Механика абсолютно твердого тела

Лабораторная работа № 151. Измерение моментов инерции тел правильной формы.

Введение

Основное уравнение динамики вращательного движения в случае неподвижной оси вращения z удобно спроектировать на эту ось:

. (1)

Здесь L_z - проекция момента импульса, M_z - момент внешних сил относительно оси.

Проекция момента импульса L_z связана с угловой скоростью w и моментом инерции I относительно этой оси:

. (2)

Момент инерции тела определяется формулой:

, (3)

где суммирование проводится по всем материальным точкам тела с массами m_i, r_i - расстояния от материальных точек до оси вращения. В случае непрерывного распределения масс эту формулу можно записать в интегральном виде:

(4)

Момент инерции величина аддитивная I=SIi.

При вращении тела под действием момента упругой силы пружины уравнение (1) приводит к следующему соотношению:

I = T²·D/(4·p²) (5)

где I – момент инерции колеблющегося тела, T – период колебаний, D – модуль кручения пружины. Последние две величины измеряются в данной работе экспериментально.

Приступая к работе необходимо

Знать определения

вектора и составляющей вектора;

координат вектора;

проекции вектора на направление;

вектора угла бесконечно малого поворота, угловой скорости, углового ускорения;

системы координат и системы отсчета;

инерциальной и неинерциальной систем отсчёта;

массы тела, момента инерции тела;

силы, момента силы;

центра масс;

кинетической энергии;

момента импульса.

Знать

формулировку и границы применения уравнения динамики вращательного движения.

Уметь

рассчитывать моменты инерции однородных тел правильной геометрической формы;

измерять расстояния с помощью линейки;

измерять время ручным секундомером;

определять массу взвешиванием;

оценивать случайные погрешности прямых и косвенных измерений.

Цель работы:

Сравнение измеренных и теоретически вычисленных значения моментов инерции тел правильной формы.

Решаемые задачи

ü измерение модуля кручения пружины методом крутильных колебаний;

ü измерение моментов инерции изучаемых тел методом крутильных колебаний.

Рис.1 Вид экспериментальной установки

Экспериментальная установка

Приборы и принадлежности:

ü Торсионная пружина на штативе;

ü Секундомер;

ü Штанга с перемещаемыми грузами;

ü Деревянный шар;

ü Деревянный диск;

ü Держатель для тел цилиндрической формы;

ü Деревянный цилиндр;

ü Полый металлический цилиндр;

ü Весы.

Порядок выполнения работы:

1. Снимите со штанги грузы, установите штангу на пружину и измерьте период колебаний T₀;

2. Определите взвешиванием массы m грузов, закрепляемых на штанге;

3. Установите грузы на штангу, для каждого из шести положений грузов измерьте период T_i и вычислите D_i = 4·p²· (2·m·R_i²)/(T_i² – T₀²); Начальная амплитуда колебаний не более 180°!!!

4. Найдите D как среднее измеренных D_i;

5. Взвесьте шар, диск, держатель цилиндрических тел, деревянный цилиндр, полый цилиндр.

6. Измерьте диаметры шара, диска, цилиндра и полого цилиндра;

7. Установите на пружину шар, измерьте период колебаний и найдите момент инерции по формуле (5);

8. Установите на пружину диск, измерьте период колебаний и найдите момент инерции по формуле (5);

9. Установите на пружину держатель цилиндрических тел, измерьте период колебаний и найдите момент инерции по формуле (5);

10. Установите на держатель деревянный цилиндр, измерьте период колебаний и найдите суммарный момент держателя и цилиндра. Найдите момент инерции цилиндра как разность суммарного момента инерции и момента инерции держателя;

11. Установите на держатель полый цилиндр, измерьте период колебаний и найти суммарный момент держателя и цилиндра. Найдите момент инерции цилиндра как разность суммарного момента инерции и момента инерции держателя;

Обработка и представление результатов

Вычислите по формулам моменты инерции шара, диска, цилиндра и полого цилиндра и сравните с измеренными.

