Соответствие между множествами. Виды соответствий
Между элементами множеств Х и Y задано соответствие R.
а) Задайте соответствие R графом, множеством пар, графиком.
б) Укажите вид соответствия.
1. Х = {–2,–1, 0, 1, 2}, Y = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6};
R – "квадрат числа х равен числу y".
2. Х = {–2,–1, 0, 1, 2, 3, 4}, Y = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6};
R – "число х – квадрат числа y".
3. Х = {–2,–1, 0, 1, 2}, Y = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6};
R – "число х меньше числа y на 1".
4. Х = {–2,–1, 0, 1, 2}, Y = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6};
R – "число х меньше числа y на 2".
5. Х = {–2,–1, 0, 1, 2}, Y = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6};
R – "число х меньше числа y на 3".
6. Х = {–2,–1, 0, 1, 2}, Y = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6};
R – "модуль числа х равен числу y".
7. Х = {–2,–1, 0, 1, 2}, Y = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6};
R – "число х – модуль числа y".
8. Х = {–2,–1, 0, 1, 2}, Y = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6};
R – "число х больше числа y".
9. Х = {–2,–1, 0, 1, 2}, Y = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6};
R – "число х противоположно числу y".
10. Х = {–2,–1, 0, 1, 2}, Y = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6};
R – "число х равно числу y".
11. Х = {2, 3, 4, 5}, Y = {2, 3, 6, 9}; R – "число х меньше числа y на 2".
12. Х = {2, 3, 4, 5}, Y = {2, 3, 6, 9}; R – "число х – делитель числа y".
13. Х = {2, 3, 4, 5}, Y = {2, 3, 6, 9};
R – "числа х и y при делении на 3 дают одинаковый остаток".
14. Х = {2, 3, 4, 6}, Y = {2, 3, 6, 9}; R – "число х делится на число y".
15. Х = {2, 3, 4, 6}, Y = {2, 3, 6, 9}; R – "число х больше числа y".
16. Х = {2, 3, 4, 5}, Y = {2, 3, 6, 9}; R – "число х больше числа y на 1".
17. Х = {2, 3, 4, 5}, Y = {2, 3, 6, 9}; R – "число х больше числа y на 2".
18. Х = {2, 4, 6, 8, 10}, Y = {3, 5, 7, 9};
R – "числа х и y при делении на 5 дают одинаковый остаток".
19. Х = {2, 4, 6, 8}, Y = {3, 5, 7, 9};
R – "число х меньше числа y на 1".
20. Х = {2, 4, 6, 8}, Y = {3, 5, 7, 9}; R – "число х меньше числа y на 3".
21. Х = {2, 4, 6, 8}, Y = {3, 5, 7, 9}; R – "число х больше числа y на 1".
22. Х = {2, 4, 6, 8}, Y = {3, 5, 7, 9}; R – "число х больше числа y на 3".
23. Х = {2, 4, 6, 8}, Y = {4, 6, 16}; R – "число х больше числа y".
24. Х = {2, 4, 6, 8}, Y = {4, 6, 16};
R – "квадрат числа х равен числу y".
25. Х = {2, 3, 4, 6, 8}, Y = {4, 6, 16};
R – "число х меньше числа y в 2 раза".
Бинарное отношение на множестве. Свойства отношений.
На множестве А задано бинарное отношение R.
а) Задайте это отношение графом, множеством пар, графиком;
б) Определите свойства отношения.
1. А = {2, 3, 4, 6, 7, 8}; R – "быть делителем".
2. А = {2, 3, 4, 6, 7, 8}; R – "быть кратным".
3. А = {2, 3, 4, 6, 7, 8}; R – "меньше в 2 раза".
4. А = {2, 3, 4, 6, 7, 8}; R – "больше на 3".
5 . А = {2, 3, 4, 6, 7, 8}; R – "быть взаимно простыми".
6. А = {2, 3, 4, 6, 7, 8}; R – "иметь общий делитель (кроме 1)".
7. А = {2, 3, 4, 6, 7, 8};
R – "иметь одинаковый остаток при делении на 2".
8. А = {2, 3, 4, 5, 6, 7, 8};
R – "иметь одинаковый остаток при делении на 3".
9. А = {2, 3, 4, 6, 7, 8, 12};
R – "иметь одинаковый остаток при делении на 5".
10. А = {2, 3, 4, 6, 7, 8}; R – "меньше на 1".
11. А = {–3,–2,–1, 2, 3, 4}; R – "быть модулем".
12. А = {–3,–2,–1, 2, 3, 4}; R – "быть противоположным".
13. А = {–3,–2,–1, 2, 3, 4}; R – "меньше на 1".
14. А = {–3,–2,–1, 2, 3, 4}; R – "меньше на 2".
15. А = {–3,–2,–1, 2, 3, 4}; R – "меньше на 3".
16. А = {11, 17, 33, 44, 51, 53, 63};
R – "оканчиваться одинаковой цифрой".
