Как делать выводы. Парочка примеров с подробным описанием.

Пересечение

Возьмем для примера понятия: «австриец» и «садовник»

Садовник и австриец – общие понятия; таким образом, вопрос может звучать так: являются ли австрийцы садовниками? Или, наоборот, садовники австрийцами?

Очевидно, некоторые являются, а некоторые нет.

Изображается это пересечением двух кругов:

Заштрихованная часть – это австрийцы-садовники.

Подчинение

Пример: «одежда» и «рубашка».

Является ли рубашка одеждой?

Рубашка – это всегда одежда, но одежда представлена не только рубашкой.

Обычно мы говорим, что рубашка – это вид одежды.

Такая же схема будет и для понятий «человек» и «ученый». Будьте внимательны, так как нередко рассуждают так: некоторые люди - ученые и рисуют пересечение. Но ведь все ученые - люди!

Несовместимость

Пример: «голова» и «ухо».

Понятно, что ухо обычно на голове… Так что? Рисуем «ухо» внутри «головы»?..

Задаем вопрос: является ли голова ухом? ЯВЛЯЕТСЯ ЛИ УХО ГОЛОВОЙ?

Схема такая:

Голова может быть тяжелой, умной и т.д. но ни как не ухом. Помните про вопрос «является ли?»

Тождесто

Понятия разные, но обозначают одно и то же.

Например: «Москва», «столица России».

Суждение

Связь понятий образует суждение. Если понятия можно уподобить словам и словосочетаниям в языке, то суждения – это предложения.

Суждение (высказывание) – это предложение, о котором можно сказать истинно оно или ложно.

Простой пример: Мяч – синий. (В то же время «синий мяч» – это понятие).

Побудительные и вопросительные предложения не являются суждениями.

Поскольку суждение является связью двух понятий, его можно изобразить кругами Эйлера.

Структура суждения

В суждении четыре основных элемента: субъект, предикат, связка, квантор.

Субъект (лат. subjectum - подлежащее) – то о чем говорится в суждении.

Обозначается буквой S.

Предикат (лат.praedicatum- сказуемое) – то, что говорится о субъекте.

Обозначается буквой Р.

Например, «Человек считает себя разумным существом».

S - человек

P - считает себя разумным существом.

В суждении субъект всегда находится впереди предиката.

Связка — то, что соединяет субъект и предикат.

Утвердительная связка выражается словами «есть», «является».

Отрицательная связка – словами «не есть», «не является».

Квантор (от лат. quantum - сколько) указывает на количество предметов, относящихся к субъекту.

Квантор «все» указывают на, что речь идет о всех предметах.

Например: Все макаки – забияки. (В суждении говорится о всех макаках)

Квантор «некоторые» указывает на то, что речь идет не овсех предметах.

Например: Некоторые слова являются нецензурными.

Квантор «этот» («эта», «это») указывает на то, что речь идет об одном единственном предмете (субъектом является единичное понятие).

Например: Эта дорога правильная.

Комбинация кванторов и связок приводит нас к классификации суждений

Классификация суждений

Суждения делятся на обще­утвердительные, общеотрицательные, частноутвердительные, частноотрицательные. (По этой классификации суждения с субъектом - единичным понятием рассматриваются как общие).

название	буква	схема	Схемы кругами Эйлера
Обще­утвердительные	A	Все S есть Р
Частноутвердительные	I	Некоторые S есть Р
Общеотрицательные	E	Все S не есть Р
Частноотрицательные	O	Некоторые S не есть Р

Утвердительные суждения обозначаются двумя первыми гласными буквами латинского слова affirmo («утверждаю»), отрицательные - двумя гласными буквами латинского слова nego («отрицаю»).

Логический квадрат стульчик

Логический квадрат придумали в средние века. Выглядит он вот так:

Считаю, что его можно упростить в логический стульчик:

Логический квадрат показывает отношения между суждениями с одинаковыми субъектами и предикатами, но разными связками и кванторами. С его помощью можно делать выводы относительно истинности и ложности таких суждений.

Однако выводы еще проще делать с помощью предложенного стульчика.

Инструкция прилагается:

1. У нас 3 «дороги»: AE (EA ), AO (OA) и EI (IE).

2. Отношения противоречия - AO (OA) и EI (IE) устроены одинаково

Если суждение с одной стороны истинно, то с другой – ложно и наоборот.

(Это так называемый закон исключенного третьего - истинно или само высказывание, или его отрицание, а третьего не дано).

3. Отношения противоположности - AE (EA ).

Если с одной стороны суждение истинно, то с другой – ложно.

Но если с одной стороны суждение ложно, то другое может быть как ложным, так и истинным – однозначный вывод мы сделать не можем.

Например: Если ложно, что все бананы являются спелыми, то ложным может быть и утверждение, что все бананы не являются спелыми.

Истинным может быть – некоторые бананы являются спелыми.

Как делать выводы. Парочка примеров с подробным описанием.

Исходное суждение: Ни одна мышь не является подмышкой

1. Если не указано, что это суждение ложно (не верно), то оно истинно. Данное суждение – общеотрицательное. Обозначается буквой E.

