Структурный подход к измерению информации

В рамках структурного подхода выделяют три меры информации:

1) геометрическая;

2) комбинаторная;

3) аддитивная, или мера Хартли.

Геометрическая мера

Определяет максимально возможное количество информации в заданных объемах. Единица измерения – информационный элемент. Мера может быть использована для определения информационной емкости памяти компьютера. В этом случае в качестве информационного элемента выступает минимальная единица хранения – бит. Список самых распространенных более крупных единиц и соотношение между ними приведено ниже:

8 бит = 1 байт (сокращенно б или Б),

1024 Б = 1 килобайт (сокращенно Кб или К),

1024 К = 1 мегабайт (сокращенно Мб или М),

1024 М = 1 гигабайт (сокращенно Гб или Г).

Тогда, например, объем винчестера – 3 гигабайта; объем основной памяти компьютера – 32 мегабайта и т.д.

Пример 5.1. Пусть сообщение

5555 6666 888888 (5.1)

закодировано одним из специальных методов эффективного кодирования – кодирование повторений – из п. 4.3.5.1 и имеет вид:

5(4) 6(4) 8(6) . (5.2)

Измерить информацию в сообщениях (5.1) и (5.2) геометрической мерой и оценить эффективность кодирования.

В качестве информационного элемента зададимся символом сообщения. Тогда:

I^(5.1) = l^(5.1) = 14 символов;

I^(5.2) = l^(5.2) = 12 символов,

где I^(5.1),I^(5.2) – количества информации, соответственно, в сообщениях (5.1) и (5.2);

l^(5.1), l^(5.2) – длины (объемы) сообщений, соответственно, (5.1) и (5.2).

Эффект кодирования определяется как разница между I^(5.1)иI^(5.2)и составляет 2 символа.

Очевидно, геометрическая мера не учитывает, какими символами заполнено сообщение. Так, одинаковыми по количеству информации, измеренной геометрической мерой, являются, например, сообщения «компьютер» и «программа»; 346 и 10В.

Комбинаторная мера

Оценивает возможность представления информации при помощи различных комбинаций информационных элементов в заданном объеме. Использует типы комбинаций элементов и соответствующие математические соотношения, которые приводятся в одном из разделов дискретной математики – комбинаторике (необходимые положения приведены в прил. 3).

Комбинаторная мера может использоваться для оценки информационных возможностей некоторого автомата, который способен генерировать дискретные сигналы (сообщения) в соответствии с определенным правилом комбинаторики.

Пусть, например, есть автомат, формирующий двузначные десятичные целые положительные числа (исходное множество информационных элементов {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}). В соответствии с положениями комбинаторики, данный автомат генерирует размещения (различаются числа, например, 34 и 43) из 10 элементов (используются 10 цифр) по 2 (по условию задачи, формируются двузначные числа) с повторениями (очевидно, возможны числа, состоящие из одинаковых цифр, например, 33). Тогда можно оценить, сколько различных сообщений (двузначных чисел) может сформировать автомат, иначе говоря, можно оценить информационную емкость данного устройства (см. П3.6):

Р^п(₁₀²) = 10² = 100 .

Комбинаторная мера используется для определения возможностей кодирующих систем, которые широко используются в информационной технике.

Пример 5.2. Определить емкость ASCII-кода, представленного в двоичной или шестнадцатеричной системе счисления.

ASCII-код – это сообщение, которое формируется как размещение с повторениями:

· для двоичного представления – из информационных элементов {0, 1}, сообщение длиной (объемом) 8 символов;

· для шестнадцатеричного представления – из информационных элементов {0, 1, 2, …., А, В, С, …. F}, сообщение длиной (объемом) 2 символа.

Тогда в соответствии с (П3.6):

I^{(двоичное)} = Р^П(₂⁸) = 2⁸ = 256;

I^{(шестнадцатеричное)} = Р^П(₁₆²) = 16² = 256,

где I^{(двоичное)}, I^{(шестнадцатеричное)}– количества информации, соответственно, для двоичного и шестнадцатеричного представления ASCII-кода.

Таким образом, емкость ASCII-кода для двоичного и шестнадцатеричного представления одинакова и равна 256.

Следует отметить, что все коды постоянной длины (см. п. 4.1.1) формируются по правилам комбинаторики или их комбинациям.

В случае, когда сообщения формируются как размещения с повторениями из элементов алфавита мощности h и известно количество сообщений М, можно определить требуемый объем сообщения (т.е. его длину l) для того, чтобы в этом объеме представить все сообщения:

l = log _h М . (5.3)

Например, есть 4 сообщения (см. табл. 4.2) – a, b, c, d. Выполняется двоичное кодирование этих сообщений кодом постоянной длины. Для этого требуются 2 двоичных разряда. В самом деле:

l = log ₂ 4 = 2.

Очевидно, комбинаторная мера является развитием геометрической меры, так как помимо длины сообщения учитывает объем исходного алфавита и правила, по которым из его символов строятся сообщения.

Особенностью комбинаторной меры является то, что ею измеряется информация не конкретного сообщения, а всего множества сообщений, которые могут быть получены.

Единицей измерения информации в комбинаторной мере является число комбинаций информационных элементов.

Аддитивная мера

Эта мера предложена в 1928 году американским ученым Хартли, поэтому имеет второе название – мера Хартли. Хартли впервые ввел специальное обозначение для количества информации – I и предложил следующую логарифмическую зависимость между количеством информации и мощностью исходного алфавита:

I = l log h, (5.4)

где I – количество информации, содержащейся в сообщении;

l – длина сообщения;

h – мощность исходного алфавита.

При исходном алфавите {0,1}; l = 1; h = 2 и основании логарифма, равном 2, имеем

I = 1*log₂2 = 1.

Данная формула даёт аналитическое определение бита (BIT - BInary digiT) по Хартли: это количество информации, которое содержится в двоичной цифре.

Единицей измерения информации в аддитивной мере является бит.

Пример 5.3. Рассчитать количество информации, которое содержится в шестнадцатеричном и двоичном представлении ASCII-кода для числа 1.

В соответствии с таблицей ASCII-кодов (рис. 4.1) имеем:

шестнадцатеричное представление числа 1 – 31, (5.5)

двоичное представление числа 1 – 00110001. (5.6)