Примеры записи арифметических выражений

Математическая запись	Запись на школьном алгоритмическом языке
	x * y / z
	x / ( y * z ) или x / y / z
	( a**3 + b**3 ) / ( b*c )
	( a[i+1] + b[i-1] ) / ( 2*x*y )
	( -b + sqrt(b*b - 4*a*c)) / ( 2*a )
(x<0)	sign(x) * abs(x) ** (1/5)
	0.49 * exp(a*a - b*b) + ln(cos(a*a)) ** 3
	x/(1 + x*x/(3 + (2*x)**3))

Типичные ошибки в записи выражений:

5x + 1 a + sin x ((a + b)/c**3

Пропущен знак умножения между 5 и х Аргумент x функции sin x не заключен в скобки Не хватает закрывающей скобки

7.21. Как записываются логические выражения?

В записи логических выражений помимо арифметических операций сложения, вычитания, умножения, деления и возведения в степень используются операции отношения < (меньше), <= (меньше или равно), > (больше), >= (больше или равно), = (равно), <> (не равно), а также логические операции и, или, не.

Примеры записи логических выражений, истинных при выполнении указанных условий.

Условие	Запись на школьном алгоритмическом языке
Дробная часть вещественого числа a равна нулю	int(a) = 0
Целое число a — четное	mod(a, 2) = 0
Целое число a — нечетное	mod(a, 2) = 1
Целое число k кратно семи	mod(a, 7) = 0
Каждое из чисел a, b положительно	(a>0) и (b>0)
Только одно из чисел a, b положительно	((a>0) и (b<=0)) или ((a<=0) и (b>0))
Хотя бы одно из чисел a, b, c является отрицательным	(a<0) или (b<0) или (c<0)
Число x удовлетворяет условию a < x < b	(x>a) и (x<b)
Число x имеет значение в промежутке [1, 3]	(x>=1) и (x<=3)
Целые числа a и b имеют одинаковую четность	((mod(a, 2)=0) и (mod(b, 2)=0) или ((mod(a, 2)=1) и (mod(b, 2)=1))
Точка с координатами (x, y) лежит в круге радиуса r с центром в точке (a, b)	(x-a)**2 + (y-b)**2 < r*r
Уравнение ax^2 + bx + c = 0 не имеет действительных корней	b*b - 4*a*c < 0
Точка (x, y) принадлежит первой или третьей четверти	((x>0) и (y>0)) или ((x<0) и (y>0))
Точка (x, y) принадлежит внешности единичного круга с центром в начале координат или его второй четверти	(x*x + y*y > 1) или ((x*x + y*y <= 1) и (x<0) и (y>0))
Целые числа a и b являются взаимнопротивоположными	a = -b
Целые числа a и b являются взаимнообратными	a*b = 1
Число a больше среднего арифметического чисел b, c, d	a > (b+c+d) / 3
Число a не меньше среднего геометрического чисел b, c, d	a >= (b+c+d) ** (1/3)
Хотя бы одна из логических переменных F1 и F2 имеет значение да	F1 или F2
Обе логические переменые F1 и F2 имеют значение да	F1 и F2
Обе логические переменые F1 и F2 имеют значение нет	не F1 и не F2
Логическая переменная F1 имеет значение да, а логическая переменная F2 имеет значение нет	F1 и не F2
Только одна из логических переменных F1 и F2 имеет значение да	(F1 и не F2) или (F2 и не F1)

Упражнения

7.1. Запишите по правилам алгоритмического языка выражения:

a)		e)
б)		ж)
в)		з)
г)		и)
д)		к)

7.2. Запишите в обычной математической форме арифметические выражения:

а) a / b ** 2; б) a+b/c+1; в) 1/a*b/c; г) a**b**c/2; д) (a**b)**c/2; е) a/b/c/d*p*q; ж) x**y**z/a/b; з) 4/3*3.14*r**3; и) b/sqrt(a*a+b); к) d*c/2/R+a**3;