2. Смотрим на стульчик. Начинаем движение с E. Мы можем пойти по EI и по EA

3. Пойдем по EI. Если E – истинно, то I будет ложно. Обозначается Ī . Читается: Неверно, что I. В нашем случае: неверно, что некоторые мыши являются подмышками.

4. Теперь пойдем по EA. Если E – истинно, то A будет ложно.

Ā: Неверно, что все мыши являются подмышками.

5. Мы определили, что A ложно, значит, по AO O будет истинным.

O: Некоторые мыши не являются подмышками.

Как это должно выглядеть письменно:

Ни одна мышь не является подмышкой (E)

Ī : Неверно, что некоторые мыши являются подмышками.

Ā: Неверно, что все мыши являются подмышками.

O: Некоторые мыши не являются подмышками.

Теперь давайте рассмотрим пример с ложным общеотрицательным.

Исходное суждение: Неверно, что все розетки не являются работающими

1. Данное общеотрицательное суждение – ложно. Обозначается Ē.

2. Смотрим на стульчик. Начинаем движение с E (в нашем случае Ē). У нас опять 2 пути - EI и EA.

3. Пойдем по EI. Если E – ложно, то I будет истинно.

I: Некоторые розетки являются работающими.

4. Теперь пойдем по прямой EA. Если E – ложно, то мы не можем сделать однозначный вывод относительно истинности A. Не зная истинно A или ложно, нам не определить истинность O по диагонали.

Получается только один достоверный вывод – I.

Письменно:

Неверно, что все розетки не являются работающими (Ē)

I: Некоторые розетки являются работающими.

Обращение

Обращение – это операция, в которой субъект и предикат меняются местами.

Исходное суждение: некоторые грибы являются съедобными

Меняем S и P местами: некоторые съедобные (предметы) являютсягрибами.

Необходимо запомнить:

1. С частноотрицательными суждениями обращение не получается;

2. Общеутвердительное обращается в частноутвердительное.

Все орехи являются полезными (A)

обращение:Некоторые полезные предметы являются орехами (I)

Это можно понять, если посмотреть на схему:

Мы видим, что все орехи полезные, но не все полезное является орехами.

Рассмотрим оставшиеся примеры с I и E.

Некоторые грибы являются съедобными (I)

обращение:Некоторые съедобные вещи являются грибами(I)

Все орехи не являются грибами (E)

обращение:Все грибы не являются орехами (E)

Виды умозаключений

Связь понятий образует суждения. В свою очередь, связь суждений образует умозаключения.

Умозаключение (рассуждение) – это получение нового суждения (заключения) на основе одного или нескольких исходных суждений (посылок).

Два основных вида умозаключений – это дедуктивные и правдоподобные.

Дедуктивное умозаключение (от лат. deductio - выведение) – это выведение гарантированно истинного заключения при истинности посылок и соблюдении правил вывода.

Заключение записывается под чертой. Читается: «значит, следовательно».

Например:

Все орехи являются полезными

Некоторые полезные предметы являются орехами

Или:

Все орехи полезны

Фундук - орех

Фундук - полезен

В правдоподобных рассуждениях заключение носит вероятностный характер, то есть оно может быть как истинным так и ложным.

К правдоподобным относятся индукция и рассуждение по аналогии.

Индукция – (от лат. inductio - наведение) умозаключение от отдельных фактов к обобщениям.

Пример:

Вася сказал «ой!»

Петя сказал «ой!»

Леша сказал «ой!»

Вася, Петя, Леша ударились ногой о косяк.

Все, кто ударяются ногой о косяк, говорят «ой!»

Аналогия (от греч. analogia - соответствие).

Рассмотрим аналогию на примере:

У Вовы есть компьютер. У Вовы есть интернет.

У Пети есть компьютер.

У Пети есть интернет.

Аналогия основа на сравнении объектов.

1. Фиксируются общие свойства (Вова и Петя обладают компьютером)

2. Свойство, которое есть у одного объекта (или объектов), но нет у другого, предполагается в последнем. (Если у Вовы есть интернет, то возможно и у Пети тоже есть интернет).

Силлогизм

Силлогизм – это вид дедуктивного умозаключения, в котором заключение следует из нескольких посылок.

Рассмотрим простой силлогизм, который состоит из 3 суждений – 2 посылок и заключения.

Например:

Все орехи полезны

Фундук - орех

Фундук - полезен

Решение силлогизма с помощью кругов Эйлера

Мы уже изображали понятия и суждения кругами Эйлера. Таким же образом мы будем изображать силлогизм.

Начнем с первой посылки:

Все орехи полезны

Рисуем схему:

Теперь представим вторую посылку: Фундук - орех

Обратите внимание на то, что понятие «орех» есть и в первой и второй посылке. Это понятие связывает посылки между собой. Обе посылки можно изобразить на одной схеме:

Из схемы видно, что заключение верно:

Фундук - полезен

Если бы еще были возможны другие варианты расположения кругов, то вывод не был бы однозначным, и, соответственно, достоверным.

Теперь давайте рассмотрим неверный силлогизм.

