Системы счисления. Правила перевода чисел из одной системы счисления в другую

При решении числовых задач используются технические средства, объектом преобразования которых является числа. В современных ЭВМ любая информация представляется в виде двоичных кодов, т.е. последовательности цифр 0 и 1. В связи с этим при работе с ЭВМ часто приходится использовать системы счисления, иные от привычной десятичной системы счисления.

Счислениемназывается порядок построения и записи знаков для изображения количественных характеристик числовой информации. Определенный способ обозначения и написания числовой информации называют системой счисления. В качестве знаков для изображения чисел в настоящее время пользуются преимущественно цифрами, Таким образом, системой счисления называется совокупность приемов записи и наименования действительных чисел посредством цифровых знаков - цифр. Системы счисления играют важную роль при конструировании вычислительной машины. Принцип работы машины зависит во многом от выбора способа изображения чисел.

Система счисления по признаку изменений значений знаков в зависимости от их положения в числе делятся на позиционные и непозиционные.

Непозиционные системы счисления - это системы, у которых количественное значение цифры зависит не от ее положения в ряду чисел, а только от ее написания. Из-за сложности и громоздкости этих систем они не применяются при обработки информации. Например, цифры римской системы счисления. Число III-3, значение каждой I одно и то же независимо от ее позиции в числе.

Позиционная система счисления называется потому, что значение каждой цифры зависит не только от ее написания, но и от места (позиции), которое занимает цифра в записанном числе, Число 929, знаки 9 имеют разное значение. Знак который находится справа характеризует девять единиц, а тот же знак слева показывает девять сотен. Позиционная система счисления строится по определенному основанию и характеризуется использованием фиксированного количества знаков, которое зависит от основания систем.

Основанием (модулем) системы называется число цифр (число единиц) одного разряда. Например, основание десятичной системы- 10, т.к. число цифр в одном разряде этой системы равно 10 (0 до 9) (количество цифр, применяемых для записи чисел в данной системе). Основание показывает во сколько раз изменяется значение цифры при ее переходе в следующий соседний разряд. Основание десятичной системы счисления показывает, что переход цифры в соседний разряд вызывает изменение ее значения в 10 раз. Числа, соответствующие полному набору знаков систем счисления, называются базой системы. Например, база в десятичной системе счисления состоит из десяти последовательных чисел от 0 до 9 (изображение арабскими цифрами).

Запись числа ведется последовательно по позициям (разрядам).

а_n, ..... a₁, a₀, a_-1, ..... а_-n

Слева от запятой позиции нумеруется в порядке возрастания (положительные) чисел, справа от запятой в порядке возрастания (отрицательные) чисел Значение цифры в нулевой позиции равно значению числа базы; значение цифры в позиции «один» — в 10 раз больше его, а в позиции «минус один» - в 10 раз меньше. Следовательно, можно записать

a_n Sⁿ+. . .+ a₁ S¹+a₀S⁰ +a₁S^-1+....+a_nS^-n

Например, 929

9·10² +2·10¹ +9·10⁰=900+20+9

0,52

0,52=5·10^-1 + 2·10^-2

В ЭВМ наиболее пригодна система счисления, требующая фиксации только двух цифр в разряде: 0 и 1. При ее применении достигается простота конструкции и компактность арифметического устройства, а также эффективность выполнения вычислений. Двоичная система позволяет применять аппарат математической логики. К недостаткам двоичной системы счисления можно отнести; значительное увеличение, примерно в 3,3 раз, разрядности для изображения чиста, необходимость перевода для обработки чисел из десятичной в двоичную систему, а после обработки - из двоичной в десятичную. Т.к. ЭВМ обрабатывают и хранят данные только в виде набора единиц и нулей (два устойчивых состояния), то команды также представляются в машине в двоичной системе. А поскольку команд в ЭВМ насчитывается от нескольких десятков до 200 с лишним, то машина имеет дело с 6 - 8 разрядными двоичными числами для обозначения кодов операций и значительно большими — для обозначения адресов. Программисту трудно закончить команды (даже коды операции) с таким числом знаков. Поэтому используют систему счисления, которая с одной стороны относительно малозначная и с другой — кратка основанию двоичной системы (представляет степень двойки), т.е. числа легко переводятся. Это восьмеричная и шестнадцатеричная системы счисления.

Шестнадцатеричная система употребляется какпромежуточная при общении с машиной именно для записи чисел. Имеется 16 цифр:

0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,A,B,C,D,E,F (A-10, B-11, C-12, D-13, E-14, F-15).

В восьмеричной системе счисления - число 8 является в виде 10

127=1·10²+7·10¹+7·10⁰ десятичная система счисления

127=1·8²+7·8¹+7·8⁰ восьмеричная система счисления.

