Алгоритмы приближенных вычислений вероятностных характеристик наличия в программах РПС

В основу алгоритмов приближенных вычислений ВХ положен принцип расчета ВХ по функциям распределения выходных и промежуточных величин. При этом законы их распределения вычисляются как распределения функции от случайных аргументов [ЕУ].

Задача функционального преобразования непрерывных случайных величин формируется следующим образом.

Дано: совместная плотность распределения вероятностей w_n(x₁,...,x_n) непрерывных случайных величин e₁,...,e_n и совокупность функций f₁,...,f_m от n переменных. С помощью этих функций определены m случайных величин h₁=f₁(x₁,...,x_n),...,h_m=f_m(x₁,...,x_n), где x_i – значения случайных величин e_i.

Необходимо: определить закон распределения каждой полученной случайной величины h_j и их совместную плотность W_m(y₁,...,y_m), где y_i - значения случайных величин h_j.

Решение этой задачи точными методами [КК] даже для одномерного случая возможно только при жестких ограничениях на вид функции и закон распределения аргумента. Например, применение метода обратной функции требует вычисления на каждом участке монотонности f(x) обратной функции и производной от обратной функции.

Вычисление W(y) методом характеристической функции [КК] ограничено таким набором w(x) и f(x), для которых можно вычислить характеристическую функцию в явном виде, а по характеристической функции вычислить W(y).

В связи с этим целесообразно воспользоваться приближенным методом, сущность которого заключается в вычислении некоторых характеристик закона распределения и по ним восстановлении всего закона распределения. В качестве таких характеристик можно взять начальные моменты закона распределения:

m_k(h)= ... f(x₁,...,x_n)^kw(x₁,...,x_n) dx₁...dx_n

или для одномерного случая h=f(x)

m_k(h)= f(x)^kw(x) dx

при условии, что этот интеграл сходится абсолютно [КК].

Поскольку данный методический подход возможен практически для любых вычислительных алгоритмов, то для иллюстрации его реализуемости можно ограничиться классом функций, представимых конечным степенным рядом. В этом случае если f(x)= (общий вид), то определение первых t=r/N моментов случайных величин h=f(k) выполняется по следующему алгоритму (r – число первых начальных моментов закона распределения w(x), принимающих значения m₁(e),...,m_r(e)).

Алгоритм A

А₁. i:=1.

А₂. Вычислить значения b_j, j=1,...,N полинома f(x)ⁱ путем перемножения f(x)ⁱ и f(x)^i-1: если f(x)= и f(x)^i-1= , то b_j= .

А₃. Вычислить m_i(h)= .

А₄. i:=i+1.

А₅. Если i£r/N, то переход на п.А₂. В противном случае алгоритм завершается.

Кроме рассмотренного, возможно применение алгоритмов реализующих методы вычисления моментов функции от случайных величин с использованием моментопроизводящих или кумулянтных функций [КК].

Задача вычисления закона распределения F(y) в заданной точке y₀ по L моментам формулируется следующим образом.

Дано: m_i, i=1,...,L - начальные моменты F(y).

Необходимо: определить значения sup F(y₀) и inf F(y₀).

Метод вычисления sup F(y₀) и inf F(y₀) по известным начальным моментам F(y) описан в [Че]. Алгоритм вычисления sup F(y₀) и inf F(y₀) для L=2k-1, k=1,2..., и известных а и b – конечных значений y, меньше и больше которых соответственно значения функции принимать не могут, реализуют данный метод с некоторыми модификациями.

Алгоритм Б

Б₁. Сформировать ряд «подходящих» дробей к интегралу

Б₂. Преобразовать «подходящую дробь» в непрерывную вида

.

Б₃. Привести непрерывную дробь к дробно рациональному виду j_L(z)/y_L(z).

Б₄. Выполнить пункты Б₂ и Б₃ для L=L-1 и вычислить
j_L-1(z)/y_L-1(z).

Б₅. Определить функцию .

Б₆.Определить вещественные корни полинома f₁(z).

Б₇. Вычисление интеграла с помощью вычетов. При этом inf F(y₀) будет равно сумме вычетов f₀(z)/f₁(z) для всех y,y₀, а sup F(y₀), будет равно сумме inf F(y₀) и очередного вычета. Среднее значение F_ср(y₀)=(sup F(y₀)+inf F(y₀))/2 и значение d=(sup F(y₀)+inf F(y₀))/2, определяющее точность восстановления функции распределения, зависят от m_i, i=1,...,L и y₀. Однако d£1/L+1.

Таким образом, с помощью алгоритмов А и Б можно с заданной точностью рассчитать вероятностные характеристики исследуемой программы.