17. А = {11, 17, 33, 44, 51, 53};
R – "иметь одинаковую сумму цифр".
18. А = {11, 17, 33, 44, 51, 54};
R – "иметь общий делитель (кроме 1)".
19. А = {11, 17, 33, 44, 51, 54}; R – "быть делителем".
20. А = {11, 17, 33, 44, 51, 54};
R – "иметь одинаковый остаток при делении на 5".
21. А = {11, 17, 33, 44, 51, 54};
R – "иметь одинаковый остаток при делении на 3".
22. А = {11,17,33,44,51,58};
R – "иметь одинаковый остаток при делении на 7".
23. А = {0, 1, 2, 3,}; R – "быть меньше".
24. А = {0, 1, 2, 3, }; R – "быть меньше или равным".
25. А = {0, 1, 2, 3, }; R – "меньше на 1".
Теоретико-множественный смысл арифметических операций
Исходя из теоретико-множественного подхода к определению операций над числами, объясните смысл следующих равенств.
1. 4 + 3 = 7; 7 – 3 = 4; 2 × 3 = 6; 6 : 2 = 3.
2. 2 + 5 = 7; 7 – 5 = 2; 3 × 0 = 0; 8 : 4 = 2.
3. 3 + 2 = 5; 5 – 0 = 5; 6 × 2 = 12; 12 : 6 = 2.
4. 5 + 3 = 8; 8 – 5 = 3; 4 × 3 = 12; 0 : 3 = 0.
5. 5 + 0 = 5; 11 – 5 = 6; 2 × 4 = 8; 8 : 2 = 4.
6. 4 + 1 = 5; 4 – 0 = 4; 2 × 5 = 10; 10 : 2 = 5.
7. 2 + 3 = 5; 5 – 2 = 3; 0 × 3 = 0; 9 : 3 = 3.
8. 2 + 4 = 6; 6 – 2 = 4; 4 × 0 = 0; 10 : 5 = 2.
9. 2 + 6 = 8; 8 – 0 = 8; 2 × 6 = 12; 12 : 6 = 2.
10. 2 + 0 = 2; 9 – 2 = 7; 3 × 2 = 6; 6 : 3 = 2.
11. 2 + 7 = 9; 9 – 7 = 2; 3 × 3 = 9; 0 : 4 = 0.
12. 3 + 4 = 7; 7 – 4 = 3; 3 × 4 = 12; 12 : 4 = 3.
13. 3 + 5 = 8; 8 – 3 = 5; 3 × 5 = 15; 0 : 5 = 0.
14. 3 + 6 = 9; 9 – 0 = 9; 4 × 2 = 8; 8 : 2 = 4.
15. 3 + 7 = 10; 10 – 3 = 7; 0 × 4 = 0; 15 : 3 = 5.
16. 3 + 0 = 3; 11 – 3 = 8; 4 × 4 = 16; 16 : 4 = 4.
17. 3 + 8 = 11; 11 – 8 = 3; 5 × 2 = 10; 0 : 5 = 0.
18. 4 + 2 = 6; 6 – 4 = 2; 5 × 3 = 15; 15 : 5 = 3.
19. 4 + 5 = 9; 9 – 9 = 0; 6 × 2 = 12; 12 : 6 = 2.
20. 4 + 6 = 10; 10 – 4 = 6; 5 × 0 = 0; 12 : 2 = 6.
21. 4 + 7 = 11; 11 – 4 = 7; 7 × 2 = 14; 0 : 7 = 0.
22. 4 + 0 = 4; 12 – 4 = 8; 9 × 2 = 18; 18 : 9 = 2.
23. 4 + 8 = 12; 12 – 8 = 4; 0 × 5 = 0; 18 : 2 = 9.
24. 5 + 2 = 7; 7 – 0 = 7; 8 × 2 = 16; 16 : 8 = 2.
25. 5 + 4 = 9; 9 – 5 = 4; 6 × 0 = 0; 16 : 2 = 8.
Теоретико-множественное обоснование правил,
Связанных с операциями сложения и вычитания.
Дайте теоретико-множественное обоснование равенства.
Сформулируйте правило, которое задается этим равенством.
Приведите пример использования этого правила при вычислениях в начальной школе.
1. (a + b) – c = (a – c) + b 14. (b + a) – c = (b – c) + a
2. (a + b) – c = a + (b – c)15. (b – a) + c = b + (c – a)
3. a – (b + c) = (a – b) – c 16. (a + c) – b = (a – b) + c
4. a – (b + c) = (a – c) – b 17. (c – b) + a = (c + a) – b
5. (a – b) + c = (a + c) – b 18. b – (a + c) = (b – a) – c
6. (a – b) + c = a + (c – b)19. (a – c) + b = a + (b – c)
7. a + (b – c) = (a – c) + b 20. c+ (a – b) = (c – b) + a
8. a + (b – c) = (a + b) – c 21. b+ (a – c) = (b + a) – c
9. (a – b) – c = (a – c) – b 22. (a – c) – b = (a – b) – c
10. (a – b) – c = a – (b + c)23. c– (b – a) = (c – b) + a
11. a – (b – c) = (a – b) + c 24. (b + c) – a = b + (c – a)
12. a – (c + b) = (a – c) – b 25. (a – c) + b = a + (b – c)
13. (a + c) – b = a + (c– b)
Свойства арифметических операций.
