Вычитание в двоичной системе счисления

Тема 3. ПРЕДОСТАВЛЕНИЕ ЧИСЕЛ В КОМПЬЮТЕРЕ

Вопросы:

1. Компьютерное представление целых и вещественных чисел.

2. Арифметика двоичных чисел

2.1. Сложение в двоичной системе счисления.

2.2. Вычитание в двоичной системе счисления.

2.3. Умножение в двоичной системе счисления

Компьютерное представление целых и вещественных чисел

Для хранения чисел в памяти компьютера используется два формата: целочисленный (Целые числа) и с плавающей точкой (Вещественные числа).

Целые числа используется для представления в компьютере целых положительных и отрицательных чисел.

Целые числа изображаются в виде последовательности цифр с постоянным для всех чисел положением запятой (или точки), отделяющей целую часть от дробной.

Эта форма проста и привычна для большинства пользователей, но имеет небольшой диапазон представления чисел и поэтому не всегда пригодна при вычислениях. Если же в результате какой-либо арифметической операции получается число, выходящее за допустимый диапазон, то происходит переполнение разрядной сетки, и все дальнейшие вычисления теряют смысл.

Однобайтовое представление применяется только для положительных целых чисел. В этом формате отсутствует знаковый разряд. Наибольшее двоичное число, которое может быть записано при помощи 1 байта, равно 11111111, что в десятичной системе счисления соответствует числу 255₁₀.

Для положительных и отрицательных целых чисел обычно используется 2 и 4 байта, при этом старший бит выделяется под знак числа: 0 - плюс, 1 - минус.

Вещественные числаиспользуется для представления в компьютере действительных чисел. Вещественные числаразмещаются, как правило, в 4 или 8 байтах.

Нормализованная форма представления чисел обеспечивает огромный диапазон их записи и является основной в современных ЭВМ.

Арифметика двоичных чисел

Рассмотрим арифметические действия в двоичной системе счисления. Сначала отметим, что 1₂+1₂=10₂. Почему? Во-первых, вспомним, как в привычной десятичной системе счисления появилась запись 10. К количеству, обозначенному старшей цифрой десятичного алфавита 9, прибавляем 1. Получается количество, для обозначения которого одной цифрой в алфавите цифр уже не осталось. Приходится для полученного количества использовать комбинацию двух цифр алфавита, то есть представлять данное количество наименьшим из двухразрядных чисел: 9₁₀+1₁₀=10₁₀. Аналогичная ситуация складывается в случае двоичной системы счисления. Здесь количество, обозначенное старшей цифрой 1₂ двоичного алфавита, увеличивается на единицу. Чтобы полученное количество представить в двоичной системе счисления, также приходится использовать два разряда. Для наименьшего из двухразрядных чисел здесь тот же единственный вариант: 10₂. Во-вторых, важно понять, что 10_2? 10₁₀. Строго говоря, в двоичной системе счисления это и читать надо не “десять”, а “один ноль”. Верным является соотношение 10₂ = 2₁₀. Здесь слева и справа от знака равенства написаны разные обозначения одного и того же количества. Это количество просто записано с использованием алфавитов разных систем счисления – двоичной и десятичной. Вроде, как мы на русском языке скажем “яблоко”, а на английском про тот же предмет – “apple”, и будем правы в обоих случаях.

Сложение в двоичной системе счисления.

После этих предварительных рассуждений запишем правило выполнения в двоичной системе счисления арифметического сложения одноразрядных чисел:

0₂ + 0₂ = 0₂;

1₂ + 0₂ = 1₂;

0₂ + 1₂ = 1₂;

1₂ + 1₂ = 10₂.

Правила двоичного сложения предельно просты. Только в одном случае, когда производится сложение 1₂ + 1₂, происходит перенос в старший разряд.

Например, найти сумму двоичных чисел 100110110₂ и 110110111₂

+

Ответ: 1011101101₂.

Вычитание в двоичной системе счисления

Исходя из того, что вычитание есть действие, обратное сложению, запишем правило арифметического вычитания одноразрядных чисел в двоичной системе счисления:

0₂ – 0₂ = 0₂;

1₂ – 0₂ = 1₂;

1₂ – 1₂ = 0₂;

10₂ – 1₂ = 1₂.

Используя это правило, можно проверить правильность произведенного выше сложения вычитанием из полученной суммы одного из слагаемых. При этом чтобы вычесть в каком-либо разряде единицу из нуля, необходимо “занимать” недостающее количество в соседних старших разрядах (так же, как в десятичной системе счисления поступают при вычитании большего числа из меньшего). При этом все нули, у которых мы не могли занять разряд, необходимо поменять на единицу, т.к. 0-1=-1. Желательно все изменения в цифрах записывать сверху данного вычитания. Дальнейшее вычитание выполнять с получившимися сверху цифрами.

Например, найти разность двоичных чисел 1100110110₂ и 110110111₂

-

Ответ: 101111111₂.