Моменты инерции однородных тел правильной геометрической формы относительно осей, проходящих через центры масс, приведены в таблице:

Тело	Ось	Момент инерции
Полый однородный тонкостенный цилиндр или кольцо радиуса r и массы m	Ось цилиндра	mr2
Однородный шар радиуса r	любая ось
Однородный диск радиуса r	ось перпендикулярная плоскости диска
Однородный цилиндр радиуса r и высотой l	ось перпендикулярная оси симметрии
Однородный цилиндр радиуса r и высотой l	ось симметрии
Тонкий однородный стержень длиной l	ось перпендикулярная стержню
Однородный куб с длиной ребра l	любая ось

Данные измерений представьте в виде таблиц:

Таблица I: Таблица II:

№	R, см	T, с	D
	-		-
	5.0
	10.0
…	…
	30.0

Тело	m	Iэксп	Iтеор
Шар
Диск
Цилиндр
Полый цилиндр

Сделайте вывод о возможности вычисления моментов инерции однородных тел правильной геометрической формы.

Лабораторная работа № 152. Проверка теоремы Штайнера

Введение

Основное уравнение динамики вращательного движения в случае неподвижной оси вращения z удобно спроектировать на эту ось:

. (1)

Здесь L_z - проекция момента импульса, M_z - момент внешних сил относительно оси.

Проекция момента импульса L_z связана с угловой скоростью w и моментом инерции I относительно этой оси:

. (2)

Момент инерции тела определяется формулой:

, (3)

где суммирование проводится по всем материальным точкам тела с массами m_i, r_i - расстояния от материальных точек до оси вращения. В случае непрерывного распределения масс эту формулу можно записать в интегральном виде:

(4)

Момент инерции величина аддитивная I=SIi.

Момент инерции I тела относительно любой оси АА’ можно найти, зная момент инерции I₀ относительно оси ВВ’, проходящей через центр масс тела параллельно оси АА’ при помощи теоремы Гюйгенса-Штейнера:

I=I₀+md ², (5)

где m - масса тела, d - расстояние между осями.

При вращении тела под действием момента упругой силы пружины уравнение (1) приводит к следующему соотношению:

I = T²·D/(4·p²) (6)

где I – момент инерции колеблющегося тела, T – период колебаний, D – модуль кручения пружины.

Приступая к работе необходимо

Знать определения

вектора и составляющей вектора;

координат вектора;

проекции вектора на направление;

вектора угла бесконечно малого поворота, угловой скорости, углового ускорения;

системы координат и системы отсчета;

инерциальной и неинерциальной систем отсчёта;

массы тела, момента инерции тела;

силы, момента силы;

центра масс;

кинетической энергии;

момента импульса.

Знать

формулировку и границы применения уравнения динамики вращательного движения;

формулировку и границы применения теоремы Гюйгенса-Штайнера.

Уметь

рассчитывать моменты инерции однородных тел правильной геометрической формы;

измерять расстояния с помощью линейки;

измерять время ручным секундомером;

оценивать случайные погрешности прямых и косвенных измерений.

Цель работы:

Сравнение экспериментально определенной и теоретически предсказанной зависимости момента инерции диска от расстояния между осью симметрии диска и осью его вращения.

Решаемые задачи:

ü измерение моментов инерции диска для различных его положений методом крутильных колебаний.

Рис.1 Вид экспериментальной установки

Экспериментальная установка

Приборы и принадлежности:

ü Торсионная пружина на штативе;

ü Секундомер;

ü Исследуемый диск.

Порядок выполнения работы:

1. Установите диск на торсионную пружину так, чтобы ось колебаний проходила через отверстие «0». Измерьте период колебаний T₀. Внимание! Необходимо провести не менее пяти измерений, не менее десяти колебаний в каждом! Начальная амплитуда колебаний не более 180°!

