Позиционные системы счисления
Для изображения (или представления) чисел в настоящее время используются в основном позиционные системы счисления. Привычной для всех является десятичная система счисления. В этой системе для записи любых чисел используется только десять разных знаков (цифр): 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9. Эти цифры введены для обозначения первых десяти последовательных чисел, а следующее число 10 и т.д. обозначается уже без использования новых цифр. Однако введением этого обозначения сделан важный шаг в построении системы счисления: значение каждой цифры поставлено в зависимость от того места, где она стоит в изображении числа.
Таким образом, система называется позиционной, если значение каждой цифры (ее вес) изменяется в зависимости от ее положения (позиции) в последовательности цифр, изображающих число.
Десятичная запись любого числа X в виде последовательности цифр:
| anan-1...a1a0a-1...a-m... | (2.1) |
основана на представлении этого числа в виде полинома:
| X=an10n+an-110n-1+...+a1101+a0100+a-110-1+...+a-m10-m+..., | (2.2) |
где каждый коэффициент ai может быть одним из чисел, для обозначения которых введены специальные знаки. Запись числа X в виде (2.1) представляет собой просто перечисление коэффициентов полинома (2.2). Точка, отделяющая целую часть числа от дробной, служит для фиксации конкретных значений каждой позиции в этой последовательности цифр и является началом отсчета.
Число K единиц какого-либо разряда, объединяемых в единицу более старшего разряда, называют основанием позиционной системы счисления, а сама система счисления называется K-ичной. Например, основанием десятичной системы счисления является число 10; двоичной – число 2; троичной – число 3 и т.д. Для записи произвольного числа в K-ичной системе счисления достаточно иметь K разных цифр ai, i=1, 2, …, K. Например, в троичной системе счисления любое число может быть выражено посредством цифр 0, 1, 2. Эти цифры служат для обозначения некоторых различных целых чисел, называемых базисными.
Числа можно записать как суммы степеней не только числа 10, но и любого другого натурального числа, большего 1. Например, в Древнем Вавилоне использовалась система счисления с основанием 60. Деление часа на 60 минут, а минуты на 60 секунд заимствовано именно из этой системы. А то, что человечество выбрало в качестве основания системы счисления число 10, вероятно, связано с тем, что природа наделила людей десятью пальцами.
Запись произвольного числа X в K-ичной позиционной системе счисления основывается на представлении этого числа в виде полинома:
| X=anKnan-1Kn-1+...+a1K+a0K0+a-1K-1+...+a-mK-m+..., | (2.3) |
где каждый коэффициент ai может быть одним из базисных чисел и изображается одной цифрой. Как и в десятичной системе счисления, число X, представленное в K-ичной системе счисления, можно кратко записать в виде (2.1) путем перечисления всех коэффициентов полинома (2.3) с указанием позиционной точки. Последовательность цифр, стоящая в (2.1), является изображением числа X в K-ичной системе счисления. Базисные числа должны быть выбраны так, чтобы любое число X могло быть представлено в виде полинома (2.3). Обычно в качестве базисных чисел берутся целые числа от 0 до K-1 включительно.
Все известные позиционные системы счисления являются аддитивно-мультипликативными. Особенно отчетливо аддитивно-мультипликативный способ образования чисел из базисных выражен в числительных русского языка, например пятьсот шестьдесят восемь (то есть пять сотен плюс шесть десятков плюс восемь).
Арифметические действия над числами в любой позиционной системе счисления производятся по тем же правилам, что и в десятичной системе, так как все они основываются на правилах выполнения действий над соответствующими полиномами. При этом нужно только пользоваться теми таблицами сложения и умножения, которые имеют место при данном основании K системы счисления.
Отметим, что во всех позиционных системах счисления с любым основанием K умножения на числа вида Km, где m – целое число, сводится просто к перенесению запятой у множимого на m разрядов вправо или влево (в зависимости от знака m), так же как и в десятичной системе.
Для указания того, в какой системе счисления записано число, условимся при его изображении основание системы счисления указывать в виде нижнего индекса, например, 35.648.