, процедура обратного распространения сильно расширила область проблем, в которых могут быть использованы искусственные нейронные сети, и убедительно продемонстрировала свою мощь.

Интересна история разработки процедуры. В [7] было дано ясное и полное описание процедуры. Но как только эта работа была опубликована, оказалось, что она была предвосхищена в [4]. А вскоре выяснилось, что еще раньше метод был описан в [12]. Авторы работы [7] сэкономили бы свои усилия, знай они о работе [12]. Хотя подобное дублирование является обычным явлением для каждой научной области, в искусственных нейронных сетях положение с этим намного серьезнее из-за пограничного характера самого предмета исследования. Исследования по нейронным сетям публикуются в столь различных книгах и журналах, что даже самому квалифицированному исследователю требуются значительные усилия, чтобы быть осведомленным о всех важных работах в этой области.

ОБУЧАЮЩИЙ АЛГОРИТМ ОБРАТНОГО РАСПРОСТРАНЕНИЯ

Сетевые конфигурации

Рис. 3.1. Искусственный нейрон с активационнной функцией

Нейрон. На рис. 3.1 показан нейрон, используемый в качестве основного строительного блока в сетях обратного распространения. Подается множество входов, идущих либо извне, либо от предшествующего слоя. Каждый из них умножается на вес, и произведения суммируются. Эта сумма, обозначаемая NET, должна быть вычислена для каждого нейрона сети. После того, как величина NET вычислена, она модифицируется с помощью активационной функции и получается сигнал OUT.

Рис. 3.2. Сигмоидальная активационная функция.

На рис. 3.2 показана активационная функция, обычно используемая для обратного распространения.

. (3.1)

Как показывает уравнение (3.2), эта функция, называемая сигмоидом, весьма удобна, так как имеет простую производную, что используется при реализации алгоритма обратного распространения.

. (3.2)

Сигмоид, который иногда называется также логистической, или сжимающей функцией, сужает диапазон изменения NET так, что значение OUT лежит между нулем и единицей. Как указывалось выше, многослойные нейронные сети обладают большей представляющей мощностью, чем однослойные, только в случае присутствия нелинейности. Сжимающая функция обеспечивает требуемую нелинейность.

В действительности имеется множество функций, которые могли бы быть использованы. Для алгоритма обратного распространения требуется лишь, чтобы функция была всюду дифференцируема. Сигмоид удовлетворяет этому требованию. Его дополнительное преимущество состоит в автоматическом контроле усиления. Для слабых сигналов (величина NET близка к нулю) кривая вход-выход имеет сильный наклон, дающий большое усиление. Когда величина сигнала становится больше, усиление падает. Таким образом, большие сигналы воспринимаются сетью без насыщения, а слабые сигналы проходят по сети без чрезмерного ослабления.

Многослойная сеть.

На рис. 3.3 изображена многослойная сеть, которая может обучаться с помощью процедуры обратного распространения. (Для ясности рисунок упрощен.) Первый слой нейронов (соединенный с входами) служит лишь в качестве распределительных точек, суммирования входов здесь не производится. Входной сигнал просто проходит через них к весам на их выходах. А каждый нейрон последующих слоев выдает сигналы NET и OUT, как описано выше.

Рис. 3.3. Двухслойная сеть обратного распространения (e – желаемый сигнал).

В литературе нет единообразия относительно того, как считать число слоев в таких сетях. Одни авторы используют число слоев нейронов (включая несуммирующий входной слой), другие – число слоев весов. Так как последнее определение функционально описательное, то оно будет использоваться на протяжении книги. Согласно этому определению, сеть на рис. 3.3 рассматривается как двухслойная. Нейрон объединен с множеством весов, присоединенных к его входу. Таким образом, веса первого слоя оканчиваются на нейронах первого слоя. Вход распределительного слоя считается нулевым слоем.

Процедура обратного распространения применима к сетям с любым числом слоев. Однако для того, чтобы продемонстрировать алгоритм, достаточно двух слоев. Сейчас будут рассматриваться лишь сети прямого действия, хотя обратное распространение применимо и к сетям с обратными связями. Эти случаи будут рассмотрены в данной главе позднее.

Обзор обучения

Целью обучения сети является такая подстройка ее весов, чтобы приложение некоторого множества входов приводило к требуемому множеству выходов. Для краткости эти множества входов и выходов будут называться векторами. При обучении предполагается, что для каждого входного вектора существует парный ему целевой вектор, задающий требуемый выход. Вместе они называются обучающей парой. Как правило, сеть обучается на многих парах. Например, входная часть обучающей пары может состоять из набора нулей и единиц, представляющего двоичный образ некоторой буквы алфавита. На рис. 3.4 показано множество входов для буквы «А», нанесенной на сетке. Если через квадрат проходит линия, то соответствующий нейронный вход равен единице, в противном случае он равен нулю. Выход может быть числом, представляющим букву «А», или другим набором из нулей и единиц, который может быть использован для получения выходного образа. При необходимости распознавать с помощью сети все буквы алфавита, потребовалось бы 26 обучающих пар. Такая группа обучающих пар называется обучающим множеством.

