Определение.Для характеристики островершинности и плосковершинности распределения используется величина, называемая эксцессом

Кроме рассмотренных величин используются также так называемые абсолютные моменты:

Абсолютный начальный момент: .

Абсолютный центральный момент: .

Абсолютный центральный момент первого порядка называется средним арифметическим отклонением.

№ 16. Нормально распределение Н.С.В.

Нормальное распределение,^[1][2] также называемое распределением Гаусса — распределение вероятностей, которое в одномерном случае задается функцией плотности вероятности, совпадающей сфункцией Гаусса:

где параметр μ — математическое ожидание, медиана и мода распределения, а параметр σ —стандартное отклонение (σ² — дисперсия) распределения.

Таким образом, одномерное нормальное распределение является двухпараметрическим семейством распределений. Многомерный случай описан в многомерном нормальном распределении.

Стандартным нормальным распределением называется нормальное распределение с математическим ожиданием μ = 0 и стандартным отклонением σ = 1.

Случайная непрерывная величина X имеет нормальное (гауссово) распределение, если ее плотность распределения вероятности имеет вид

где — среднее квадратическое отклонение; а — математическое ожидание.

Если а=0 и σ=1, то нормальное (гауссовое) распределение называется стандартным нормальным (гауссовым) распределением (таблица плотности вероятности нормальной случайной величины), плотность которого равна

а функция распределения (функция Лапласа) (таблица функции Лапласа)

Вероятность попадания в заданный интервал (α;β) нормально распределенной случайной величины с параметрами а, σ вычисляется по формуле:

с использованием интеграла вероятности

P(α<x<β)=F(α)-F(β)=Ф(	β-a	)
σ

-Ф(	α-a	)
σ

Из этих соотношений легко получить вероятность отклонения распределения случайной величины X от своего математического ожидания а:

P(|X-a|<δ)=2Ф(	δ	)
σ

,где δ — величина отклонения.

Полагая в этой формуле δ=3σ, получаем

P(|X-a|<δ)=2Ф(3)=2*0.49865=0.9973

Этот результат носит название «правило трех сигм». Таким образом, в 99,7% случаях все значения нормального распределения случайной величины сосредоточены в интервале (-3σ+a; 3σ+a). Распределение, заданное на бесконечном интервале, может быть рассмотрено на конечном интервале, и погрешность при такой замене равно ,примерно, 0,3%.

Пример 1

На станке изготавливается некоторая деталь. Ее длина представляет собой случайную величину, распределенную по нормальному закону, и имеет среднее значение 20 см и среднее квадратическое отклонение 0,3 см. Найти вероятность того, что длина детали будет заключена между 19,7 см и 20,3 см.

Решение.

P(19.7<x<20.3)=Ф(	20.3-20	)
0.3

-Ф(	19.7-20	)=Ф(1)-Ф(-1)
0.3

В силу нечетности функции Ф(х):

P(19.7<x<20.3)=Ф(1)+Ф(1)=2Ф(1) Из таблицы функции Лапласа получаем:

Ф(1) =0,3413. Следовательно, Р(19,7<х<20,3)=2Ф(1) = 0,6826.

Пример 2

Определить среднеквадратическое отклонение показаний прибора, если систематических ошибок он не имеет, а случайные ошибки распределены по нормальному закону и с вероятностью 0,79 не выходят за пределы ±20 мм.

Решение.

Пусть случайная величина X — ошибка показаний прибора.

Из условия задачи следует, что Р(|Х|<20)=0,79. Из формулы

P(|X-a|<δ)=2Ф(	δ	)
σ

получим

2Ф(	δ	)=0.79
σ

⇒Ф(	δ	)=0.395
σ

по таблицы функции Лапласа находим

	δ	=1.25
σ

откуда, подставляя δ=20, найдем