Все голуби живут на крышах

Карлсон живет на крыше

Карлсон - голубь

Изобразим первую посылку: Все голуби живут на крышах

Рассмотрим вторую посылку: Карлсон живет на крыше

«Живущих на крыше» мы уже изобразили. Осталось поместить «Карлсона». Из посылки мы знаем только то, что Карлсон живет на крыше, но не знаем, является ли он голубем. Это как раз и является предметом вывода.

Мы в любом случае должны поместить «Карлсона» внутри «живущих на крыше», но у нас получается несколько вариантов: либо поместить его среди «голубей», либо среди остальных «живущих на крыше» (поместить его на пересечении с «голубями» мы не можем – единичные понятия не пересекаются с другими, т.е. какое-то свойство им либо принадлежит, либо не принадлежит).

1 вариант:

2 вариант:

Поскольку получается несколько возможных схем, достоверный вывод в таком силлогизме не следует.

Решение силлогизма по правилам

Для того, что бы решать силлогизм по правилам необходимо знать:

1. его структуру

2. распределение субъекта и предиката в суждении

3. правила силлогизма

Структура силлогизма

Давайте снова рассмотрим пример про фундук.

Все орехи полезны

Фундук - орех

Фундук - полезен

Понятия, входящие в состав силлогизма, называюттерминами силлогизма.

В силлогизме всегда три термина.

Средний термин силлогизма – это понятие, входящее в обе посылки и отсутствующее в заключении (в нашем примере «орех»). Средний термин обозначается латинской буквой М (от лат. medius - средний).

Средний термин связывает два крайних термина.

Крайние термины – это понятия, которые в заключении является субъектом и предикатом. Также каждый из них входит в одну из посылок.

Распределение субъекта и предиката в суждении

Если в суждении квантор все - то субъект распределен (обозначаем знаком +); если квантор некоторые - то субъект не распределен (обозначаем знаком -).

Как правило, в утвердительных суждениях предикат не распределен; в отрицательных – распределен.

Получается так:

	A	I	E	O
S	+	-	+	-
P	-	-	+	+

Не забывайте, что суждения с субъектом - единичным понятием рассматриваются как общие.

Правила силлогизма

Правила терминов:

1. Средний термин должен быть распределен хотя бы в одной из посылок.

2. Термин, не распределенный в посылке, не может быть распределен и в заключении.

Правила посылок:

1. Хотя бы одна из посылок должна быть утвердительным суждением (т.е. из двух отрицательных суждений нельзя вывести заключение).

2. Если одна из посылок — отрицательное суждение, то и заключение должно быть отрицательным.

3. Хотя бы одна из посылок должна быть общим суждением (т.е. из двух частных суждений нельзя вывести заключение).

4. Если одна из посылок — частное суждение, то и заключение должно быть частным.

5. Из пары утвердительных посылок невозможно отрицательное заключение

Примеры решения

Ну, теперь можно решать силлогизм по правилам.

Алгоритм решения:

1. Находим средний термин

2. Определяем виды суждений

3. Смотрим распределение субъектов и предикатов, растравляем плюсики и минусики.

4. Смотрим: не нарушены ли правила.

Те же примеры:

Все орехи полезны

Фундук - орех

Фундук - полезен

1. Средний термин - «орех» (можем пометить его M)

2. Все три суждения общеутвердительные (A)

3. Смотрим распределение по таблице, растравляем плюсы и минусы:

(A)Все орехи(M+) полезны(-)

(A)Фундук(+) - орех(M-)

(A)Фундук(+) - полезен(-),

4. Проверяем правила начиная с первого:

Правила терминов:

1. Средний термин распределен в первой посылке

2. Термин «фундук», распределенный в заключении, распределен и в посылке.

Правила посылок:

1. Обе посылки утвердительные

2. В данном случае вообще не касается

3. Обе посылки общие

4. Не касается

5. Заключение утвердительное

Ошибок нет – умозаключение верное.

Теперь неправильное умозаключение:

Все голуби живут на крышах

Карлсон живет на крыше

Карлсон - голубь

1. Средний термин - «живущие на крыше»

2. Все три суждения общеутвердительные. Обратите внимание – «Карлсон» - единичное понятие.

3. Смотрим распределение по таблице:

(A)Все голуби(+) живут на крышах (M -)

(A)Карлсон(+) живет на крыше (M -)

(A)Карлсон(+) – голубь(-)

4. Проверяем правила начиная с первого:

Правила терминов:

1. Средний термин не распределен ни в одной из посылок – ошибка (этого уже достаточного, чтобы признать рассуждение неверным)

2. Термин «Карлсон», распределенный в заключении, распределен и в посылке.

Правила посылок:

1. Обе посылки утвердительные

2. В данном случае вообще не касается

3. Обе посылки общие

4. Не касается

5. Заключение утвердительное

Итак, одна ошибка (их может быть больше) – умозаключение неверное.

Кроме графического способа и правил, существует еще способ проверки правильности силлогизма, восходящий к Аристотелю - с помощью фигури модусов. Найти его можно в учебниках.