Рекуррентные уравнения динамики манипулятора

[Рекурретный (recurrens) – возвращающийся]. Рекуррентные уравнения – уравнения приведения, сводящие вычисления n-го члена последовательности к вычислению нескольких предыдущих ее членов.

Основываясь на полученных выше кинематических соотношениях, воспользуемся принципом Д'Аламбера для вывода уравнений динамики движения манипулятора. Принцип Д'Аламбера позволяет применить известные условия статического равновесия к задачам динамики за счет рассмотрения (наряду с внешними действующими на механическую систему силами) сил инерции, препятствующих движению. Принцип Д'Аламбера выполняется для механической системы в любой момент времени. По сути это несколько модифицированный второй закон Ньютона, формулируемый следующим образом:

«Алгебраическая сумма внешних сил и сил инерции, действующих на тело в любом направлении, равна нулю».

Рассмотрим i-е звено (рис. 8.1). Пусть точка О' совпадает с центром масс этого звена. Устанавливая соответствие между рис. 11.4 и 13.1, введем следующие обозначения (все векторы заданы в базовой системе координат):

Рисунок 13.1. Силы и моменты, действующие на i-е звено

- масса i-го звена;

- положение центра масс i-го звена в базовой системе координат;

- положение центра масс i-го звена относительно начала

системы координат ;

- положение начала i-й системы координат относительно

начала -й системы координат;

- линейная скорость центра масс i-го звена;

- линейное ускорение центра масс i-го звена;

-суммарная внешняя сила, приложенная к центру масс

i-го звена;

-суммарный момент внешних сил, приложенных к i-му

звену;

- матрица инерции i-го звена относительно его центра

масс в базовой системе координат ;

- сила, с которой -е звено действует на i-е звено в

системе координат ;

- момент, вызванный действием -го звена на i-е

звено в системе координат .

Пренебрегая силами трения в сочленениях, применив принцип Д'Аламбера к i-му звену, получаем:

, (13-1)

. (13-2)

Входящие в эти формулы линейные скорость и ускорение центра масс i-го звена в соответствии с равенствами (12-32) и (12-35) определяются выражениями:

, (13-3)

. (13-4)

Суммарная сила и момент , приложенные к i-му звену, обусловлены действием на него силы тяжести, а также сил со стороны соседних -го и -го звеньев. Таким образом:

, (13-5)

(13-6)

Эти уравнения можно представить в рекуррентной форме, воспользовавшись тем, что:

, (13-7)

. (13-8)

Полученными уравнениями, имеющими рекуррентную форму, можно воспользоваться для вычисления сил и моментов , действующих на звенья n-звенного манипулятора. Для этого достаточно учесть, что и представляют собой соответственно силу и момент, с которыми объект манипулирования действует на схват манипулятора. Момент, создаваемый приводом i-го сочленения, должен быть равен сумме проекции момента на ось и момента вязкого трения в i-м сочленении (если сочленение – вращательное). Если же i-е сочленение – поступательное, оно реализует смещение на единиц длины относительно системы координат вдоль оси . В этом случае сила , создаваемая в этом сочленении, должна быть равна в системе координат сумме проекции силы на ось и силы вязкого трения. Таким образом, момент (сила) , создаваемый приводом i-го сочленения, определяется формулой:

, (13-9)

где - коэффициент вязкого трения в i-м сочленении.

Если основание манипулятора закреплено на платформе и 0-е звено неподвижно, то , , и с учетом силы тяжести:

, где . (13-10)

Таким образом, для исследователя существует возможность выбора одной из трех следующих форм представления уравнений движения манипулятора:

1. удобная для анализа, но неэффективная в вычислительном плане форма Лагранжа-Эйлера;

2. эффективная с вычислительной точки зрения, но малопригодной для анализа форма Ньютона-Эйлера;

3. достаточно удобные для анализа при умеренных вычислительных затратах обобщенные уравнения Д'Аламбера.

Лекция 14

Планирование траекторий манипулятора

Планирование траекторий движения манипулятора – это задача выбора закона управления, обеспечивающего движение манипулятора вдоль некоторой заданной траектории. Перед началом движения манипулятора важно знать:

1. существуют ли на его пути какие-либо препятствия;

2. накладываются ли какие-либо ограничения на траекторию схвата.

