Представление вещественных чисел в двоичной системе счисления с плавающей запятой
При представлении вещественных чисел в любой системе счисления используют запись с плавающей точкой. Любое число в любой системе счисления можно предстваит в виде:
,
где:
Q – основание системы счисления;
A – мантисса;
p – порядок.
Например в десятичной системе счисления число 3,14 можно представить в виде:
3,14=0,314*101
Здесь мантисса равна 0,314, а порядок равен 1.
Такое представление чисел далеко не однозначно. Число 3,14 можно представить как:
3,14=3,14*100=0,314*101=0,0314*102=…
Порядок числа определяет положение запятой и записи мантиссы. При изменении порядка соответствующим образом меняется положение запятой. Запятая как бы «плавает». Это изменение запятой и дало название способу представления чисел.
Число с плавающей точкой представляется неоднозначно. Одно из этих представлений называется нормализованным. В этом случае для десятичной системы счисления мантисса должна удовлетворять требованию:
Другими словами, первая цифра мантиссы после запятой должна быть отличной нуля. Для числа 3,14 представление в нормализованной форме будет иметь следующий вид:
3,14=0,314*101
Здесь A=0,314, p=1. Аналогично для числа -0,00062 имеем -0,00062=0,62*10-3 A=0,62, p=-3.
Точно также в любой системе счисления с основанием Q число a неравное нулю записывается в форме с плавающей точкой. Число a называется нормализованным, если выполняется условие:
Пример 1.
Пример 1.
Дано A(10)=43,97. Найти A(2).
Решение:
Сначала переводим целую часть B(10)=43
B(2)=101011
Затем дробную C(10)=97
C(2)= 1100001
Записываем результат
D(2)= 101011,1100001
Теперь приводим число к нормализованному виду. Для этого сдвигаем запятую на шесть разрядов 6(10)= 110(2).
Получили мантиссу равную 0,1010111100001 и порядок равный 110.
Ответ:
A(2)=0,1010111100001*10110
Арифметические операции в системах счисления используемых вычислительной техникой.
Все правила вычислений любой позиционной системы счисления совпадают с правилами десятичной системы счисления.
Арифметические операции с целыми числами в двоичной системе счисления.
Как и в десятичной системе счисления, все арифметические операции с целыми числами в двоичной системе счисления основаны на таблице сложения и умножения, приведенных в таблицах 6 и 7.
| Таблица 6. Сложение двоичных чисел | Таблица 7. Умножение двоичных чисел | |||||
Пример 1.
Дано A(2)=1001101. B(2)=10101. Найти C(2)= A(2)+B(2).
| +10101 |
Ответ C(2)=1100010
Пример 2.
Дано A(2)=1101. B(2)=1010. Найти C(2)= A(2)*B(2).
| *1010 |
| +1101 +0000 +1101 |
Ответ C(2)=1100010
В двоичной системе счисления частичные произведения (произведения множимого на числа разрядов множителя) либо равны множимому, если значение разряда множителя равно единицы, либо равны нулю, если значение разряда множителя равно нулю.
Вычитание и деление в двоичной системе счисления производиться аналогично десятичной системе счисление. Вычитание – это сложение с обратным знаком, а деления – это умножение на обратное значение числа.