2. Последовательно устанавливая диск так, чтобы ось колебаний проходила через отверстия «2», «4», «6», «8», «10», «12», «14», «16», измерьте периоды колебаний T₁,T₂, …, T₈. Внимание! Так как период колебаний диска может зависеть от положения диска на оси, диск следует ориентировать длинной стороной диска против П-образного кронштейна крутильной пружины!

3. Измерьте радиус диска R.

Обработка и представление результатов

Вычислите относительные теоретические моменты инерции диска по формуле

I_{т отн} = (M·R²/2+M·d_i²)/(M·R²/2) = 1 + 2·d_i²/R²

для всех осей и сравните с экспериментальными результатами, вычисленными с использованием данных измерения по формуле:

I_{э отн} = T²/T₀²

Данные измерений представьте в виде таблицы:

№	R, см	Ti(1)	Ti (2)	Ti (3)	Ti (4)	Ti (5)		Iт отн
								1.00
…	…

Постройте график зависимости T_i² от I_{т отн}. Сделайте вывод о соответствии теоретических предположений и экспериментального результата.

Лабораторная работа № 153.Изучение прецессии гироскопа

Введение

Гироскопом называется симметричный волчок (т.е. твердое тело, у которого совпадают, по крайней мере, два главных значения тензора инерции I₁ и I₂), совершающий быстрое вращение вокруг оси симметрии (ось 3 на рис.1).

Так как ось вращения совпадает с осью симметрии гироскопа, то его момент импульса равен:

L=I₃w, (1)

Рис. 1.

где I₃ - момент инерции гироскопа относительно оси 3, w - угловая скорость вращения. Из выражения (1) видно, что ось вращения совпадает с направлением вектора момента импульса гироскопа L. Приближенная теория движения гироскопа полагает, что малые по величине моменты внешних сил не могут изменить величину момента импульса L, а меняют только его направление.

Момент импульса гироскопа подчиняется основному закону вращательного движения:

, (2)

где M - суммарный момент внешних сил. Рассмотрим это уравнение применительно к гироскопу, закрепленному в одной точке. Допустим, что точка приложения силы лежит на оси симметрии (см. рис. 1), а сила направлена перпендикулярно оси симметрии 3. Тогда момент этой силы направлен перпендикулярно к оси вращения и L. Под действием момента постоянной силы, вектор L, а следовательно и ось гироскопа, должны совершать равномерное вращение вокруг оси 1. Это вращение называется вынужденной прецессией. Угловая скорость прецессии W может быть найдена из следующих соображений. Поскольку вектор L не меняет своей длины, то изменение этого вектора dL за время dt обусловлено исключительно его вращением со скоростью W и определяется выражением:

, (3)

Из сравнения уравнений (2) и (3) имеем:

,

или в скалярном виде для данного случая:

;

откуда

. (4)

Следовательно, при закреплении только одной точки ось гироскопа может совершать движение в пространстве в любом направлении в зависимости от направления момента внешней силы. Такой гироскоп называется свободным. Угловая частота прецессии свободного гироскопа прямо пропорциональна моменту внешней силы и обратно пропорциональна частоте вращения гироскопа вокруг оси симметрии.

Приступая к работе необходимо

Знать определения

вектора и составляющей вектора;

координат вектора;

проекции вектора на направление;

вектора угла бесконечно малого поворота, угловой скорости, углового ускорения;

системы координат и системы отсчета;

инерциальной и неинерциальной систем отсчёта;

массы тела, момента инерции тела;

силы, момента силы;

центра масс;

момента импульса;

углов Эйлера.

Знать

формулировку и границы применения уравнения динамики вращательного движения;

определение гироскопа и уравнение его движения.

Уметь

запускать программы в среде Windows и пользоваться стандартными элементами их интерфейса (меню, контекстные меню, окна и т.д.);

оценивать случайные погрешности прямых и косвенных измерений.

Цель работы

Изучение явления прецессии гироскопа.

