Арифметические действия над двоичными числами

Арифметические действия в двоичной системе счисления выполняют по тем же правилам, как и в десятичной системе, с той лишь разницей, что основание системы счисления равно двум и используются только две цифры.

В двоичной системе счисления целые десятичные числа от нуля до девяти соответственно изображаются так:

Таблица 1.

Арифметические операции в двоичной системе счисления выполняются по правилам, указанным в таблице 2.

Таблица 2.

Поясним содержимое таблицы 2.

Чтобы лучше понять производимые операции с числами

различных систем исчисления, лучше воспользоваться вычислениями "в столбик". Для данного случая (двоичная система исчисления), максимальное значение для любого разряда - 1. В десятичной системе каждый следующий разряд больше предыдущего в 10 раз, следовательно, для двоичной - в 2 раза. При образовании в разряде значения 2 мы должны увеличить старший разряд на 1, а текущий разряд записать по универсальной формуле (количество знаков текущей системы) - (значение текущего разряда), т.е. для двоичной получим 2 - 1 = 0.

Сложение

Рассмотрим операцию сложения. Сложение двоичных чисел сводится к сложению цифр соответствующих разрядов с учетом переносов. При сложении двух двоичных чисел используются следующие четыре правила:

1) 0 + 0 = 0; 2) 1 + 0 = 1; 3) 0 + 1 = 1; 4) 1+1=10 происходит перенос единицы в соседний (старший) разряд.

Пример. Выполним сложение двух двоичных чисел 101+11 (в десятичной систе­ме это 5+3=8). Сложение лучше выполнять в столбик, добавив недостающие нули:

+ 011

Рассмотрим процесс сложения поэтапно:

1. Выполняется сложение в младшем разряде: 1+1= 10. В младшем разряде суммы записывается 0, и единица переносится в следующий старший разряд.

2. Суммируются цифры следующего слева разряда и единица переноса: 0+1+1=10. В этом разряде суммы записывается 0, и

опять единица переносится в старший разряд.

3. Суммируются цифры третьего слева разряда и единица переноса: 1+0+1=10. В этом разряде записывается 1, и единица переносится в следующий старший раз­ряд и т. д.

4. В результате получили:

+ 011

1000 Итак,1000_{2 =} 8₁₀

Применяя эти правила, сложите следующие двоичные числа и сверьте с ответом:

10111 0111

+10110 +0111

101101 1110

Сложение - важнейшая операция в двоичной арифметике. Три другие арифме­тические операции над двоичными числами в компьютерах - вычитание, умноже­ние, деление - осуществляются обычно с помощью сложения.

При вычитании двоичных чисел нужно помнить, что

1) 0 – 0 = 0; 2) 1 – 0 = 1; 3) 0 - 1 = 1 занимаем единицу в соседнем (старшем) разряде;

4) 1-1=0

Пример. Найти разность двоичных чисел: 1010-101. Выполним вычитание в стол­бик, начиная с младшего разряда:

Рассмотрим процесс вычитания поэтапно:

1. Для младшего разряда имеем: 0—1. Поэтому занимаем единицу старшего разряда и находим 10 - 1 = 1.

2. В следующем разряде уже будет 0 – 0 = 0.

3. В разряде слева опять имеем 0 — 1. Занимаем 1 старшего разряда и находим 10-1=1.

4. В следующем разряде остался 0.

5. В результате получили:

- 101

Применяя эти правила, выполните вычитание двоичных чисел и сверьте с ответом:

10111 1110

-10110 - 0101

1 1001

САМОСТОЯТЕЛЬНАЯ РАБОТА.

1. Получить у преподавателя карточки с заданиями

2. Переписать задания в тетрадь и выполнить решения. Результаты показать с преподавателю

11.2. Работа с преподавателем:

- При появлении затруднений или при ошибочных действиях обратиться к преподавателю для исправления ошибок.

- К концу занятия показать преподавателю отчет о выполненной работе и получить зачет по данной работе.

11.3. Контроль исходного уровня и заключительного уровня знаний:

- Тестирование на компьютере. Беседа преподавателя со студентом по вопросам самоподготовки.