Рис. 3.4. Распознавание изображении

Перед началом обучения всем весам должны быть присвоены небольшие начальные значения, выбранные случайным образом. Это гарантирует, что в сети не произойдет насыщения большими значениями весов, и предотвращает ряд других патологических случаев. Например, если всем весам придать одинаковые начальные значения, а для требуемого функционирования нужны неравные значения, то сеть не сможет обучиться.

Обучение сети обратного распространения требует выполнения следующих операций:

1. Выбрать очередную обучающую пару из обучающего множества; подать входной вектор на вход сети.

2. Вычислить выход сети.

3. Вычислить разность между выходом сети и требуемым выходом (целевым вектором обучающей пары).

4. Подкорректировать веса сети так, чтобы минимизировать ошибку.

5. Повторять шаги с 1 по 4 для каждого вектора обучающего множества до тех пор, пока ошибка на всем множестве не достигнет приемлемого уровня.

Операции, выполняемые шагами 1 и 2, сходны с теми, которые выполняются при функционировании уже обученной сети, т. е. подается входной вектор и вычисляется получающийся выход. Вычисления выполняются послойно. На рис. 3.3 сначала вычисляются выходы нейронов слоя j, затем они используются в качестве входов слоя k, вычисляются выходы нейронов слоя k, которые и образуют выходной вектор сети.

На шаге 3 каждый из выходов сети, которые на рис. 3.3 обозначены OUT, вычитается из соответствующей компоненты целевого вектора, чтобы получить ошибку. Эта ошибка используется на шаге 4 для коррекции весов сети, причем знак и величина изменений весов определяются алгоритмом обучения (см. ниже).

После достаточного числа повторений этих четырех шагов разность между действительными выходами и целевыми выходами должна уменьшиться до приемлемой величины, при этом говорят, что сеть обучилась. Теперь сеть используется для распознавания и веса не изменяются.

На шаги 1 и 2 можно смотреть как на «проход вперед», так как сигнал распространяется по сети от входа к выходу. Шаги 3, 4 составляют «обратный проход», здесь вычисляемый сигнал ошибки распространяется обратно по сети и используется для подстройки весов. Эти два прохода теперь будут детализированы и выражены в более математической форме.

Проход вперед. Шаги 1 и 2 могут быть выражены в векторной форме следующим образом: подается входной вектор Х и на выходе получается вектор Y. Векторная пара вход-цель Х и Т берется из обучающего множества. Вычисления проводятся над вектором X, чтобы получить выходной вектор Y.

Как мы видели, вычисления в многослойных сетях выполняются слой за слоем, начиная с ближайшего к входу слоя. Величина NET каждого нейрона первого слоя вычисляется как взвешенная сумма входов нейрона. Затем активационная функция F «сжимает» NET и дает величину OUT для каждого нейрона в этом слое. Когда множество выходов слоя получено, оно является входным множеством для следующего слоя. Процесс повторяется слой за слоем, пока не будет получено заключительное множество выходов сети.

Этот процесс может быть выражен в сжатой форме с помощью векторной нотации. Веса между нейронами могут рассматриваться как матрица W. Например, вес от нейрона 8 в слое 2 к нейрону 5 слоя 3 обозначается w_8,5. Тогда NET-вектор слоя N может быть выражен не как сумма произведений, а как произведение Х и W. В векторном обозначении N= XW. Покомпонентным применением функции F к NET-вектору N получается выходной вектор О. Таким образом, для данного слоя вычислительный процесс описывается следующим выражением:

О = F(XW). (3.3)

Выходной вектор одного слоя является входным вектором для следующего, поэтому вычисление выходов последнего слоя требует применения уравнения (3.3) к каждому слою от входа сети к ее выходу.

Обратный проход. Подстройка весов выходного слоя. Так как для каждого нейрона выходного слоя задано целевое значение, то подстройка весов легко осуществляется с использованием модифицированного дельта-правила из гл. 2. Внутренние слои называют «скрытыми слоями», для их выходов не имеется целевых значений для сравнения. Поэтому обучение усложняется.

На рис. 3.5 показан процесс обучения для одного веса от нейрона р в скрытом слое j к нейрону q в выходном слое k. Выход нейрона слоя k, вычитаясь из целевого значения (Target), дает сигнал ошибки. Он умножается на производную сжимающей функции [OUT(1 – OUT)], вычисленную для этого нейрона слоя k, давая, таким образом, величину δ.

δ = OUT(1 – OUT)(Target – OUT) (3.4)

Затем δ умножается на величину OUT нейрона j, из которого выходит рассматриваемый вес. Это произведение в свою очередь умножается на коэффициент скорости обучения η (обычно от 0,01 до 1,0), и результат прибавляется к весу. Такая же процедура выполняется для каждого веса от нейрона скрытого слоя к нейрону в выходном слое.