В зависимости от ответов на эти вопросы выбирается один из четырех типов управления манипулятором (табл. 14.1).

Таблица 14.1. Типы управления манипулятором

	Препятствия на пути манипулятора
Присутствуют	Отсутствуют
Ограничения на траекторию манипулятора	Присутствуют	I.Автономное планирование траектории, обеспечиваю-щее обход препятствий, плюс регулирование дви-жения вдоль выбранной траектории в процессе работы манипулятора	II.Автономное плани-рование траектории плюс регулирование движения вдоль выб-ранной траектории в процессе работы манипулятора
Отсутствуют	III.Позиционное управление плюс обнаружение и обход препятствий в процессе движения	IV.Позиционное управление

Рассмотрим планирование траектории манипулятора при отсутствии препятствий (II и IV тип). Задача состоит в разработке математического аппарата для выбора и описания желаемого движения манипулятора между начальной и конечной точками траектории.

При планировании траекторий обычно применяется один из двух подходов:

1. Задается точный набор ограничений (например, непрерывность и гладкость) на положение, скорость и ускорение обобщенных координат манипулятора в некоторых (называемых узловыми) точках траектории. Планировщик траекторий после этого выбирает из некоторого класса функций (как правило, среди многочленов, степень которых не превышает некоторое заданное n) функцию, проходящую через узловые точки и удовлетворяющую в них заданным ограничениям. Определение ограничений и планирование траектории производится в присоединенных координатах.

2. Задается желаемая траектория манипулятора в виде некоторой аналитически описываемой функции, как, например, прямолинейную траекторию в декартовых координатах. Планировщик производит аппроксимацию заданной траектории в присоединенных или декартовых координатах.

Планирование в присоединенных переменных обладает тремя преимуществами:

1) задается поведение переменных, непосредственно управляемых в процессе движения манипулятора;

2) планирование траектории может осуществляться в реальном времени;

3) траектории в присоединенных переменных легче планировать.

4) Должны быть сведены к минимуму бесполезные движения типа «блуждания».

Рисунок 14.1. Блок-схема планировщика траекторий

Недостаток – сложность определения положения звеньев и схвата в процессе движения. Это необходимо для предотвращения столкновения с препятствием.

В общем случае основной алгоритм формирования узловых точек траектории в пространстве присоединенных переменных весьма прост:

;

цикл: ждать следующего момента коррекции;

;

=заданное положение манипулятора в пространстве присоединенных переменных

в момент времени ;

Если , выйти из процедуры;

Выполнить цикл.

Здесь – интервал времени между двумя последовательными моментами коррекции параметров движения манипулятора.

Из алгоритма видно, что все вычисления производятся для определения траекторной функции , которая должна обновляться в каждой точке коррекции параметров движения манипулятора.

На планируемую траекторию накладывается четыре ограничения:

1) Узловые точки должны легко вычисляться нерекуррентным способом.

2) Промежуточные положения должны определяться однозначно.

3) Должна быть обеспечена непрерывность присоединенных координат и их двух первых производных, чтобы планируемая траектория в пространстве присоединенных переменных была гладкой.

4)

Перечисленным ограничениям удовлетворяют траектории, описываемые последовательностями полиномов.

В общем случае планирование траекторий в декартовых координатах состоит из двух последовательных шагов:

1) формирование последовательности узловых точек в декартовом пространстве, расположенных вдоль планируемой траектории схвата;

2) выбор некоторого класса функций, аппроксимирующих участки траектории между узловыми точками в соответствии с некоторым критерием (например, прямые, дуги круга, параболы и т.п.).

Первый подход позволяет обеспечить высокую точность движения вдоль заданной траектории. Однако, при отсутствии датчиков положения схвата в декартовых координатах, для перевода декартовых координат в присоединенные требуется большое количество вычислений, что замедляет время движения манипулятора. Поэтому используется второй подход – декартовы координаты узловых точек преобразуются в соответствующие присоединенные координаты с последующим проведением интерполяции в пространстве присоединенных переменных полиномами низкой степени. Это сокращает вычисления и позволяет учесть ограничения динамики манипулятора. Но точность движения снижается.