Натуральные, целые, рациональные и действительные числа
Числа - натуральные, целые (положительные и отрицательные), рациональные и иррациональные, - составляют множество действительных чисел.
Натуральные числа получаются путем последовательного прибавления 1, начиная с 1.
Действительное число а называется рациональным, если существуют такие целые числа 
. В противном случае а называется иррациональным.
Множество рациональных чисел обозначается Q.
Каждое действительное число может быть записано в виде десятичной дроби. При этом рациональным числам и только им соответствуют периодические десятичные дроби. Однако, например, разложение в десятичную дробь действительного числа 
, т. е. такого однозначно определенного положительного действительного числа, квадрат которого равен 2, не является периодическим. Таким образом, — иррациональное число. Множество рациональных чисел бесконечно и счетно, а множество иррациональных чисел несчетно.
Понятие высказывания.
Высказыванием называется всякое утверждение (повествовательное предложение), про которое всегда определенно и объективно можно сказать, является ли оно истинным или ложным. Например, предложения «Дважды два - четыре», «Студенты гуманитарных специальностей изучают информатику и математику», «3 больше 5», «Число 10 является нечетным», «На улице идет дождь», «Уголовное дело отправлено на доследование» - являются высказываниями. Побудительные предложения («Кругом», «Налево», «Подойдите, пожалуйста, ко мне»), вопросительные («Вы не подскажите, как пройти в библиотеку?»), восклицательные («Да здравствует свобода!») высказываниями не являются.
Повествовательное предложение, содержащее переменную, также не является высказыванием. Например, утверждение "x – положительное число" не будет высказыванием, так как нельзя определить ложно оно или истинно. Если же мы подставим вместо переменной x какое-либо число, то получим высказывание: "5 – положительное число" (истинное высказывание), "0 – положительное число" (ложное высказывание).
В рассмотренных выше примерах высказываний два первых являются истинными во всех возможных ситуациях. Третье и четвертое высказывания являются абсолютно ложными. Абсолютно истинные и абсолютно ложные высказывания называются логическими константами. Пятое и шестое высказывания будут истинны или ложны в зависимости от конкретной ситуации. В одних случаях они будут истинными, в других – ложными. Поэтому, точнее говорить, что данное высказывание истинно или ложно в определенной фиксированной ситуации. Ситуация может быть определена в самом высказывании («Вечером осадков не наблюдалось»), а может описываться дополнительно.
Высказывания будем обозначать заглавными латинскими буквами: A, B, C и т.д. Например, А – «Волга впадает в Каспийское море», В – «3 больше 5», С – «На улице идет дождь». Подобные обозначения вводятся для упрощения анализа высказывания. В этом случае вместо сложных рассуждений мы получим выражения, традиционно встречающиеся в математике. Будем полагать значение истинного высказывания равным 1, а ложного – равным 0. Тогда, А=1, так как «Волга впадает в Каспийское море» - абсолютно истинное высказывание; В=0 как абсолютно ложное; С может быть равно 1, а может 0 в зависимости от рассмотренной ситуации. В некоторых учебниках по математической логике для обозначения истинности и ложности высказываний используют буквы Ии Л, или t и f.
С помощью союзов «и», «или», «если, то», частицы «не» из нескольких высказываний (повествовательных предложений) можно составить различные новые высказывания. При этом исходные высказывания, которые нельзя разбить на еще более мелкие, называются простыми, а сконструированные при помощи логических связок – сложными.
В определенной ситуации истинность или ложность простых высказываний очевидна. Для определения истинности сложных высказываний необходимо не только знать, истинны или ложны простые высказывания, из которых построены сложные, но и проанализировать их структуру. Разрешение вопроса об истинности или ложности сложных высказываний, рассматриваемого на основе изучения способа их построения из элементарных, является основной задачей логики высказываний.
Логика высказываний – раздел логики, изучающий связи между высказываниями, которые определяются тем, как одни высказывания строятся из других. Эту часть логики еще называют алгеброй высказывания или исчислением высказываний.
Рассмотрим два высказывания: «Сегодня будет хорошая погода», «Мы пойдем на прогулку». Из этих простых высказываний можно сконструировать сложные:
· «Сегодня будет хорошая погода и мы пойдем на прогулку».
· «Мы не пойдем на прогулку».
· «Если сегодня будет хорошая погода, то мы пойдем на прогулку».
· «Мы пойдем на прогулку тогда и только тогда, если сегодня будет хорошая погода».
· «Сегодня будет хорошая погода или мы пойдем на прогулку».
· «Если мы пойдем на прогулку, то сегодня будет хорошая погода».
В последней фразе нарушается нормальная причинно-следственная связь, однако это сложное высказывание с точки зрения логики высказываний ничем не хуже остальных. В ней допускаются любые грамматически правильно составленные высказывания, а их смысловая характеристика не изучается. Важно только то, что получившееся предложение может быть формально либо истинным, либо ложным.
Логические операции
Рассмотрим более подробно некоторые логические связки, позволяющие конструировать из простых высказываний сложные. В математической логике такие связки называются логическими операциями.
