Вперед 4 (Акробат прыгает вперед на 4 единицы)

Прибавь 3,

Вычти 2.

Первая из них увеличивает число на экране на 3, вторая – уменьшает его на 2 (отрицательные числа допускаются).

Программа для Калькулятора – это последовательность команд. Сколько различных чисел можно получить из числа 1 с помощью программы, которая содержит ровно 5 команд?

Решение (1 способ, построение полного графа решения):

1) будем строить дерево решений следующим образом: выясним, какое число можно получить из начального значения 1 за 1 шаг:

2) теперь посмотрим, что удается получить за 2 шага; учитывая, что (-2+3)=(+3-2), одно из значений повторяется: мы можем получить -1 + 3 = 2 и 4 – 2 = 2, то есть получается не дерево, а граф:

так с помощью программ, содержащих ровно 2 команды, можно получить 3 различных числа

3) строим еще уровень: программы из 3-х команд дают 4 разных числа:

обратим внимание, что числа на каждом уровне отличаются друг от друга на 5 =(+3-(-2), то есть они не могут повторяться

4) четвертый уровень дает 5 различных чисел:

5) и пятый – 6 решений:

6) Ответ: 6.

Решение (2 способ, краткий):

1) как следует из приведенных построений, если система команд исполнителя состоит из двух команд сложения/ вычитания, то все возможные программы, содержащие ровно N команд , дают N+1 различных чисел

2) Ответ: 6.

Решение (3 способ, Л.В. Зенцова, лицей № 36 ОАО "РЖД" г.Иркутска):

1) для сложения справедлив переместительный (коммутативный) закон, значит, порядок команд в программе не имеет значения

2) поэтому существует всего 6 возможных программ, состоящих ровно из 5 команд (с точностью до перестановки):
11111
11112
11122
11222
12222
22222

3) Ответ: 6.

Ещё пример задания:

У исполнителя Калькулятор две команды:

Прибавь 1

Умножь на 2.

Первая из них увеличивает число на экране на 1, вторая – удваивает его.

Программа для Калькулятора – это последовательность команд. Сколько различных чисел можно получить из числа 2 с помощью программы, которая содержит ровно 4 команд?

Решение (1 способ, построение полного графа решения):

1) будем строить дерево решений следующим образом: выясним, какое число можно получить из начального значения 1 за 1 шаг:

2) теперь посмотрим, что удается получить за 2 шага:

в отличие от предыдущей задачи, здесь порядок выполнения операций влияет на результат, поэтому пока все числа получаются разные

3) делаем 3-й шаг, получаем 8 разных чисел:

4) на 4-ом шаге рассматриваем все возможные программы из 4-х команд, получаем числа

6, 10, 9, 16, 8, 14, 13, 24, 7, 12, 11, 20, 10, 18, 17, 32

5) здесь всего 16 чисел, но одно из них (10) повторяется 2 раза, а остальные встречаются по 1 разу, поэтому получаем 15 различных чисел

6) Ответ: 15.

Ещё пример задания (ege.yandex.ru):

У исполнителя Калькулятор две команды:

Прибавь 6

Вычти 3.

Первая из них увеличивает число на экране на 6, вторая – уменьшает на 3. Если в ходе вычислений появляется отрицательное число, он выходит из строя и стирает написанное на экране.

Программа для Калькулятора – это последовательность команд. Сколько различных чисел можно получить из числа 1 с помощью программы, которая содержит ровно 10 команд?

Решение:

1) особенность этой задачи – у дополнении к условию: «Если в ходе вычислений появляется отрицательное число, он выходит из строя и стирает написанное на экране»

2) сначала решим задачу без этого ограничения; поскольку две команды 1 и 2 можно переставлять (последовательное применение команд 1 и 2 дает тот же результат, что и последовательное применение команд 2 и 1), количество различных чисел, которые можно получить с помощью программы из N = 10 команд равно N+1 = 11 (см. разборы задач, приведенные выше)

3) проблема в том, что из этих 11 чисел нужно выбросить все отрицательные, так как при появлении отрицательного числа исполнитель выходит из строя

4) минимальное число получается, если применить к начальному числу 10 команд 2:

1 – 10·3 = –29

5) соседние числа в дереве (см. выше) отличаются на 6 – (–3) = 9, поэтому эти 11 чисел

–29 –20 –11 –2 7 16 25 34 43 52 61

6) из них только 7 чисел положительные

7) Ответ: 7.

