Пример: двухзвенный манипулятор

Применение уравнений Лагранжа-Эйлера в форме (6-35) – (6-42) для описания динамики движения манипулятора рассмотрим на примере двухзвенного манипулятора с вращательными сочленениями (рис. 6.3).

Все оси сочленений рассматриваемого манипулятора параллельны оси z, перпендикулярной плоскости рисунка. Физические характеристики, такие, как положение центра масс, масса каждого звена и выбранные системы координат, указаны ниже. Требуется получить уравнения движения рассматриваемого двухзвенного манипулятора, основываясь на равенствах (6-35) – (6-42).

Пример: двухзвенный манипулятор - student2.ru

Рисунок 6.3. Двухзвенный манипулятор

Примем:

-присоединенными переменными являются Пример: двухзвенный манипулятор - student2.ru ;

-первое и второе звенья имеют массы Пример: двухзвенный манипулятор - student2.ru и Пример: двухзвенный манипулятор - student2.ru

-параметры звеньев имеют значения Пример: двухзвенный манипулятор - student2.ru ; Пример: двухзвенный манипулятор - student2.ru ; Пример: двухзвенный манипулятор - student2.ru .

Тогда для матрицы Пример: двухзвенный манипулятор - student2.ru имеем:

Пример: двухзвенный манипулятор - student2.ru , Пример: двухзвенный манипулятор - student2.ru ,

Пример: двухзвенный манипулятор - student2.ru ,

где Пример: двухзвенный манипулятор - student2.ru Пример: двухзвенный манипулятор - student2.ru Пример: двухзвенный манипулятор - student2.ru Пример: двухзвенный манипулятор - student2.ru

В соответствии с определением матрицы Пример: двухзвенный манипулятор - student2.ru для вращательного сочленения имеем:

Пример: двухзвенный манипулятор - student2.ru .

Используя выражение (6-19), получаем:

Пример: двухзвенный манипулятор - student2.ru .

Аналогично для Пример: двухзвенный манипулятор - student2.ru и Пример: двухзвенный манипулятор - student2.ru получаем:

Пример: двухзвенный манипулятор - student2.ru

Пример: двухзвенный манипулятор - student2.ru

Полагая, что центробежные моменты инерции равны нулю, получим формулу для матрицы псевдоинерции Пример: двухзвенный манипулятор - student2.ru :

Пример: двухзвенный манипулятор - student2.ru ; Пример: двухзвенный манипулятор - student2.ru .

Для определения слагаемых, описывающих центробежное и кориолисово ускорение, воспользуемся равенством (6-40). Для i=1 оно дает:

Пример: двухзвенный манипулятор - student2.ru .

С помощью (6-41) можно получить значения коэффициентов Пример: двухзвенный манипулятор - student2.ru . Подставляя их в предыдущее выражение, имеем:

Пример: двухзвенный манипулятор - student2.ru .

Аналогично для i=2:

Пример: двухзвенный манипулятор - student2.ru .

Таким образом:

Пример: двухзвенный манипулятор - student2.ru .

Слагаемые, определяющие влияние гравитационных сил Пример: двухзвенный манипулятор - student2.ru :

Пример: двухзвенный манипулятор - student2.ru

Пример: двухзвенный манипулятор - student2.ru

Таким образом, вектор, определяющий влияние силы тяжести:

Пример: двухзвенный манипулятор - student2.ru .

Окончательно имеем уравнения описывающие динамику движения двухзвенного манипулятора:

Пример: двухзвенный манипулятор - student2.ru ,

Пример: двухзвенный манипулятор - student2.ru

ЛЕКЦИЯ 11

Уравнения Ньютона-Эйлера

В предыдущих лекциях с помощью уравнений Лагранжа-Эйлера мы получили систему нелинейных дифференциальных уравнений, описывающих динамику движения манипулятора. С вычислительной точки зрения применение этих уравнений представляет большие трудности при решении задачи в реальном времени. Для обеспечения управления в реальном времени была разработана модель динамики движения манипулятора, не учитывающая кориолисовы и центробежные силы. При быстром движении манипулятора ошибки в реализуемых силах и моментах, обусловленные неучетом центробежных и кариолисовых сил, не удается компенсировать за счёт управления с обратной связью из-за слишком больших величин требуемых для этого корректирующих моментов.

Для упрощения вычислений пользуются формулой Ньютона-Эйлера, в основе которых лежит второй закон Ньютона.

Для вывода этих уравнений обратимся к подвижной системе координат.

Наши рекомендации