В двоичной системе счисления основанием является число 2, которое записывается цифрами 10

1·2⁴+1·2³+0·2²+0·2¹+1·2⁰=25

Запись двоичной системы счисления

а_n·2ⁿ+...+a₁·2¹+a₀·2⁰+a₁·2^-1+ ...+a_n·2^-n

Кроме того, в ЭВМ применяется двоично-десятичная система счисления. Эта система представляет собой соединение, как двоичной, так и десятичной системы счисления. Каждый разряд десятичного числа представляется в двоичной системе счисления, а запись всего числа производится в десятичной системе, т.е. в виде разрядов единиц десятков, сотен и т.д.

Например, число 769, можно представить в двоично-десятичной системе счисления следующим обрезом

769₍₁₀₎=011101101001_(2-10)

Правила перевода чисел из одной системы счисления в другую.

Чтобы перевести целое число из одной десятичной системы счисления в другую позиционную систему, необходимо число одной системы счисления последовательно делить на основание той системы, в которую переводится данное число. При этом деление производится до тех пор, пока частное не окажется меньше основания получаемой системы счисления. Число в новой системе счисления формируется из остатков от деления, начиная с последнего. Иначе говоря, последнее частное становится высшим разрядом числа

Чтобы перевести правильную дробь из системы счисления с большим основанием, необходимо последовательно умножать дробную часть на основание другой системы счисления. Цифры, стоящие слева от занятой, образуют переведенное число, причем запись их производится сверху вниз. В частном случае последовательное умножение прекращается, когда очередная дробь равна нулю; обычно заранее задается число разрядов после занятой в переведенном числе.

Для перевода смешанного числа из одной системы счисления в другую необходимо перевести его целую и дробные части, затем объединить полученные результаты в одно смешанное число в новой системе счисления.

18,65₍₁₀₎=10010,101₍₂₎

Спрактической точки зрения представляет интерес процедура взаимного преоб­разования двоичных, восьмеричных и шестнадцатеричных чисел. Для этого вос­пользуемся табл. 4.1 чисел от 0 до 15 (в десятичной системе счисления), представ­ленных в других системах счисления.

Таблица 4.1

Соответствие чисел в различных системах счисления

Десятичная	Шестнадцатеричная	Восьмеричная	Двоичная
	А
	В
	С
	D
	Е
	F

Для перевода чисел из двоичной системы счисления в восьмеричную необходимо в двоичном числе направо и налево от занятой выделить триады, после чего каждая триада представляется восьмеричной цифрой

Для перевода чисел из восьмеричной системы счисления в двоичную необходимо каждую цифру восьмеричного числа представить тремя двоичными цифрами (триадами).

Восьмеричные числа					4
Триады

Сущность перевода из системы счисления с меньшим основанием. Чтобы перевести целое число из системы счисления с меньшим основанием, нужно представить его каксумму произведений цифр числа на основание системы в соответствующей степени и произвести вычисления по правилам системы счисления переведенного числа

376₍₈₎=3·8²+7·8¹+6·8⁰=192+56+6=254₍₁₀₎

11111110₍₂₎=l·2⁷+1·2⁶+1·2⁵+1·2⁴+1·2³+1·2²+1·2¹+0·2⁰=254₍₁₀₎

1011011101₍₂₎=1335₍₈₎

0,24₍₈₎=2·8^-1+4·8^-2=2/8+4/64+20/64=0,3125₍₁₀₎

0,0101₍₂₎=0·2^-1+1·2^-2+0·2^-3+1·2^-4=0,3125₍₁₀₎

0,01101011011₍₂₎=0,3266₍₈₎

Для перевода чисел из десятичной системы счисления в двоично-десятичную необходимо каждую цифру десятичного числа выразить в виде соответствующей тетрады.

Десятичные-числа
Двоично-десятичные

934,5₍₁₀₎=100100110100,0101_(2-10)

9834₍₁₀₎=1001100000110100_(2-10)

0,3769₍₁₀₎=0,00110111101101001_(2-10)

10011101100111_(2-10)=2767₍₁₀₎

0,001110011000100_(2-10) =0,3984₍₁₀₎

Для перевода чисел из шестнадцатеричной системы счисления в двоичную следует каждую цифру шестнадцатеричного числа представить четырьмя двоичными цифрами (тетрадой).

шестнадцатеричные числа

3

А

B

C

D

Е

F

Тетрады

Арифметические операции

Двоичные таблицы сложения вычитания, умножения и деления;

0+0=0	0-0=0	0·0=0	1/1=1
0+1=1	1-0=1	1·0=0	0/1=0
1+0=1	1-1=0	0·1=0	1 / 0 — нельзя
1+1=10	10-1=1	1·1=1

Восьмеричная система счисления

Таблица умножения

X
	7			34

Таблица сложения

Примеры арифметических операций в двойной и восьмеричной системах счисления.