Перечень ссылочных документов
Аннотация
Разработанный программно-методический комплекс содержит математическое описание, алгоритм и программу вычисления определённого интеграла методом Ньютона – Котеса с точностью 0,01%, производит расчёт n значений исследуемой функции и выводит их. Программа написана на языке Бейсик. Исходные данные вводятся с клавиатуры.
Перечень рисунков и таблиц
Рис.1 – Алгоритм решения задачи
Рис.2 – Численное вычисление интеграла
Таблица 1 – Результаты вычисления
Содержание
Аннотация…………………………………………………………………….4
Перечень ссылочных документов…………………………………………...4
Введение…………………………………………………………………...6
Общие сведения………………………………………………………..6
Функциональное назначение………………………………………….6
Описание логической структуры алгоритма решения задачи............7
Используемые технические программные средства…………………8
Входные и выходные данные………………………………………….8
Заключение……………………………………………………………...9
Приложение 1 – Схема программы решения задачи……………………….10
Приложение 2 – Текст программы на языке QuickBASIC…………………11
Приложение 3 – Пример расчёта. Контрольный пример…………………..12
Перечень терминов и сокращений………………………………………..….13
Лист регистрации изменений………………………………………………....14
Введение
Математика - одна из самых древних наук. Труды многих ученых вошли в мировой фонд и стали основой современных алгебры и геометрии. В конце XVII в., когда развитие науки шло быстрыми темпами, появились понятия дифференцирование, а вслед за ним и интегрирование. Многие правила нахождения неопределенного интеграла в то время не были известны, поэтому ученые пытались найти другие, обходные пути поиска значений. Первым методом явился метод Ньютона – поиск интеграла через график функции, т.е. нахождение площади под графиком, методом
прямоугольников, в последствии усовершенствованный в метод трапеций. Позже был придуман параболический метод или метод Симпсона. Однако часть ученых терзал вопрос: А можно ли объединить все эти методы в один??
Ответ на него был дан одновременно двумя математиками Ньютоном и Котесом. Они вывели общую формулу, названную в их честь. Однако их метод был частично забыт. В этой работе будут приведены таблицы, полученные при различных погрешностях, и конечно описана работа и код программы, рассчитывающей интеграл методом Ньютона-Котеса.
Общие сведения
Обозначение данной программы – IRINA. bas. Наименование программы – вычисление определённого интеграла методом Ньютона – Котеса. Данная программа разработана на языке Basiс и работает в среде программирования QB. EXE в диалоговом режиме. Для нормального функционирования программы обязательно наличие операционной системы Windows.
Функциональное назначение
Программа предназначена для расчёта n значений функции с равномерным шагом и вычисления определённого интеграла методом Ньютона - Котеса с заданной точностью. Результаты расчёта выводятся на экран монитора.
Описание логической структуры алгоритма решения задачи.
Логическая структура программы может быть представлена следующей последовательностью действий.
На первом этапе выдаётся наименование программы и выводятся сообщения о необходимости ввода данных с клавиатуры:
а - начальное значение интервала для расчёта значений;
b - конечное значение интервала для расчёта значений;
e – точность вычислений (0,01 %)
Алгоритм вычисления определенного интеграла
1)Разбивается отрезок интегрирования на n равных частей с шагом
h=(b-a)/(n).
2) На каждом отрезке на интервалах [x0,x2], [x2,x4],…[xn-1,xn], вычисляют i
3) Затем производится оценка точности вычислений из условия:
|i-i1|<e (1)
последнего цикла вычислений сумм площадей, которая сравнивается с величиной e по условию (1) и если оно ложно, то шаг интегрирования h уменьшается вдвое (т. е. n будет увеличиваться, пока разность между промежуточными интегралами h, не станет максимально приближённой к нулю)
4) Процесс вычисления площадей повторяется, пока не будет выполняться условие (1)
Подробную схему программы смотри в Приложении 1.
По данной схеме разработана программа (Приложение 2).
