Обобщение понятия угла
Основы тригонометрии.
O |
B |
A |
Ð AOB = a, 0 ° £ a £ 180 °.
Рассмотрим в окружность с центром в точке О радиуса r - . На выберем точку М.
ОА- начальный радиус .
- радиус-вектор точки М, принадлежащей .
Ð (ОА, ) = Ð AOМ = a.
Описание: Углом поворота AOМ называется угол, образованный вращением вокруг начала координат начального радиуса ОА до положения ОМ.
y |
x |
M |
A |
a |
y |
x |
M1 |
M2 |
a1 |
a2 |
А |
a1= Ð AOМ1 = 45° a2 = Ð AOМ2 = - 45°
Если начальный радиус повернуть против часовой стрелки на 180°, а потом еще на 30°, то угол поворота будет равен 210°. И начальный радиус сделает полный оборот, то угол поворота будет равен 360°, если он сделает полтора оборота в том же направлении, то угол поворота будет равен 540° и так далее.
Вывод: Угол поворота может принимать любые значения, большие 360° и меньшие - 360° .
Упражнение: Постройте углы 405°, - 210°, 840°, - 1320°, 2385°.
Рассмотрим в окружность . Построим угол a = Ð AO М = 150°.
Вопрос:Какие углы будут соответствовать этому же радиус-вектору?
Ответ: Если a= Ð AOМ = 150°, то углы 150° + 360° n, где n Î Z, соответствуют этому же радиус-вектору. При n= 0 , 1 , - 1 , 2 , - 2 получаем 150°, 510°, - 210°, 870°, -570°.
Вывод: Радиус-вектору точки М, принадлежащей , соответствует бесконечное множество углов, отличающихся друг от друга на целое число полных оборотов: b = a + 360 °× n , n Î Z.
Замечание: Пусть при повороте на угол a начальный радиус ОА переходит в положение . В зависимости от того, в какой координатной четверти окажется радиус-вектор , угол a называют углом этой координатной четверти (говорят, что угол a принадлежиткоординатной четверти).
Если a Î ( 0°; 90°), то a+ 360° n, где n Î Z, - углы 1-ой координатной четверти.
Если a Î ( 90°; 180°), то a+ 360° n, где n Î Z, - углы 2-ой координатной четверти.
Если a Î (180°; 270°), то a+ 360° n, где n Î Z, - углы 3-ей координатной четверти.
Если a Î (270°; 360°), то a + 360° n, где n Î Z, - углы 4-ой координатной четверти.
Углы 0º, ± 90º, ± 180º, ± 270º, ± 360º, … не принадлежат никакой координатной четверти.
Пример: Какой координатной четверти принадлежит угол- 2763°?
Решение: Разделив 2763° на 360°, выясним, сколько полных оборотов нужно сделать при построении данного угла. - 2763° = - 360° · 7 - 243°.
Так как угол - 243° принадлежит 2-ой к. ч., значит, угол - 2763° принадлежит 2-ой к. ч.
Ответ: - 2763° Î 2-ой к. ч.
Упражнение: Какой координатной четверти принадлежат углы: 598°, 3672°, - 1743°?
2. Градусная и радианная меры угла
x |
y |
A1 |
A2 |
M1 |
B1 |
M2 |
B2 |
Рассмотрим в окр. (О, ОА1 = r1),окр. (О, ОА2 = r2).
a = Ð A1 O В1= Ð A 2 O В2
Углу a соответствует дуга l1 = A1 М1 В1 , дуга l2 = A2 М2 В2 .
Для данного центрального угла a отношение длины дуги к длине радиуса есть величина постоянная.
;
Определение: Число а, равное отношению длины дуги l, соответствующей некоторому центральному углу a, к длине радиуса r, называется радианной мерой этого угла.
Вывод: Если радиус окружности равен 1, то радианная мера центрального угла – это длина дуги, соответствующей этому центральному углу.
