Представление числовых данных. перевод чисел в позиционных системах счисления

ЛЕКЦИЯ №2. ПРЕДСТАВЛЕНИЕ ДАННЫХ НА ЭВМ

План

o Общее представление данных и понятие о системах счисления.

o Структура данных. Единицы хранения данных.

ОБЩЕЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЕ ДАННЫХ И ПОНЯТИЕ О СИСТЕМАХ СЧИСЛЕНИЯ

Любая ЭВМ предназначена для обработки, преобразования и хранения данных. Для выполнения этих функций ЭВМ должна обладать некоторым способом представления этих данных. Представление данных заключается в их преобразовании в вид, удобный для последующей обработки либо пользователем, либо ЭВМ. Форма представления данных определяется их конечным предназначением. В зависимости от этого данные имеют внутреннее и внешнее представление.

Внутреннее представление данных определяется фи­зическими принципами, по которым происходит обмен. Любые данные для обработки ЭВМ представляются последо­вательностями двух целых чисел — единицы и нуля. Такая форма представления данных получила название двоичной.

Во внешнем представлении (для пользователя) все данные хранятся в виде файлов.

Файл — область памяти на внешнем носителе, которой присвоено имя.

Простейшими способами внешнего представления данных являются:

• вещественные и целые числа (числовые данные);

• последовательность символов (текст);

• изображение (графика, фотографии, рисунки, схемы).

Важным понятием при представлении данных в компьютерах является понятие системы счисления.

Система счисления — это способ наименования и представления чисел с помощью символов, имеющих определенные количественные значения. В зависимости от способа представления чисел системы счисления делятся на непозиционные и позиционные.

В непозиционных системах цифры не меняют своего количественного значения при изменении их расположения в числе. В римской непозиционной системе в качестве цифр используются: 1(1), V(5), X (10), L(50), С (100), D(500), М (1000). Величина числа в римской системе счисления определяется так: если меньшая цифра стоит слева от большей, то она вычитается, если справа — прибавляется. Например, десятичное число 1998 в римской системе исчисления будет выглядеть следующим образом:

MCMXCVIII - 1000 + (1000 - 100) +

+ (100 -10)+ 5 + 1 + 1 + 1 = 1998.

В позиционных системах количественное значение каждой цифры зависит от места (позиции) в числе. Примером позиционной системы является арабская десятичная система, а также двоичная и шестнадцатеричная системы, применяемые в ЭВМ. Шестнадцатеричная система счисления оказалась востребованной программистами из-за более компактного представления чисел по сравнению с двоичной системой. Иногда для представления данных используется восьмеричная система счисления.

ПРЕДСТАВЛЕНИЕ ЧИСЛОВЫХ ДАННЫХ. ПЕРЕВОД ЧИСЕЛ В ПОЗИЦИОННЫХ СИСТЕМАХ СЧИСЛЕНИЯ

Количество используемых символов определяет название системы счисления: двоичная — два (0 и 1); восьмеричная — восемь (0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7); десятичная — десять (0-9); шестнадцатеричная — шестнадцать (0-9, A-F).

В общем случае в позиционной системе счисления с основанием s любое число x может быть представлено в виде полинома от основания s: Например, в де­сятичной системе мы имеем число 123,45 = 1 ×102+ 2×101+ 3×100+ 4×10-1+ 5×10-2,

Записывая слева направо цифры числа, мы получим закодиро­ванную запись числа s-ичной системе счисления.

В информатике, вследствие применения электронных средств вычислительной техники, большое значение имеет двоичная систе­ма счисления, s= 2 . На ранних этапах развития вычислительной техники арифметические операции с действительными числами про­изводились в двоичной системе ввиду простоты их реализации в электронных схемах вычислительных машин. Например, таблица сложения и таблица умножения будут иметь по четыре правила:

Но запись числа в двоичной системе счисления длиннее записи того же числа в десятичной системе счисления в log₂10 раз (пример­но в 3,3 раза). Это громоздко и неудобно для использования, так как нормальный объем человеческого внимания составляет пример­но три-четыре объекта, т.е. удобно будет пользоваться такими сис­темами счисления, в которых наиболее часто используемые числа (от единиц до тысяч) записывались бы одной-четырьмя цифрами. Как это будет показано далее, перевод числа, записанного в двоичной си­стеме счисления, в восьмеричную и шестнадцатеричную очень силь­но упрощается по сравнению с переводом из десятичной в двоичную. Поэтому, наряду с двоич­ной системой счисления, в информатике имеют хождение восьмерич­ная и шестнадцатеричная системы счисления.

Запишем начало натурального ряда в десятичной, двоичной, восьмеричной и шестнадцатеричной системах счисления.

Система счисления
Десятичная	Двоичная	Восьмеричная	Шестиадцатеричная
			А
			В
			С
			D
			Е
			F