Т-распределение (t-statistic)

Симметричное колоколоподобное распределение, используемое для проверки выборок не­большого размера (n < 30).

При данной неопределенности в значении s² наблюдаемые значения t -статистики более изменчивы, чем значения z-статистики. Однако с ростом числа степеней свободы распределе­ние приближается к нормальному. Фактически, для выборок большого размера (120 и больше) t-распределение и нормальное распределение практически не отличаются. В табл. 4 Статисти­ческого приложения даны избранные процентили t-распределения.

Процедура проверки гипотезы в случае использования в качестве метода проверки t-критерия состоит из следующих этапов.

1. Сформулировать нулевую (H₀) и альтернативную (H₁ ) гипотезы.

2. Выбрать соответствующую формулу для вычисления t-статистики.

3. Выбрать уровень значимости α для проверки нулевой гипотезы H₀. Обычно выбирают уро­вень значимости α, равный 0,05.

4. Взять одну или две выборки и для каждой вычислить значение средней и стандартное от­клонение.

5. Вычислить значение t-статистики, приняв, что нулевая гипотеза H₀ верна.

6. Вычислить число степеней свободы и оценить вероятность получения большего значения статистики из табл. 4 Статистического приложения. (Альтернативно, вычислить критическое значение t-статистики).

7. Если вероятность, рассчитанная на этапе 6 меньше, чем уровень значимости Н₀, выбранный на этапе 3, то отклонить нулевую гипотезу Н₀. Если значение вероятности больше, то Н₀ не отклонять. (Альтернативно, если значение, вычисленной на этапе 5 t-статистики, больше критического значения, определенного на этапе 6, то отклонить нулевую гипотезу Н₀. Если вычисленное значение меньше критического значения, то Н₀ не следует отклонять). Неудачная попытка отклонить нулевую гипотезу необязательно подразумевает, что Н₀ верна. Это только означает, что истинное положение несущественно (статистически незначимо) отличается от положения, утверждаемого Н₀.

8. Выразить полученный результат с точки зрения решения проблемы маркетингового исследования.

Мы проиллюстрируем общую процедуру проверки гипотез с помощью t -критерия в последующих разделах главы, начав с рассмотрения одной выборки.

Одна выборка

В маркетинговом исследовании аналитика часто интересует утверждение о сотношении одной переменной по сравнению с известной или заданной величиной. Примерами таких утверждений являются: доля рынка для нового товара превышает 15%; по крайней мере 65% потребителей понравится новая упаковка; 80% дилеров предпочтут новую политику ценообразования. Эти утверждения сформулируем с точки зрения нулевой гипотезы, которую затем проверим, используя статистический критерии для одной выборки, такой как t - или z-критерий. Если маркетолог использует t -критерий для проверки значения средней, его интересует, совпадает ли значение генеральной средней со значением, задаваемым в утверждении нулевой гипотезы (Н₀). Для данных табл. 15.2 предположим, что мы хотим проверить гипотезу о том, что среднее значение степени знакомства с Internet превышает 4,0 (балла) — нейтральное значение по семибалльной шкале. Выберем уровень значимости, равный α= 0,05. Сформулируем гипотезы:

Н₀: μ ≤ 4,0

Н₀: μ > 4,0

Число степеней свободы для t-статистики, используемой для проверки гипотезы в отношении среднего значения, равно п - 1. В нашем случае п - 1 = 29 - 1 или 28. Из табл. 4 Статистического приложения находим, что вероятность получения более высокого значения, чем 2,471, меньше 0,05. (Альтернативно, критическое значение t-статистики для 28 степеней свободы и уровня значимости 0,05 равно 1,7011, что меньше рассчитанного значения, равного 2,471). Следовательно, нулевую гипотезу отклоняют. Степень знакомства с Internet превышает 4,0.

Обратите внимание, что если нам известно стандартное отклонение генеральной совокупности, и оно, допустим, равно 1,5, а, значит мы используем его, а не определенное на основании выборки, то лучше использовать z-критерий (z-test).

Z-критерий (z-test)

Одномерный метод проверки гипотезы, использующий стандартное нормальное рас­пределение.

В нашем случае значение z-статистики было бы равно:

где

и

Из табл. 2 Статистического приложения вероятность получить более высокое значение ста­тистики z, чем 2,595, меньше 0,05. (Альтернативно, критическое значение z -статистики для односторонней проверки при уровне значимости 0,05 равно 1,645, что меньше полученного значения, равного 2,595). Следовательно, нулевую гипотезу отклоняют и получают тот же ре­зультат, что и при проверке гипотезы с помощью t-критерия.

Процедура проверки нулевой гипотезы относительно доли уже проиллюстрирована в этой главе, когда мы знакомились с теорией проверки гипотезы.

Две независимые выборки

Иногда гипотезы в маркетинге связаны с параметрами, взятыми из двух разных генеральных совокупностей: например, пользователи и непользователи торговой марки по-разному восприни­мают данную торговую марку; люди с высокими доходами больше тратят на развлечения по срав­нению с лицами, имеющими низкий доход; доля приверженцев данной торговой марки в сег­менте 1 больше их доли в сегменте 2. Выборки, взятые случайным образом из разных изучаемых совокупностей, называют независимыми выборками (independent samples). Как и для одной выбор­ки, проверка гипотез может проводиться относительно значений средних или долей.