Определение: 1 радиан – единица радианной меры угла – это центральный угол, которому соответствует дуга, равная радиусу.
Всякий угол, заданный в градусной мере, можно перевести в радианную меру, и, наоборот, угол, заданный в радианной мере, можно перевести в градусную меру.
Углу 360° соответствует дуга, равная длине окружности (lокр. = 2p r ).
; 360° = 2p ;180° = p .
a – градусная мера данного угла;
а – радианная мера данного угла.
3.
y |
x |
A |
M |
x |
y |
r |
a |
Рассмотрим в окружность с центром в точке О радиуса r =1 - .
На выберем точку М (x; y).
ОА- начальный радиус .
- радиус-вектор точки М (x; y), принадлежащей
.
Ð (ОА, ОМ ) = Ð AO М = a.
Определение: Синусом угла a называется ордината радиус-вектора точки М, принадлежащей .
Определение: Косинусом угла a называется абсцисса радиус-вектора точки М, принадлежащей .
Определение: Тангенсом угла a называется отношение ординаты радиус-вектора точки М, принадлежащей , к его абсциссе.
Определение: Котангенсом угла a называется отношение абсциссы радиус-вектора точки М, принадлежащей ,к его ординате.
С изменением угла a координаты радиус-вектора точки меняются, а его модуль остается без изменения.
, , , – переменные величины, зависящие от a. Каждому допустимому значению a соответствует единственное значение , , , . Поэтому синус, косинус, тангенс и котангенс являются функциями угла a. Их называюттригонометрическими функциями.
Функции и определены при любом значении , так как для любого угла поворота можно найти значения координат y и x.
Вывод: ; .
Функция имеет смысл при любом , кроме углов поворота ± , ± , ± , …, так как для этих углов не имеет смысла дробь ( x = 0 ) .
Функция имеет смысл при любом , кроме углов поворота 0, ± p , ± 2 p, …, так как для этих углов не имеет смысла дробь ( y = 0 ) .
Вывод: 1)
2)
Замечание:
1) Углы , называют углами вертикального диаметра (Рис.1).
y |
x |
y |
x |
Рис.1. Рис.2.
4. Знаки тригонометрических функций
Так как , то знак зависит от знака ординаты y. В 1-ой и 2-ой координатных четвертях y > 0, в 3-ей и 4-ой координатных четвертях y < 0.
Вывод: , если a является углом 1-ой или 2-ой координатных четвертей,
, если a является углом 3-ей или 4-ой координатных четвертей.
Так как , то знак зависит от знака абсциссы x. В 1-ой и 4-ой координатных четвертях x > 0, во 2-ой и 3-ей координатных четвертях x < 0.
Вывод: , если a является углом 1-ой или 4-ой координатных четвертей,
, если a является углом 2-ой или 3-ей координатных четвертей.
Так как и , то знаки и зависят от знаков x и y.
В 1-ой и 3-ей к. ч. x и y имеют одинаковые знаки, а во 2-ой и 4-ой к. ч. x и y имеют разные знаки.
Вывод: , , если a является углом 1-ой или 3-ей к. ч.,
, , если a является углом 2-ой или 4-ой к. ч.
y |
x |
y |
x |
y |
x |
+ |
- |
- |
- |
- |
- |
- |
+ |
+ |
+ |
+ |
+ |
Пример: Определить знак выражения: 1) sin 973º; 2) .
Решение:
1) 973º = 360º·2 + 253º; 253ºÎ (180°; 270°), значит, 973ºÎ 3-ей к. ч.,
следовательно, sin 973º < 0 .
2) Î 4-ой к. ч., значит, Î 4-ой к. ч.,
следовательно, .
Ответ: sin 973º < 0; .
Упражнения:
№1. Среди углов 770º, 480º, – 50º, 1560º, – 240º, – 310º найдите такие углы, при которых начальный радиус займет то же положение, что и при повороте на угол: а) a = 50º; б) a = 120º.