Операция отрицания
Самой простой логической операцией, применяемой только к одному высказыванию, является операция отрицания, которая в русском языке соответствует частице «не». Отрицание высказыванияА обозначается ØА или 
. Символ читается «не А» или «не верно, что А». Например, если высказываниеА – «подсудимый виновен», то - «подсудимый не виновен».
По смыслу, отрицание высказывания – высказывание, противоположное данному. То есть, если высказываниеА – истинное, то высказывание - ложное, и наоборот, если А – ложное, то - истинное. Запишем в виде таблицы значения нового, сложного высказывания в зависимости от значений простогоА, на основе которого оно построено.
| А | |
Подобная таблица называется таблицей истинности. Именно эту таблицу берут за определение операции отрицания. Высказывание называется отрицанием высказыванияА, если оно истинно, когда А ложно, и ложно, когда А истинно.
Дизъюнкция высказываний или логическое «или»
Операция дизъюнкция применяется к двум высказываниямА и В и соответствует соединению их с помощью союза «или». Дизъюнкция обозначается с помощью знака Ú, который ставится между высказываниями: АÚВ, что читается «АилиВ» или «илиА, илиВ». Например, «Грабеж может быть совершен с применением физического или психического насилия», «Договор может быть заключен в устной или в письменной форме».
Рассмотрим значение составленного сложного высказыванияАÚВ. Если одно из высказываний истинно, а другое ложно, то дизъюнкция будет истинной. Если оба простых высказыванияА и В ложны, то и дизъюнкция будет ложной. А вот если оба высказыванияА и В истинны, то существует два случая. Это связано с тем, что в русском языке союз «или» имеет два значения. Одно из них неисключающее «или», а другое – исключающее. Например, высказывание «Или я выучу этот материал, или получу двойку» при истинных его составляющих будет ложно. Здесь «или» понимается в исключающем смысле. А высказывание «Сейчас идет снег или дождь» – истинно, если оба высказывания «Сейчас идет снег», «сейчас идет дождь» – истинны и в этом случае союз «или» – неисключающий.
В логике высказываний дизъюнкция соответствует неисключающему«или». Можно дать следующее определение этой логической операции. ДизъюнкцияАÚВ – сложное высказывание, которое ложно тогда и только тогда, когда оба высказывания А и В одновременно ложны. Таблица истинности операции дизъюнкция будет следующей:
| А | В | AÚB |
Значения операцииАÚВ (кроме первой строчки), как видно из таблицы, получаются простым алгебраическим сложением значений А и В. Поэтому дизъюнкцию также называют логическим сложением и обозначают, также как и в алгебре, знаком «+». Иногда знаком «+» обозначают операцию исключающего «или».
Конъюнкция высказываний или логическое «и»
Операция конъюнкция применяется также к двум высказываниямА и В и соответствует соединению их с помощью союза «и». Она обозначается с помощью знака Ù или &, который ставится между высказываниями: АÙВ, что читается «АиВ» или «и А, и В». Например, «Юрист должен знать и теорию государства и права,иисторию, иинформатику иматематику». «Это преступление наказывается лишением свободы и конфискацией имущества». «Оскорбление – это унижение чести и достоинства человека...».
Рассмотрим значение конъюнкции, исходя из смысла союза «и». Если оба высказыванияА и В будут истинными, то и конъюнкция АÙВ будет истинной. Если же хотя бы одно из них (или оба) будут ложными, то и конъюнкция также будет ложной. Например, высказывание «3 – нечетное число и 3 делится на 2» будет ложным. Исходя из этого, можно дать следующее определение операции конъюнкция.
КонъюнкцияАÙВ – сложное высказывание, которое истинно тогда и только тогда, когда оба высказывания А и В одновременно истинны. Таблица истинности операции конъюнкция такова:
| А | В | АÙВ |
Проанализировав приведенную таблицу, можно заметить, что значения операцииАÙВ получаются простым алгебраическим умножением значений А и В. Поэтому конъюнкцию также называют логическим умножением и обозначают, также как и в алгебре, знаком «×», который, также как и в алгебре, может опускаться.
Импликация высказываний
Одной из важнейших логических операций является операция импликация. Она соответствует объединению двух высказываний с помощью союза «если …, то …». Импликация обозначается с помощью знака ®, ставящегося между высказываниями: А®В, что читается «АимплицируетВ» или «если А, то В». В научной литературе по логике высказываний также приводятся другие варианты прочтения этой операции: «Авлечет В», «из А следует В», «Втолько еслиА». А для обозначения импликации применяются знаки Þ, É.
Операция импликации определяется следующим образом.
Импликация высказыванийА и В (А®В) – сложное высказывание, которое истинно всегда, кроме случая когда А – истинно, а В – ложно. Таким образом, таблица истинности импликации такова:
| А | В | A ®B |
В логике высказываний рассматриваются только значения истинности высказываний, а не их содержание. Тем самым логические операции не выражают связь между содержанием высказываний. Логические операции, образующие из простых высказываний сложные, определяют только соотношения между значениями истинности этих высказываний.