л) 5*arctg(x)-arctg(y)/4; м) lg(u*(1/3)+sqrt(v)+z); н) ln(y*(-sqrt(abs(x)))); о) abs(x**(y/x)-(y/x)**(1/3)); п) sqrt((x1-x2)**2+(y1-y2)**2); р) exp(abs(x-y))*(tg(z)**2+1)**x; c) lg(sqrt(exp(x-y))+x**abs(y)+z); т) sqrt(exp(a*x)*sin(x)**n)/cos(x)**2; у) sqrt(sin(arctg(u))**2+abs(cos(v))); ф) abs(cos(x)+cos(y))**(1+sin(y)**2);

7.3. Вычислите значения арифметических выражений при x=1:

а) abs(x-3)/ln(exp(3))*2/lg(10000);

Решение: abs(1-3)=2; ln(exp(3))=3; lg(10000)=4; 2/3*2/4=0.33;

б) sign(sqrt(sqrt(x+15)))*2**2**2;

в) int(-2.1)*int(-2.9)/int(2.9)+x;

г) -sqrt(x+3)**2**(sign(x+0.5)*3)+tg(0);

д) lg(x)+cos(x**2-1)*sqrt(x+8)-div(2,5);

е) sign(x-2)*sqrt(int(4.3))/abs(min(2,-1));

ж) div(10,x+2)*mod(10,x+6)/max(10,x)*mod(2,5).

7.4. Запишите арифметические выражения, значениями которых являются:

а) площадь треугольника со сторонами a, b, c (a, b, c>0) и полупериметром p;

Ответ: sqrt(p*(p-a)*(p-b)*(p-c));

б) среднее арифметическое и среднее геометрическое чисел a, b, c, d;

в) расстояние от точки с координатами (x,y) до точки (0,0);

г) синус от x градусов;

д) площадь поверхности куба (длина ребра равна а);

е) радиус описанной сферы куба (длина ребра равна а);

ж) координаты точки пересечения двух прямых, заданных уравнениями

a₁x+b₁y+c₁=0 и a₂x+b₂y+c₂=0 (прямые не параллельны).

7.5. Вычислите значения логических выражений:

а) x*x+y*y<=9 при x=1, y=-2

Ответ: да;

б) b*b-4*a*c<0 при a=2, b=1, c=-2;

в) (a>=1) и (a<=2) при a=1.5;

г) (a<1) или(a>1.2) при a=1.5;

д) (mod(a,7)=1) и (div(a,7)=1) при a=8;

е) не ((a>b) и (a<9) или (а*а=4)) при a=5, b=4.

7.6. Запишите логические выражения, истинные только при выполнении указанных условий:

а)x принадлежит отрезку [a, b]

Ответ: (x>=a) и (x<=b);

б)x лежит вне отрезка [a, b];

в)x принадлежит отрезку [a, b] или отрезку [c, d];

г)x лежит вне отрезков [a, b] и [c, d];

д)целое k является нечетным числом;

е)целое k является трехзначным числом, кратным пяти;

ж)элемент a_i,j двумерного массива находится на пересечении нечетной строки и четного столбца;

з)прямые a₁x+b₁y+c₁=0 и a₂x+b₂y+c₂=0 параллельны;

и)из чисел a, b, c меньшим является с, а большим b;

к)среди чисел a, b, c, d есть взаимно противоположные;

л)среди целых чисел a, b, c есть хотя бы два четных;

м)из отрезков с длинами a, b, c можно построить треугольник;

н)треугольники со сторонами a₁, b₁, c₁ и a₂, b₂, c₂ подобны;

о)точка с координатами (x,y) принадлежит внутренней области треугольника с вершинами A(0,5), B(5,0) и C(1,0);

п)точка с координатами (x,y) принадлежит области, внешней по отношению к треугольнику с вершинами A(0,5), B(1,0) и C(5,0);

р)четырехугольник со сторонами a, b, c и d является ромбом.

7.7. Начертите на плоскости (x,y) область, в которой и только в которой истинно указанное выражение. Границу, не принадлежащую этой области, изобразите пунктиром.

а) (x<=0) и (y>=0) Ответ:	е) ((x-2)**2+y*y<=4) и (y>x/2) Ответ:
б) (x>=0) или (y<=0) в) x+y>=0 г) (x+y>0) и (y<0) д) abs(x)+abs(y)>=1	ж) (x*x+y*y<1) и (y>x*x); з) (y>=x) и (y+x>=0) и (y<=1); и) (abs(x)<=1) и (y<2); к) (x**2+y**2<4) и (x**2+y**2>1);

7.8. Запишите логическое выражение, которое принимает значение "истина" тогда и только тогда, когда точка с координатами (x, y) принадлежит заштрихованной области.