№2. Определите знак выражения:
cos 567º; sin 5791º; tg 269º; ctg (– 705º); cos 1259º; ctg .
№3. Какой знак имеют , , , , если:
.
№4. Определите знак выражения:
а) sin 190º · tg 200º ; б) cos 320º · ctg 79º ; в) cos 271º · sin 453º · tg 514º · ctg 378º,
г) – sin 50º ·(– cos (– 91º)) · tg 170º· ctg (– 640º) · sin 530º.
№5. Углом какой координатной четверти является угол a, если:
а) sin a > 0 и cos a > 0; г) sin a > 0 и tg a > 0;
б) sin a < 0 и cos a > 0; д) tg a < 0 и cos a > 0;
в) sin a < 0 и cos a < 0; е) ctg a > 0 и sin a < 0.
5. Значения тригонометрических функций основных углов.
210º |
330º |
х |
у |
0º (0) |
30º |
45º |
60º |
90º |
120º |
240º |
225º |
135º |
150º |
180º (p ) |
270º |
315º |
300º |
360º (2p ) |
Воспользуемся определениями тригонометрических функций для нахождения значений тригонометрических функций основных углов.
Основные углы:
у |
x |
М1 (1; 0) |
М2 (0; 1) |
М3 (– 1; 0) |
М4 (0; –– 1) |
Радиус-вектор ,образующий углы 0º и 360º, имеет координаты (1; 0 ).
sin 0º = sin 360º = y = 0; cos 0º = cos 360º = x = 1;
tg 0º = tg 360º = = 0; ctg 0º = ctg 360º = – не существует.
Радиус-вектор ,образующий угол 90º, имеет координаты (0; 1 ).
sin 90º = y = 1; cos 90º = x = 0;
tg 90º = – не существует; ctg 90º = = 0 .
Радиус-вектор ,образующий угол 180º, имеет координаты ( – 1; 0 ).
sin 180º = y = 0; cos 180º = x = –1;
tg 180º = = 0; ctg 180º = – не существует.
Радиус-вектор ,образующий угол 270º, имеет координаты (0; – 1 ).
sin 270º = y = –1; cos 270º = x = 0;
М |
М |
М |
у |
у |
у |
х |
х |
х |
А |
А |
А |
В |
В |
В |
х |
у |
у |
у |
х |
х |
a |
a |
a |
Рис.1. a = 30º. Рис.2. a = 60º. Рис.3. a = 45º.
Рис.1. Радиус-вектор , образующий угол a = 30º, имеет координаты .
sin 30º = y = ; cos 30º = x = ; tg 30º = = ; ctg 30º = = .
Рис.2. Радиус-вектор , образующий угол a = 60º, имеет координаты
sin 60º = y = ; cos 60º = x = ; tg 60º = = ; ctg 60º = = .
Рис.3. Радиус-вектор , соответствующий углу a = 45º, имеет координаты
sin 45º = y = ; cos 45º = x = ; tg 45º = = 1; ctg 45º = = 1.
Пример:
№1. Вычислить значения всех тригонометрических функций углов:
a)
х |
у |
М3 |
М1 |
М2 |
М4 |
М5 |
М6 |
А |
a2 |
a1 |
a3 |
b) a2 = 225º ;
c) a3 = 330º .
Решение:
a) Радиус-вектор , соответствующий углу a = 60º, имеет координаты
Радиус-вектор , соответствующий углу a =120º, имеет координаты
sin 120º = y = ; cos 120º = x = ; tg 120º = = ; ctg 120º = = .
b)Радиус-вектор , соответствующий углу a = 45º, имеет координаты .
Радиус-вектор , соответствующий углу a =225º, имеет координаты .
sin 225º = y = ; cos 225º = x = ; tg 225º = = 1; ctg 225º = = 1.
c) Радиус-вектор , соответствующий углу a = 30º, имеет координаты
Радиус-вектор , соответствующий углу a=330º, имеет координаты .
sin 330º = y = ; cos 330º = x = ; tg 330º = = ; ctg 330º = = .
