Свойства скалярного произведения
1. Скалярное произведение не зависит от порядка сомножителей (переместительное свойство):
.
2. Скалярный множитель можно выносить за знак скалярного произведения:
.
3. Скалярное произведение двух векторов подчиняется распределительному закону:
.
4. Скалярное произведение двух векторов равно нулю тогда и только тогда, когда векторы 
и 
перпендикулярны или один из них равен нулю.
5. 
, т.е. 
- скалярный квадрат.
Таким образом 
Скалярное произведение в координатной форме.
Пусть 
и 
.
Тогда
(2)
Скалярное произведение двух векторов равно сумме парных произведений одноименных координат.
Пример. 
.
Модуль вектора. Расстояние между двумя точками.
По свойству (5): , но 
и
(3)
Расстояние между двумя точками А и В равно 
Угол между двумя векторами. Условие перпендикулярности двух векторов.
Из определения скалярного произведения следует: 
. По формулам (2) и (3) имеем:
Условие перпендикулярности двух векторов 
в координатной форме имеет вид:
Векторное произведение двух векторов.
Скалярное произведение двух векторов 
- число, а
Векторное произведение 
или 
- вектор.
Векторным произведением двух векторов и , взятых в определенном порядке, называется третий вектор 
, длина которого численно равна площади параллелограмма, построенного на векторах и ; направлен вектор перпендикулярно плоскости, в которой лежат векторы и , причем в ту сторону, откуда кратчайший поворот от к виден против часовой стрелки.
Обозначается: 
или 
.
Модуль векторного произведения:
Механический смысл векторного произведения.
.Поэтому 
, 
.
Момент силы, приложенной к точке А есть векторное произведение радиус-вектора 
точки приложения силы и силы 
. Направлен вектор 
вдоль оси вращения.
Свойства векторного произведения.
1. Векторное произведение равно нулю тогда и только тогда, когда векторы и коллинеарны.
2. При изменении порядка сомножителей векторное произведение меняет знак на противоположный:
(видно из чертежа)
3. Скалярный множитель можно выносить за знак векторного произведения.
a) площади параллелограммов слева и справа равны.
b) Направление векторов 
и 
совпадают.
4. Имеет место распределительный закон:
(без доказательства)
5. 
, т.к. ц=0.
Векторное произведение в координатной форме.
Пусть 
и 
Этот определитель – символический, т.к. первая строка состоит не из чисел, а из векторов.
Пример. Даны три точки: А (2, -1, 0); В (3, 1, 2) и С (-1, 0, 1). Найти площадь ДАВС.
1. Найти длины 
, 
и 
и воспользоваться формулой Герона.
2. 
.