7.9. Пусть a=3, b=5, c=7. Какие значения будут иметь эти переменные в результате выполнения последовательности операторов:

а)a:=a+1; b:=a+b; c:=a+b; a:=sqrt(a)

Решение: a=3+1=4, b=4+5=9, c=4+9=13, a= {корень квадратный из} 4 =2.

Ответ: а=2, b=9, c=13;

б)с:=a*b+2; b:=b+1; a:=c-b**2; b:=b*a;

в)b:=b+a; c:=c+b; b:=1/b*c;

г)p:=c; c:=b; b:=a; a:=p; c:=a*b*c*p;

д)c:=a**(b-3); b:=b-3; a:=(c+1)/2*b; c:=(a+b)*a;

е)x:=a; a:=b; b:=c; c:=x; a:=sqrt(a+b+c+x-2);

ж)b:=(a+c)**2; a:=lg(b**2)**2; c:=c*a*b.

7.10. Задайте с помощью операторов присваивания следующие действия:

а)массив X=(x₁, x₂) преобразовать по правилу: в качестве x₁ взять сумму, а в качестве х₂ — произведение исходных компонент;

Решение: c:=x[1]; x[1]:=x[1]+x[2]; x[2]:=c*x[2]

б) поменять местами значения элементов массива X=(x1, x2);

в) в массиве A(N) компоненту с номером i (1<i<N) заменить полусуммой исходных соседних с нею компонент, соседнюю справа компоненту заменить на нуль, а соседнюю слева компоненту увеличить на 0.5;

г) u = max(x, y, z) + min(x-z, y+z, y, z);

7.11. Задайте с помощью команд если или выбор вычисления по формулам:

a)
б)
в)	где
г)
д)
е)
ж)		если точка лежит внутри круга радиусом r (r>0) с центром в точке (a,b) в противном случае

7.12. Постройте графики функций y(x), заданных командами если:

а) если x<=-1то y:=1/x**2иначе если x<=2то y:=x*xиначе y:=4все все	в) если x<-0.5то y:=1/abs(x)иначе если x<1то y:=2иначе y:=1/(x-0.5)все все
Решение	г) если x<0то y:=1иначе если x<3.14то y:=cos(x)иначе y:=-1все все
б) если x<-5то y:=-5иначе если x<0то y:=xиначе если x<3то y:=2*xиначе y:=6все все все	д) если abs(x)>2то y:=x*xиначе если x<0то y:=-2*xиначе если x>=1то y:=4иначе y:=4*x*x все все все

7.13. Определите значение целочисленной переменной S после выполнения операторов:

а) S:=128 нц для i от 1 до 4 S:=div(S,2) кц	Решение i S   128/2=64 64/2=32 32/2=16 16/2=8 Ответ: S=8	г) S:=0нц для i от 1 до 2нц для j от 2 до 3 S:=S+i+jкц кц	Решение i j S     0+1+2=3   3+1+3=7 7+2+2=11   11+2+3=16 Ответ: S=16
б) S:=1; a:=1 нц для i от 1 до 3 S:=S+i*(i+1)*a a:=a+2 кц	д) нц для i от 1 до 3 S:=0 нц для j от 2 до 3 S:=S+i+j кц кц
в) S:=1; a:=1 нц для i от 1 до 3 S := S+i нц для j oт 2 до 3 S := S+j кц кц	е) нц для i от 1 до 2 S := 0 нц для j oт 2 до 3 нц для k oт 1 до 2 S := S+i+j+k кц кц кц

7.14. Определите значение переменной S после выполнения операторов:

а) i:=0; S:=0 нц пока i<3 i:=i+1; S:=S+i*i кц	г) S:=0; N:=125 нц пока N>0 S:=S+mod(N,10) | S — сумма цифр N:=div(N,10) | числа N кц
Решение Условие i < 3 i S   0 < 3? да 0+12=1 1 < 3? да 1+22=5 2 < 3? да 5+32=14 3 < 3? нет(кц)     Ответ: S=14	Решение Условие N > 0 S N   125 > 0? да 0+5=5 12 12 > 0? да 5+2=7 1 1 > 0? да 7+1=8 0 0 > 0? нет (кц)     Ответ: S=8
б) S:=0; i:=1 нц пока i>1 S:=S+1/i i:=i-1 кц	д) а:=1; b:=1; S:=0; нц пока a<=5 a:=a+b; b:=b+a; S:=S+a+b кц
в) S:=0; i:=1; j:=5 нц пока i<j S:=S+i*j i:=i+1 j:=j-1 кц	е) a:=1; b:=1 нц пока a+b<10 a:=a+1 b:=b+a кц S:=a+b

7.15. Составьте алгоритмы решения задач линейной структуры (условия этих задач заимствованы из учебного пособия В.М. Заварыкина, В.Г. Житомирского и М.П. Лапчика "Основы информатики и вычислительной техники", 1989):

а) в треугольнике известны три стороны a, b и c; найти (в градусах) углы этого треугольника, используя формулы:

С=180o-(А+В).

Пояснение. Обратите внимание на то, что стандартные тригонометрические функции arccos и arcsin возвращают вычисленное значение в радианной мере.

Решение:

алг Углы треугольника(арг вещ a,b,c, рез вещ UgolA,UgolB,UgolC)нач вещ RadGr,UgolARad | RadGr — коэф. перевода угла из радианной меры в градусную | UgolARad — угол A (в радианах) RadGr:=180/3.14 UgolARad:=ArcCos((b*b+c*c-a*a)/(2*b*c)) UgolA:=UgolARad*RadGr UgolB:=ArcSin(b*sin(UgolARad)/a)*RadGr UgolC:=180-(UgolA+UgolB)кон

б) в треугольнике известны две стороны a, b и угол C (в радианах) между ними; найти сторону c, углы A и B (в радианах) и площадь треугольника, используя формулы:

с² = a² + b² - 2ab cos C.

Пояснение. Сначала нужно найти сторону c , а затем остальные требуемые значения;

в) в треугольнике известны три стороны a, b и c; найти радиус описанной окружности и угол A (в градусах), используя формулы:

где

г) в правильной треугольной пирамиде известны сторона основания a и угол A (в градусах) наклона боковой грани к плоскости основания; найти объем и площадь полной поверхности пирамиды, используя формулы:

V=Socн· H/2;
где

д) в усеченном конусе известны радиусы оснований R и r и угол A (в радианах) наклона образующей к поверхности большего основания; найти объем и площадь боковой поверхности конуса, используя формулы:

где

e) в правильной четырехугольной пирамиде сторона основания равна a , а боковое ребро наклонено к плоскости основания под углом A ; найти объем и площадь полной поверхности пирамиды и площадь сечения, проходящего через вершину пирамиды и диагональ основания d ; использовать формулы:

7.16. Составьте алгоритм решения задач развлетвляющейся структуры:

а) определить, является ли треугольник с заданными сторонами a, b, c равнобедренным;

Решение:

алг Треугольник(арг вещa,b,c, рез лог Otvet)дано | a>0, b>0, c>0, a+b>c, a+c>b, b+c>aнадо| Otvet = да, если треугольник равнобедренный | Otvet = нет, если треугольник не равноведренныйнач если (a=b) или (a=c) или (b=c)то Otvet:= да иначе Otvet:= нет всекон

б) определить количество положительных чисел среди заданных чисел a, b и c;

в) меньшее из двух заданных неравных чисел увеличить вдвое, а большее оставить без изменения;

г) числа a и b — катеты одного прямоугольного треугольника, а c и d — другого; определить, являются ли эти треугольники подобными;

д) даны три точки на плоскости; определить, какая из них ближе к началу координат;

е) определить, принадлежит ли заданная точка (x, y) плоской фигуре, являющейся кольцом с центром в начале координат, с внутренним радиусом r₁ и внешним радиусом r₂ ;

ж) упорядочить по возрастанию последовательность трех чисел a, b и c.

Ответы — Раздел 7. Алгоритмы. Алгоритмизация. Алгоритмические языки

7.1.