№2. Для каких значений угла верно равенство: 1) cos b = 0; 2) .
Решение:
y |
x |
y |
x |
a = – + 2p k , k Î Z
a = - p + 2p k , k Î Z
a = p + 2p k , k Î Z
b = + p k , k Î Z
Ответ: 1) b = + p k , k Î Z ; 2) a = p + 2p k , k Î Z .
№3. Найти область допустимых значений аргумента a : .
Решение:
1) Исключаем значения a , при которых не существует ctg a: a ¹ p k , k Î Z.
2) Исключаем значения a, при которых знаменатель дроби sin a +1 обращается в нуль: sin a +1 ¹ 0; sin a ¹– 1;a ¹ + 2p k , k Î Z
Ответ:a ¹ p k , k Î Z ; a ¹ + 2p k , k Î Z .
Упражнения:
№1. Вычислить значения всех тригонометрических функций углов:
135º ; 150º ; 210º ; 240º ; 300º ; 315º .
№2. Найти значение выражения:
а) 2 sin p –2 cos +3 tg – ctg ; б) cos 2 – cos 2 ;
в) 3 sin 2 –4 tg 2 – 3 cos 2 +3 ctg 2 ; г) tg × cos 2 × sin ;
д) ; е) .
№3. Для каких значений углаверно равенство:
а) sin a = 1; б) cos b = – 1; в) tg a = 0; г) ctg b =1.
6. Изменение тригонометрических функций с увеличением угла.
Рассмотрим в окружность с центром в точке О радиуса r= 1.
ОА- начальный радиус окр. (О, r =1).
- радиус-вектор точки М (x; y), принадлежащей окр. (О, r =1).
Ð (ОА , ОМ ) = a.
Проследим за изменением каждой из четырех тригонометрических функций в отдельности при изменении угла a от 0º до 360º.
sin a ведет себя как ординатаy радиус-вектора точки М, принадлежащей окр. (О, r =1).
(Рис. 1.)
Если a Î ( 0°; 90°), то увеличивается от 0 до 1.
Если a Î ( 90°; 180°), то уменьшается от 1 до 0.
Если a Î (180°; 270°), то уменьшается от 0 до – 1.
Если a Î (270°; 360°), то увеличивается от – 1 до 0.
Вывод: 1. – не монотонная функция.
2. , то есть – множество значений
3. – ограниченная функция, так как .
y |
x |
(1; 0) |
(0; 1) |
(– 1; 0) |
(0; – 1) |
y |
x |
(1; 0) |
(0; 1) |
(– 1; 0) |
(0; – 1) |
Рис. 1. Рис. 2.
ведет себя как абсцисса x радиус-вектора точки М, принадлежащей окр. (О, r =1).
(Рис. 2.)
Если a Î ( 0°; 90°), то cos a уменьшается от 1 до 0.
Если a Î ( 90°; 180°), то cos a уменьшается от 0 до – 1.
Если a Î (180°; 270°), то cos a увеличивается от – 1 до 0.
Если a Î (270°; 360°), то cos a увеличивается от 0 до 1.
Вывод: 1. – не монотонная функция.
2. , то есть – множество значений .
3. – ограниченная функция, так как
Через конец начального радиуса ОА точку А проведем ось АТ, параллельную оси Оу. Радиус-вектор , соответствующий углу a , продолжим до пересечения с осью АТ в
точке N. Алгебраическая величина отрезка АN равна tg a , где a – угол любой из четырех координатных четвертей (Рис. 1).
x |
y |
+ ¥ |
- ¥ |
N |
N |
N |
N |
A |
x |
y |
N |
М |
N |
A |
М |
М1 |
М |
М1 |
М |
Т |
Т |
Рис.1. Рис.2.
Если a Î ( 0°; 90°), то tg a = АN возрастает от 0 до + ¥ при увеличении угла a.