Докажите равенства, исходя из определений и свойств операций над целыми неотрицательными числами.
1. (a + b) – c = (a – c) + b 14. (ba) : c = b(a : c)
2. (a + b) – c = a + (b – c)15. (ba) : c = (b : c)a
3. a – (b + c) = (a – b) – c 16. a : (bc) = (a : b) : c
4. a – (b + c) = (a – c) – b 17. c : (ab) = (c : b) : a
5. (a + c) – b = (a – b) + c 18. b : (a : c) = (b : a) c
6. b – (a + c) = (b – a) – c19. (a c) : b = a(c : b)
7. a – (c – b) = (a – с) + b 20. c : (a : b) = (c : a)b
8. (b + c) – a = b + (c – a) 21. b : (ac) = (b : с) : а
9. c – (b – a) = (c – b) + a 22. (ac) : b = (a : b)c
10. b – (c – a) = (b – c) + a23. c : (ba) = (c : b) : a
11. a – (b – c) = (a – b) + c 24. (bc) : a = b(c : a)
12. a – (c + b) = (a – c) – b 25. b : (ac) = (b :а) :с
13. (a + c) – b = a + (c– b)
Связь между компонентами
Арифметических операций.
Решите уравнение, используя правила нахождения неизвестных компонент арифметических операций.
1. (420 : (160 – 1000 : х) + 24) × 5 = 180.
2. (((120 + х) × 40 : 2 + 200) : 131) : 20 = 1.
3. 1225 : ((13х - 30) × 4 : 12 – 10) = 7.
4. (10638 : х +2112 × 275 – 8597) : 6757 = 229.
5. 125125 : ((1001 – (1100х – 160) : 24) × 55) = 25.
6. 54756 : (51545 × (47859 – 47856х)) : 305) = 108.
7. 4 : ((48 – 5х) × 7 : 3 – 3) = 1.
8. ((87 – 24х) : 3 : 29 + 15) : 4 = 4.
9. ((3х – 54) × 8 – 159) : 21 = 21.
10. (((1835 + х) + 732545) : 937 – 375) × 412 = 168920.
11. ((239112 : (220 – х) + 1111) – 4432) × 398 = 0.
12.117 × (1056 : х + 12) : 195 + 40 = 100.
13. 7294545 : (45 × (х : 23 – 19500)) + 63 = 1000.
14. (420 : (160 – х : 8) + 24) × 5 = 180.
15. ((458 – х) : 2 – 112) × 18 + 6 = 1212.
16. ((25х + 200) : 30 – 88) × 50 – 86 = 14.
17. (((8х – 98) : 2 + 56) × 36 – 268) : 500 = 4.
18. ((12х + 1) × 20 + 200) : 131 – 19 = 1.
19. ((146 – 49х) : 2 + 156) × 16 – 635 = 2245.
20. ((11х + 98) : 3 – 37) × 15 + 69 = 279.
21. ((195х + 217) × 3 – 11) : 175 = 7.
22. 1335 : ((3189 – 3х) × 4 : 28 + 10) = 3.
23. ((15х + 1) × 60 : 2 – 200) : 104 = 20.
24. ((1154 – 7х) : 2 + 2398) : 11 – 159 = 107.
25. ((12563208 : х – 343581) × 3 + 809) : 17 = 1000.
Аксиоматический смысл арифметических операций
Вычислите сумму и произведение чисел, исходя из аксиоматического подхода к определению операций сложения и умножения целых неотрицательных чисел.
Запишите аксиомы, определения, свойства, которые были использованы.
1. 8 + 2, 8 × 2; 14. 5 + 2, 5 × 2;
2. 8 + 3, 8 × 3; 15. 5 + 3, 5 × 4;
3. 8 + 4, 8 × 4; 16. 5 + 4, 5 × 4;
4. 9 + 2, 9 × 2; 17. 4 + 2, 4 × 2;
5. 9 + 3, 9 × 3; 18. 4 + 3, 4 × 3;
6. 7 + 4, 7× 4; 19. 4 + 4, 4 × 4;
7. 7 + 2, 7 × 2; 20. 3 + 2, 3 × 2;
8. 7 + 3, 7 × 3; 21. 3 + 3, 3 × 3;
9. 6 + 4, 6 × 4; 22. 3 + 4, 3 × 4;
10. 6 + 2, 6 × 2; 23. 2 + 2, 2 × 2;
11. 6 + 3, 6 × 3; 24. 2 + 3, 2 × 3;
12. 2 + 5, 5 × 5; 25. 2 + 4, 2 × 4.
13. 3 + 5, 3 × 5;