а) (x+y)/(x-1/2)-(x-z)/(x*y);б) (1+z)*(x+y/z)/(a-1/(1+x*x));в) x**(n*(m+2)) + x**(n**m);г) (a+b)**n/(1+a/(a**m-b**(m-n)));д) (a[i]**(2*l) + b[j+1]**(2*k)) * (3**n-x*x*y)/(z-(d[i,j+1]+1)/(z+ y/sqrt(t*t+x*y*z)));е) sqrt(abs(sin(x)**2))/(3.01*x - exp(2*x));ж) abs(cos(x**3) - sin(y)**2) / (abs(ln(x))**(1/4) + x*y);з) ln(y**(-sqrt(abs(x+1)))) * sin(arctg(z))**2;и) r[i,j]**abs(x-y) - 0.15*abs(sin(exp(-z**8)));к) a**((x+y)/2) - ((x-1)/(abs(y)+1))**(1/3)*exp(-(y+u/2)).

7.2. а) ; б) ; в) ; г) ; д) ; е) ; ж) ; з) ; и) ; к) ; л) ; м) ; н) ; о) ; п) ; р) ; с) ; т) ; у) ; ф) .

7.3. б) 16; в) 5,5; г) -256; д) 3; е) -2; ж) 1.8.

7.4. б) среднее арифметическое: (a+b+c+d)/4; среднее геометрическое: (a*b*c*d)**(1/4); в) sqrt(x*x+y*y); г) sin(x*3.14/180); д) 6*a*a; е) sqrt(3)*a/2; ж) абсцисса: (c1*b2-c2*b1)/(b1*a2-b2*a1); ордината: (c2*a1-c1*a2)/(b1*a2-b2*a1).

7.5. б) нет;в) да;г) да;д) да;е) нет;

7.6.

б) (x < a) или (x > b);в) ((x>=a) и (x<=b)) или ((x>=c) и (x<=d));г) ((x < a) или (x > b)) и ((x < c) или (x > d));д) mod(k,2)=1;е) (mod(k,5)=0) и (k > 99) и (k < 1000);ж) (mod(i,2)=1) и (mod(j,2)=0);з) a1*b2=a2*b1;и) (c < a) и (b > a);к) (a=-b) или (a=-c) или (a=-d) или (b=-c) или (b=-d) или (c=-d);л) ((mod(a,2)=0) и (mod(b,2)=0)) или ((mod(a,2)=0) и (mod(c,2)=0))или ((mod(b,2)=0) и (mod(с,2)=0));м) (a>0) и (b>0) и (c>0) и (a+b>c) и (a+c>b) и (b+c>a);н) ((a1*b2=a2*b1) и (a1*c2=a2*c1)) или ((a1*c2=a2*b1) и (a1*b2=a2*c1))или ((a1*c2=b2*b1) и (a1*a2=b2*c1)) или ((a1*a2=b2*b1) и (a1*c2=b2*c1))или ((a1*a2=c2*b1) и (a1*b2=c2*c1)) или ((a1*b2=c2*b1) и (a1*a2=c2*c1));о) (y>5-5*x) и (y<5-x) и (y>0);п) (y<5-5*x)) или (y>5-x) или (y<0);р) (a=b) и (c=d) и (b=c).

7.7. б) в) г) д) ж) з) и) к)

7.8.

а) (y>=1-x) и ((y<=0) или (x<=0));б) (y<1) и (y>=x) и (y>=-x) (вариант ответа: (y<1) и (y>=abs(x)));в) (abs(x)<=1) и (abs(y)<1);г) ((x-1)*(x-1)+y*y<=4) и (y<=3-x) и (y>=x-3);д) (abs(x)<=3) и (abs(y)<=3) и (x*x+y*y>=9) и ((x>=0) или (y<=0));е) (abs(x)+abs(y)<=2) и (sign(x)<>sign(y)) или (x*x+y*y<=4) и ((y>=2-x) или (y<=-x-2));ж) ((y>=x*x) или (y<=-x*x)) и ((x>=y*y) или (x<=-y*y));з) (((x+2)*(x+2)+y*y<=4) и ((x+2)*(x+2)+y*y>=1)) или (x>=-1);и) (((y<=0)=(y>=-x)) или ((x>=0)=(y>=x))) и (x*x+y*y<=1).