Решаемые задачи

ü определение зависимости угловой скорости прецессии от угловой скорости вращения гироскопа;

ü определение зависимости угловой скорости прецессии гироскопа от приложенного момента сил;

ü экспериментальное измерение момента инерции гироскопа;

ü теоретический расчет момента инерции гироскопа.

Экспериментальная установка

Приборы и принадлежности:

ü Гироскоп (масса диска = 1500 г, диаметр = 230 мм);

ü Набор грузов;

ü Шнур для раскрутки гироскопа;

ü Компьютерный интерфейс-сенсор CASSY Lab 2;

ü Компьютер.

Порядок выполнения работы:

Подготовка установки для проведения экспериментов

1. Включите в сеть CASSY Lab и компьютер.

2. На Рабочем столе Windows найдите ярлык работы и стартуйте его.

3. Закройте лишние окна. Удалите результаты предыдущих измерений.

Проведение измерений

4. Возьмите один груз с крючком.

5. Взвесьте груз вместе с крючком и запишите его массу m;

6. Тщательно отгоризонтируйте гироскоп!

7. Измерьте r – расстояние от точки подвеса груза до центра тяжести гироскопа (догадайтесь – где он?);

8. Проверьте, не мешает ли прецессии гироскопа шнур датчика регистрации оборотов гироскопа!

9. Раскрутите гироскоп до угловой скорости вращения примерно w = 15 рад/с. Если после этого ось гироскопа колеблется в вертикальной плоскости, следует сдемпфировать колебания собственной рукой, взявшись за длинный конец оси гироскопа;

10. Подвесьте к длинному концу оси груз;

11. Пронаблюдайте прецессию гироскопа на угол не менее 180 градусов! Прецессия не должна сопровождаться колебаниями оси гироскопа в вертикальной плоскости!

12. Нажмите F9, зафиксировав таким образом измерения угловой скорости собственного вращения гироскопа w и угловой скорости прецессии W;

13. Снимите груз и аккуратно поверните в исходное положение;

14. Занесите измерения в таблицу;

15. Снова подвесьте груз и проведите измерения. Если гироскоп в процессе прецессии заметно (более 10 градусов) отклонился от горизонтали, затормозите его, осторожно прикасаясь (лучше – чистым платком) одновременно к нижней и верхней точкам диска гироскопа и раскрутите его вновь;

16. Выполните описанным выше образом (п.п. 7-14) десять измерений;

17. Заполните таблицу:

i	wi	Wi	f = w·W
…

18. По этим десяти измерениям найдите значение f = w·W для доверительной величины для вероятности 0.95 по алгоритму оценки статистических погрешностей прямых измерений.

19. Проведите измерения f = w·W (п.п. 5-18) еще не менее чем для шести грузов разных масс.

20. Вычислите момент инерции гироскопа I_3теор по его массе и диаметру.

Обработка и представление результатов

По двум-трем сериям для грузов разных масс постройте графики зависимости W(w). Сделайте вывод об этой зависимости.

Постройте график зависимости f(m). Убедитесь в его линейности.

По тангенсу угла наклона этого графика, с учетом формулы (4) найдите момент инерции гироскопа I_3эксп.

Сравните I_3теор и I_3эксп.

.

Лабораторная работа № 154. Проверка уравнения динамики вращательного движения

Введение

Уравнение динамики вращательного движения твердого тела вокруг неподвижной оси z имеет вид:

I_zb_z=M_z, (1)

где I_z - момент инерции тела относительно оси z, b_z - проекция углового ускорения на ось z, M_z - момент силы относительно оси z. Таким образом, устанавливается прямая пропорциональность углового ускорения и момента инерции, что может быть проверено на эксперименте.

Приступая к работе необходимо

Знать определения

вектора и составляющей вектора;

координат вектора;

проекции вектора на направление;

вектора угла бесконечно малого поворота, угловой скорости, углового ускорения;

системы координат и системы отсчета;

инерциальной и неинерциальной систем отсчёта;

массы тела, момента инерции тела;

силы, момента силы;

центра масс;

момента импульса;

углов Эйлера.

