Интегрирование простейших иррациональных функций

Интегрирование элементарных дробей

Тип инт.	Вид интеграла	Знак D	№ сп.	Способ решения	пример
I				=
II				=
III		D>0	№1	Найдем корни многочлена:	1=A(x-1)+B(x-5) A= , B=-
		D>0, D<0	№2	Выделим полный квадрат:	1) 2)
		D=0		Cмотри решение интеграла типа II
I˅		D>0	№1     №2	См. III (разлагаем подынтегральную функцию на сумму элементарных дробей)   -редко
		D>0, D<0	№3	Выделяем в числителе производную квадратного трехчлена: (числа E, F находим подбором)
		D=0		Разбиваем на 2 интеграла
˅				Аналогичные решения
				Формула приведения:

Интегрирование тригонометрических функций

	I (рациональная функция)
	Общий случай, например,	Сводится к интегралам от рациональных функций с помощью универсальной подстановки: , тогда
	под знаком интеграла содержатся только в четных степенях	Сводим к или и делаем подстановку: или Используются формулы:
		Делаем подстановку , тогда	- интеграл от рациональной дроби
	II
	Если хотя бы одно из m или n нечетное, положительное целое	Отделяем от нечетной степени один сомножитель, подводим его производную под знак дифференциала, оставшуюся четную степень выражаем с помощью формулы:
	Если m и n – оба четные, неотрицательные (одно из них м.б. равным нулю)	Понижаем степени с помощью формул:
	Если сумма (m + n) – целая, четная, отрицательная	Сводим к или и делаем подстановку: или Используются формулы п. I.2
	Если один из m или n равен нулю, а второй – нечетное, отрицательное число	1)Делаем подстановку: , при этом используются формулы п. I.1. 2) Либо с помощью замены сводим к интегралу от рациональной дроби. 3) Либо используются формулы приведения.	1) интеграл от рациональной дроби 2) интегралу от рациональной дроби
	Если один из m или n равен нулю, а второй – четное, отрицательное число	Делаем подстановку: или , при этом используются формулы п. I.2. Либо используются формулы приведения
	III (произведение синусов и косинусов различных аргументов) dx
		Используем формулу:

Интегрирование простейших иррациональных функций

№	Вид интеграла	Способ вычисления	Пример
	интеграл от рациональной функции	Делаем подстановку: ,   где n – наименьшее кратное всех показателей k, m, …	(интеграл от неправильной рациональной дроби, делим уголком)= =
	интеграл от рациональной функции, m,k,s,r – целые числа	Делаем замену: ,   где n – общий знаменатель дробей
	а)	Делаем подстановку: или , тогда   или   В итоге перейдем к интегралу вида:
	б)	Делаем подстановку: или , тогда или В итоге перейдем к интегралу вида:	Свели к интегралу II 4 (подстановка )
	в)	Делаем подстановку: или , тогда или В итоге перейдем к интегралу вида:	Свели к интегралу от рациональной дроби.
	г) общий случай	В квадратном трехчлене выделяем полный квадрат: приходим к одному из трех интегралов типа 3a, 3б, 3в	2.
		Предварительно выделяем в числителе производную квадратного трехчлена: первый и второй – табличные интегралы,
	r = 1,2	Делаем замену: Тогда В итоге перейдем к интегралу типа 3 (a, б, в, г) или 4.
		Делаем замену: Тогда