Разработка блок-схемы машинного алгоритма и программы

Программа для нахождения минимума будет начинаться с функции L(x0,y0,e), входными параметрами которой являются x₀ - точка приближения по x, y₀ - точка приближения по y и точность приближенного решения e. Равномерный поиск реализован основным соотношением:

Результатом функции будет значение аргументов функции, доставляющих минимум рассматриваемой функции, само значение этого минимума. Приведем блок-схему машинного алгоритма (Рисунок 2).

Конец

Начало

Выбираем стартовую точку

Вычисляем производные

Задаем шаг h

Получаем новую точку

Делаем равномерный шаг в антиградиентном направлении

h > e

Вывод

Уменьшаем шаг

Присваиваем новые значения

Нет

Да

Нет

Да

Рисунок 2 – Блок-схема программы

Реализация градиентного метода в Mathcad представлена на рисунке 3.

Рисунок 3 – Листинг программы в Mathcad

Результат выполнения программы представлен на рисунке 4.

Рисунок 4 – Результат выполнения программы

Результат, выданный программой, показывает координаты точки минимума x=0.67859 y=0.65174 и значение функции в этой точке Z(x,y)=5.73321.

Построим графики функций (Рисунок 5, Рисунок 6).

Рисунок 5 – График функции F(x)

Рисунок 6 – График функции H(y)

По графикам на рисунках 5 и 6 видно, что экстремум функции попадает в заданную область ограничений.

Так же построим 3D график нашей функции цели Z(x,y).

Рисунок 7 – 3D график функции цели Z(x,y)

Проверка необходимых и достаточных условий экстремума для найденной точки минимума

Для проверки необходимого условия существования экстремума функции найдем первую производную Zpr(x,y) от целевой функции Z(x,y) и подставим получившиеся координаты точек x и y. Производная равна нулю (учитывая допустимую погрешность), следовательно, необходимое условие существования экстремума выполнено.

А для проверки достаточного условия нужно построить матрицу Гессе и с помощью встроенной функции в Mathcad найти её определитель, подставив координаты полученной точки.

Реализуем алгоритм проверки необходимого условия в Mathcad. Листинг программы представлен на рисунке 8.

Рисунок 8 – Листинг программы по проверке необходимого условия

Реализуем программу для проверки достаточного условия. Листинг программы представлен на рисунке 9.

Рисунок 9 – Листинг программы по проверке достаточного условия

По выполненной программе на рисунке 9 можно сделать вывод, что матрица Гессе положительно определена, это означает то что мы нашли точку минимума.