Знать

формулировку и границы применения уравнения динамики вращательного движения в векторном виде.

Уметь

запускать программы в среде Windows и пользоваться стандартными элементами их интерфейса (меню, контекстные меню, окна и т.д.);

оценивать случайные погрешности прямых и косвенных измерений.

Цель работы

Проверка линейной зависимости углового ускорения b от момента силы M.

Решаемые задачи

ü измерение углового ускорения;

ü измерение момента сил;

ü экспериментальное определение зависимости углового ускорения от момента сил.

Экспериментальная установка

Приборы и принадлежности:

ü Диск с тремя разными шкивами, (1)

ü световые ворота со спицевым колесом (2);

ü набор металлических дисков;

ü Компьютерный интерфейс сенсор - CASSY 2 (3);

ü Таймер S (4);

ü Лабораторный столик II, 16 x 13 см (5);

ü Соединительные кабели;

ü Компьютер с установленной программой CASSY Lab.

Диск со шкивами (см. рис.) радиусами r_i, (0,012м; 0,024м; 0,048м), может с малым трением вращаться насажены вокруг вертикальной оси. Можно менять момент инерции системы добавляя дополнительные диски. На шкив наматывается нить, к концу которой привязана гирька массы m. Перемещение нити можно зафиксировать с помощью спицевого колеса, которое она вращает.

При падении гири сила натяжения нити T создает момент относительно вертикальной оси z

M _z = T r_i, (2)

который приводит к вращению системы.

Силу Т можно найти из уравнения поступательного движения гири:

ma = mg - T, (3)

где m - масса гири, а - его ускорение. Из этих уравнений получаем, что момент силы натяжения нити

M _z = m(g - a)r. (4)

Варьируя массу гири и радиус шкива, можно менять момент этой силы. В случае плотной намотки нерастяжимой нити ускорение а связано с угловым ускорением b _z соотношением b _z = a/r. (5)

Ускорение a можно определить дважды численно продифференцировав путь пройденный грузом.

Порядок выполнения работы:

Упражнение 1. Исследование характера движения.

1. Стартуйте с рабочего стола ярлык с названием работы.

2. В появившемся окне настройки подключений нажмите клавишу «Show measuring parameters».

3. Выберите в появившемся списке “Sensor CSSSY2”,“Input A₁(Timer)”, “Path β_A1”

4. Намотайте нить на один из шкивов и установите 2 гири в верхнем положении, так чтобы крепление колеса не мешало движению груза. Проследите, чтобы нить была натянута горизонтально и ровно вдоль колеса.

5. Введите значение радиуса шкива (0,012м; 0,024м; 0,048м) .

6. Обнулите показания угла, нажав клавишу “→0←”.

7. Отпустите гирю и включите измерение, нажав кнопку F9.

8. Повторите опыт для разных шкивов.

9. Рассчитайте соответствующее каждому шкиву ускорение b по формуле (5) и момент силы M по формуле (4).

10. Постройте график зависимости углового ускорения b колеса от момента приложенной силы M. Сделайте вывод о выполнении (невыполнении) уравнения (1).

11. По тангенсу угла наклона графика найдите момент инерции I вращающейся части прибора относительно оси вращения.

Упражнение 2. Исследование зависимости b колеса от его момента инерции I

12. Повторите задание 1выбрав только один радиус шкива, поместив на прибор один, два и три дополнительных диска и подобрав необходимое количество грузов.

13. Проверьте, что момент инерции увеличивается на одинаковую величину.

КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ И ЗАДАНИЯ К РАБОТЕ

Опишите экспериментальную установку и способ проверки уравнения (1).

Получите уравнение 4.

Почему полученный график не проходит через начало координат?

Каким образом можно регулировать момент силы действующий на вращающуюся часть прибора?

Как изменится график зависимости b _z (M _z), если повторить опыт с гирькой другой массы?