7.9. б) a=-19; b=-114; c=17; в) a=3; b=1,875; c=15; г) a=7; b=3; c=735; д) a=10; b=2; c=120; е) a=4; b=7; c=3; ж) a=16; b=100, c=11200.

7.10. б) c:=x[1]; x[1]:=x[2]; x[2]:=c; в) a[i]:=(a[i-1]+a[i+1])/2; a[i+1]:=0; a[i-1]:=a[i-1]+0.5; г) u:=max(max(x, y), z) + min(min(x-z,y+z), min(y,z)).

7.11.

а) если x <= -100 б) если x*x+y*y <= 1 то y:=sign(x)*abs(x)**(1/7) то z:=x*x+y*y иначе если x < 100 иначе если y>=x то y:=sign(x)*abs(x)**(1/3) то z:=x+y иначе y:=sqrt(x) иначе z:=0.5 все все все все в) если x < 0 г) выбор то z:=lg(-x) при с=0 : z:=1 иначе z:=sqrt(x+1) при с=1 : z:=x все при с=2 : z:=3*x*x - 1/2 если z>=0 при с=3 : z:=x*x*x - 3*x/2 то F:=2*z+1 иначе z:=2*x**4 - 3*x/2 иначе F:=sin(z) все все д) если abs(x)+abs(y) < r е) если x>1 то z:=sqrt(x*x+y*y) то если y>1 иначе z:=max(abs(x), abs(y)) то v:=x+y все иначе v:=x-y всеж) если (x-a)**2 +(y-b)**2 < r*r иначе если y>0 то z:=abs(x)+abs(y) то v:=y-x иначе z:=x+y иначе v:=-x-y все все все

7.12. б) в) г) д)

7.13. б) 81; в) 21; д) 11; е) 44.

7.14. б) 0; в) 13; д) 52; е) 14.

7.15.

б) алг Треугольник1(арг вещ a,b,UgolC, рез вещ c, UgolA, UgolB, S) нач ввод a, b, UgolC c:=sqrt(a*a+b*b-2*a*b*cos(UgolC)) UgolA:=arcsin(a*sin(UgolC)/c) UgolB:=arcsin(b*sin(UgolC)/c) S:=b*c*sin(UgolA)/2 вывод c, UgolA, UgolB, S кон в) алг Треугольник2(арг вещ a,b,c, рез вещ Radius,UgolA) нач вещ p ввод a,b,c p:=(a+b+c)/2 UgolA:=2*arctg(sqrt((p-b)*(p-c)/(p*(p-a))))*180/3.14 Radius:=a*b*c/(4*sqrt(p*(p-a)*(p-b)*(p-c))) вывод Radius, UgolA кон г) алг Объем и Площадь Пирамиды(арг вещ a,UgolAGrad, рез вещ V, S) нач вещ H,SBase,UgolARad | H - высота пирамиды; SBase - площадь основания ввод a,UgolAGrad UgolARad:=UgolAGrad*3.14/180 SBase:=a*a*sqrt(3)/4 H:=a*sqrt(3)/6*tg(UgolARad) V:=SBase*H/3 S:=SBase*(1+1/cos(UgolARad)) вывод V, S кон д) алг Объем и Площадь конуса(арг вещ RBig,RSmall,Ugol, рез вещ V, S) нач вещ H,L ввод RBig,RSmall,Ugol H:=(RBig-RSmall)*tg(Ugol) L:=(RBig-RadSmall)/cos(Ugol) V:=1/3*3.14*H*(RSmall**2 + RBig**2 + RSmall*RBig) S:=3.14*L*(RBig+RSmall) вывод V, S кон е) алг Параметры пирамиды (арг вещ a,UgolA, рез вещ V, S, Sесtion) нач вещ H ввод a,UgolA H:=a*sqrt(2)/2*tg(UgolA) V:=1/3*a*a*H Sесtion:=a*H*sqrt(2)/2 S:=a*a*(1+sqrt(2*tg(UgolA)**2+1)) вывод V, S, Sесtion кон

7.16.