Решение (2 способ):

1) заметим, что поскольку две команды 1 и 2 можно переставлять (последовательное применение команд 1 и 2 дает тот же результат, что и последовательное применение команд 2 и 1), количество различных чисел, которые можно получить с помощью программы из N = 10 команд равно N+1 = 11 (см. разборы задач, приведенные выше)

2) разница между соседними числами равна (+6)-(-3)=9 (команды «+6» и «-3»)

3) начальное число – 1, наибольшее число можно получить, применив 10 команд увеличения на 6; получается число

1 + 10·6 = 61

4) строим ряд чисел – арифметическую прогрессию с разностью (–9):

61 52 43 34 25 16 7 …

все остальные значения отрицательные

5) таким образом, можно получить только 7 положительных чисел

6) это значение можно посчитать сразу, не выписывая все числа; ответим на вопрос «Сколько раз можно отнять 9 от числа 61, чтобы получить первое отрицательное число» – получим 7, так как 61 – 9·7 = –2

7) Ответ: 7.

Решение (3 способ, неравенство, А.А. Серокурова, лицей №6, г. Тольятти):

1) по условию программа содержит только операции сложения («+6») и вычитания («-3»), которые можно переставлять, не меняя результат

2) поэтому число, получаемое в результате выполнения некоторой программы из числа 1, можно представить в виде

где – количество команд «+6», а – количество команд «-3»

3) поскольку по условию всего в программе 10 команд, получаем , что дает

4) нам требуется определить, сколько неотрицательных чисел может быть получено таким образом, поэтому получаем неравенство

5) решая последнее неравенство, получаем

6) поскольку – целое число, получаем

7) с другой стороны, количество команд «-3» не может быть меньше нуля, поэтому

8) очевидно, что в этом диапазоне находятся 7 значений (от 0 до 6 включительно), что позволяет получить 7 различных неотрицательных чисел

9) Ответ: 7.

Ещё пример задания:

У исполнителя Акробат три команды:

Вверх

Влево

Вправо

При выполнении этих команд Акробат перемещается на одну клетку, соответственно вверх, влево или вправо. Программа для Акробата – это последовательность команд. Он находится в центре поля. После выполнения программы исполнитель оказывается в какой-то клетке поля. Сколько таких клеток на поле, в которых может оказаться Акробат после выполнения различных программ, состоящих из четырех команд.

Решение (1 способ, уравнение, перебор):

1) Акробат перемещается по клетчатой доске, поэтому можно рассматривать его движение как изменение координат по осям X и Y

2) пусть – количество команд «влево», – количество команд «вправо» и - количество команд «вверх». Тогда изменения координат вычисляются как

3) В программе 4 команды, поэтому

4) поскольку перемещение Акробата по оси Y определяется только значением , можно зафиксировать (предположить, что оно равно какому-то числу) и при этих условиях найти, сколько есть таких клеток, в которые Акробат может попасть при этом ; затем останется сложить все результаты для всех возможных значений

5) пусть , тогда и ; при этом получаем изменение координаты по оси Х:

6) при условии, что возможно 5 разных допустимых целых значений , каждое из которых даёт своё значение ; поэтому при есть 5 таких клеток

7) аналогично находим, что при существует 4 клетки, при есть 3 клетки и т.д.; увеличение на 1 приводит к уменьшению числа достижимых клеток на 1; при остается одна единственная клетка;

8) складываем: 5 + 4 + 3 + 2 + 1 = 15.

9) Ответ: 15.

10) в общем виде: если программа для Акробата содержит команд, то число достижимых клеток равно (по формуле суммы членов арифметической прогрессии):

Задачи для тренировки[1]:

1) У исполнителя Калькулятор две команды:

Прибавь 2

Прибавь 3.

Первая из них увеличивает число на экране на 2, вторая – на 3. Сколько различных чисел можно получить из числа 2 с помощью программы, которая содержит ровно 10 команд?

2) У исполнителя Калькулятор две команды:

Прибавь 1

Прибавь 2.

Первая из них увеличивает число на экране на 1, вторая – на 2. Сколько различных чисел можно получить из числа 2 с помощью программы, которая содержит не более 4 команд?

3) У исполнителя Калькулятор две команды:

Прибавь 2

Умножь на 3.

Первая из них увеличивает число на экране на 2, вторая – утраивает его. Сколько различных чисел можно получить из числа 2 с помощью программы, которая содержит ровно 3 команды?

4) У исполнителя Калькулятор две команды:

Прибавь 2

Умножь на 3.

Первая из них увеличивает число на экране на 2, вторая – утраивает его. Сколько различных чисел можно получить из числа 2 с помощью программы, которая содержит не более 4 команд?

5) У исполнителя Калькулятор две команды:

Прибавь 1

Прибавь 4.

Первая из них увеличивает число на экране на 1, вторая – на 4. Сколько различных чисел можно получить из числа 2 с помощью программы, которая содержит не более 3 команд?

6) У исполнителя Калькулятор две команды:

Умножь на 2

Умножь на 3.

Первая из них умножает число на экране на 2, вторая – утраивает его. Сколько различных чисел можно получить из числа 2 с помощью программы, которая содержит ровно 3 команды?

7) У исполнителя Калькулятор две команды:

Умножь на 2

Умножь на 3.

Первая из них умножает число на экране на 2, вторая – утраивает его. Сколько различных чисел можно получить из числа 2 с помощью программы, которая содержит не более 3 команд?