Следующие уравнения иллюстрируют это вычисление:

Δw_pq,k = η δ_q,k OUT (3.5)

w_pq,k(n+1) = w_pq,k(n) + Δw_pq,k (3.6)

где w_pq,k(n) – величина веса от нейрона p в скрытом слое к нейрону q в выходном слое на шаге n (до коррекции); отметим, что индекс k относится к слою, в котором заканчивается данный вес, т. е., согласно принятому в этой книге соглашению, с которым он объединен; w_pq,k(n+1) – величина веса на шаге n + 1 (после коррекции); δ_q,k – величина δ для нейрона q, в выходном слое k; OUT_p,j – величина OUT для нейрона р в скрытом слое j.

Рис. 3.5. Настройка веса в выходном слое

Подстройка весов скрытого слоя. Рассмотрим один нейрон в скрытом слое, предшествующем выходному слою. При проходе вперед этот нейрон передает свой выходной сигнал нейронам в выходном слое через соединяющие их веса. Во время обучения эти веса функционируют в обратном порядке, пропуская величину δ от выходного слоя назад к скрытому слою. Каждый из этих весов умножается на величину δ нейрона, к которому он присоединен в выходном слое. Величина δ, необходимая для нейрона скрытого слоя, получается суммированием всех таких произведений и умножением на производную сжимающей функции:

(3.7)

(см. рис. 3.6). Когда значение δ получено, веса, питающие первый скрытый уровень, могут быть подкорректированы с помощью уравнений (3.5) и (3.6), где индексы модифицируются в соответствии со слоем.

Рис. 3.6. Настройка веса в скрытом слое

.Для каждого нейрона в данном скрытом слое должно быть вычислено δ и подстроены все веса, ассоциированные с этим слоем. Этот процесс повторяется слой за слоем по направлению к входу, пока все веса не будут подкорректированы.

С помощью векторных обозначений операция обратного распространения ошибки может быть записана значительно компактнее. Обозначим множество величин δ выходного слоя через D_k и множество весов выходного слоя как массив W_k. Чтобы получить D_j, δ-вектор выходного слоя, достаточно следующих двух операций:

1. Умножить о-вектор выходного слоя D_k на транспонированную матрицу весов W’_k, соединяющую скрытый уровень с выходным уровнем.

2. Умножить каждую компоненту полученного произведения на производную сжимающей функции соответствующего нейрона в скрытом слое.

В символьной записи

D_j = D_kW’_k $[0_j $(I – 0_j)],(3.8)

где оператор $ в данной книге обозначает покомпонентное произведение векторов, О_j – выходной вектор слоя j и I – вектор, все компоненты которого равны 1.

Добавление нейронного смещения. Во многих случаях желательно наделять каждый нейрон обучаемым смещением. Это позволяет сдвигать начало отсчета логистической функции, давая эффект, аналогичный подстройке порога персептронного нейрона, и приводит к ускорению процесса обучения. Эта возможность может быть легко введена в обучающий алгоритм с помощью добавляемого к каждому нейрону веса, присоединенного к +1. Этот вес обучается так же, как и все остальные веса, за исключением того, что подаваемый на него сигнал всегда равен +1, а не выходу нейрона предыдущего слоя.

Импульс. В работе [7] описан метод ускорения обучения для алгоритма обратного распространения, увеличивающий также устойчивость процесса. Этот метод, названный импульсом, заключается в добавлении к коррекции веса члена, пропорционального величине предыдущего изменения веса. Как только происходит коррекция, она «запоминается» и служит для модификации всех последующих коррекций. Уравнения коррекции модифицируются следующим образом:

Δw_pq,k(n+1)= η δ_q,k OUT_p,j + aΔw_pq,k(n) (3.9)

w_pq,k(n+1) = w_pq,k(n) + Δw_pq,k(n+1) (3.10)

где (a – коэффициент импульса, обычно устанавливается около 0,9.

Используя метод импульса, сеть стремится идти по дну узких оврагов поверхности ошибки (если таковые имеются), а не двигаться от склона к склону. Этот метод, по-видимому, хорошо работает на некоторых задачах, но дает слабый или даже отрицательный эффект на других.

В работе [8] описан сходный метод, основанный на экспоненциальном сглаживании, который может иметь преимущество в ряде приложений.

Δw_pq,k(n+1)= (1-a) δ_q,k OUT_p,j + aΔw_pq,k(n) (3.9)

Затем вычисляется изменение веса

w_pq,k(n+1) = w_pq,k(n) + ηΔw_pq,k(n+1), (3.10)

где a коэффициент сглаживания, варьируемый и диапазоне от 0,0 до 1,0. Если a равен 1,0, то новая коррекция игнорируется и повторяется предыдущая. В области между 0 и 1 коррекция веса сглаживается величиной, пропорциональной a. По-прежнему, η является коэффициентом скорости обучения, служащим для управления средней величиной изменения веса.