Используемые технические и программные средства
Для работы программы требуется любой IBM совместимый компьютер, печатающее устройство. Операционная система Window xp, среда программирования QuickBASIC.
Входные и выходные данные
Входными данными для расчёта являются:
заданная функция
а - начальное значение интервала для расчёта значений;
b - конечное значение интервала для расчёта значений;
n - количество расчётных точек
e – точность вычислений
Результатами вычислений являются:
n значений функции
значение определённого интеграла
Результаты расчёта для заданной функции приведены в Приложении 3.
Приложение 2
CLS
PRINT «Введите начальные значения : a - нижний предел, b - верхний предел интеграла, n - количество расчётных точек, e - точность вычисления интеграла»
INPUT a, b, n, e
h = (b - a) / n
i1=0
FOR x=a TO (b-h) STEP h
i=i+h*SQR(2*x+1)
k=k+1
PRINT k, i
NEXT
8: i=0
x=a
4: i=i+h*SQR(2*x+1)
x=x+h
IF x<=b THEN
GOTO 4
ELSE
IF ABS(i-i1)<0 then
PRINT «значение интеграла» , i
ELSE
n=n*2
h=(b-a)/n
i1=i
GOTO 8
END IF
END IF
Приложение 3
Таблица 1. Результаты вычисления
| k (№ по п/п) | i | k (№ по п/п) | i | ||
| 0.025 | 0.6396381 | ||||
| 5.061738Е-02 | 0.6754327 | ||||
| 0.0768376 | 0.7116611 | ||||
| 0.1036471 | 0.7483183 | ||||
| 0.1310332 | 0.7853993 | ||||
| 0.1589841 | 0.8228993 | ||||
| 0.1874885 | 0.8608137 | ||||
| 0.2165359 | 0.899138 | ||||
| 0.2461163 | 0.9378679 | ||||
| 0.2762202 | 0.976999 | ||||
| 0.3068388 | 1.016528 | ||||
| 0.3379636 | 1.056449 | ||||
| 0.3695863 | 1.096761 | ||||
| 0.4016994 | 1.137458 | ||||
| 0.4342954 | 1.178537 | ||||
| 0.4673674 | 1.219995 | ||||
| 0.5009084 | 1.261828 | ||||
| 0.534912 | 1.304033 | ||||
| 0.5693722 | 1.346606 | ||||
| 0.6042828 | 1.389545 |
Значение интеграла 1.398656
Перечень терминов и сокращений
Аннотация – краткое разъяснение и содержание данной работы.
Алгоритм – конечная последовательность точно определённых действий, приводящих к однозначному решению поставленной задачи.
Интеграл (определённый) – в математике обозначает предел суммы y0dx0+y1dx1+…+yn-1dxn-1, выраженный числом. (Напротив, неопределённый интеграл- функция)
bas – расширение Q.Basic
Перечень ссылочных документов
1. ГОСТ 19.701-90 Основные структуры алгоритмов
2. Светозарова Г. И., Мельников А. А., Козловский А. В. Практикум по программированию на языке Бейсик, Под редакцией академика
Емельянова С. В., Москва «Наука», 1988
3. Еганов В.М., Качурин Н.М., Коряков А.Е., Туляков С.П. Основы информатики. Учебное пособие. - ТулГУ, Тула
| Лист регистрации изменений | |||||||||
| Номера листов (страниц) | Всего листов (страниц) в докум. | № документа | Входящий № сопроводительного докум. и дата | Подп. | Дата | ||||
| Изм | измененных | Замененных | новых | Аннулированных | |||||
Заключение
Существует много методов вычисления интеграла, один из которых метод Ньютона-Котеса.
При вводе значений функции вручную необходимо вводить только цифры и после каждого ввода нажимать клавишу ENTER.
Программа вычисления определённого интеграла (см.приложение 2) написана в соответствии с алгоритмом. Схема алгоритма представлена в приложении 1.