8) У исполнителя Калькулятор две команды:

Прибавь 4,

Вычти 3.

Первая из них увеличивает число на экране на 4, вторая – уменьшает его на 3 (отрицательные числа допускаются). Программа для Калькулятора – это последовательность команд. Сколько

различных чисел можно получить из числа 1 с помощью программы, которая содержит ровно 7 команд?

9) У исполнителя Калькулятор две команды:

Прибавь 4,

Вычти 3.

Первая из них увеличивает число на экране на 4, вторая – уменьшает его на 3. Если в ходе вычислений появляется отрицательное число, он выходит из строя и стирает написанное на экране. Программа для Калькулятора – это последовательность команд. Сколько различных чисел можно получить из числа 0 с помощью программы, которая содержит ровно 17 команд?

10) У исполнителя Калькулятор две команды:

Прибавь 2,

Вычти 4.

Первая из них увеличивает число на экране на 2, вторая – уменьшает его на 4. Если в ходе вычислений появляется отрицательное число, он выходит из строя и стирает написанное на экране. Программа для Калькулятора – это последовательность команд. Сколько различных чисел можно получить из числа 5 с помощью программы, которая содержит ровно 20 команд?

11) У исполнителя Калькулятор две команды:

Прибавь 3,

Вычти 2.

Первая из них увеличивает число на экране на 3, вторая – уменьшает его на 2. Если в ходе вычислений появляется отрицательное число, он выходит из строя и стирает написанное на экране. Программа для Калькулятора – это последовательность команд. Сколько различных чисел можно получить из числа 2 с помощью программы, которая содержит ровно 18 команд?

12) У исполнителя Калькулятор две команды:

Прибавь 5,

Вычти 3.

Первая из них увеличивает число на экране на 5, вторая – уменьшает его на 3. Если в ходе вычислений появляется отрицательное число, он выходит из строя и стирает написанное на экране. Программа для Калькулятора – это последовательность команд. Сколько различных чисел можно получить из числа 4 с помощью программы, которая содержит ровно 30 команд?

13) У исполнителя Калькулятор две команды:

Прибавь 3,

Вычти 4.

Первая из них увеличивает число на экране на 3, вторая – уменьшает его на 4. Если в ходе вычислений появляется отрицательное число, он выходит из строя и стирает написанное на экране. Программа для Калькулятора – это последовательность команд. Сколько различных чисел можно получить из числа 5 с помощью программы, которая содержит ровно 15 команд?

14) У исполнителя Калькулятор две команды:

Прибавь 3,

Вычти 2.

Первая из них увеличивает число на экране на 3, вторая – уменьшает его на 2. Если в ходе вычислений появляется отрицательное число, он выходит из строя и стирает написанное на экране. Программа для Калькулятора – это последовательность команд. Сколько различных чисел можно получить из числа 3 с помощью программы, которая содержит ровно 25 команд?

15) У исполнителя Калькулятор две команды:

Прибавь 4,

Вычти 2.

Первая из них увеличивает число на экране на 4, вторая – уменьшает его на 2. Если в ходе вычислений появляется отрицательное число, он выходит из строя и стирает написанное на экране. Программа для Калькулятора – это последовательность команд. Сколько различных чисел можно получить из числа 8 с помощью программы, которая содержит ровно 16 команд?

16) У исполнителя Калькулятор две команды:

Умножь на 6,

Подели на 2.

Первая из них увеличивает число на экране в 6 раз, вторая – уменьшает его в 2 раза. Программа для Калькулятора – это последовательность команд. Сколько различных чисел можно получить из числа 512 с помощью программы, которая содержит ровно 6 команд?

17) У исполнителя Калькулятор две команды:

Умножь на 15,

Подели на 2.

Первая из них увеличивает число на экране в 15 раз, вторая – уменьшает его в 2 раза. Программа для Калькулятора – это последовательность команд. Сколько различных чисел можно получить из числа 4096 с помощью программы, которая содержит ровно 12 команд?

18) У исполнителя Калькулятор две команды:

Умножь на 8,

Подели на 3.

Первая из них увеличивает число на экране в 8 раз, вторая – уменьшает его в 3 раза. Программа для Калькулятора – это последовательность команд. Сколько различных чисел можно получить из числа 729 с помощью программы, которая содержит ровно 6 команд?

19) У исполнителя Акробат три команды:

Вверх

Вниз

Влево

Вправо

При выполнении этих команд Акробат перемещается на одну клетку, соответственно вверх, вниз, влево или вправо. Программа для Акробата – это последовательность команд. Он находится в центре поля. После выполнения программы исполнитель оказывается в какой-то клетке поля. Сколько таких клеток на поле, в которых может оказаться Акробат после выполнения различных программ, состоящих из четырех команд.

20) Исполнитель Акробат «живет» на числовой оси. Система команд исполнителя:

Вперед 4 (Акробат прыгает вперед на 4 единицы)