Римеры математических моделей в химии, биологии, экологии, экономике.

Примеров математических моделей в различных науках достаточно много. Приведем лишь некоторые из них.

Пример 1. Модель клеточного автомата (игра «Жизнь»).

Игра «Жизнь» (англ. Conway's Game of Life) - клеточный автомат, приду­манный английским математиком Джоном Конвеем в 1970 г. Джон Конвей заин­тересовался проблемой, предложенной в 1940-х годах известным математиком Джоном фон Нейманом, попытавшимся создать гипотетическую машину, которая может воспроизводить сама себя. Джону фон Нейману удалось создать математи­ческую модель такой машины с очень сложными правилами. Конвей попытался упростить идеи Неймана и создал правила игры «Жизнь». Данная игра относится к категории моделирующих, которые имитируют процессы, происходящие в реаль­ной жизни. Основная идея игры состоит в том, чтобы, начав с какого-нибудь про­стого расположения живых клеток, проследить за эволюцией исходной позиции.

Место действия этой игры - «вселенная»: размеченная на клетки поверх­ность, безграничная, ограниченная (замкнутая). Каждая клетка на этой поверхно­сти может находиться в двух состояниях: быть живой или быть мертвой (пустой). Клетка имеет восемь соседей (окрестность Мура). Распределение живых клеток в начале игры называется первым поколением. Каждое следующее поколение рас­считывается на основе предыдущего по правилам (генетические законы Конвея):

а) мертвая клетка рядом с тремя живыми клетками-соседями оживает;

б) если у живой клетки есть две или три живые соседки, то эта клетка про­должает жить; в противном случае (если соседей меньше двух или больше трех) клетка умирает (от «одиночества» или от «перенаселенности»).

Игрок не принимает прямого участия в игре, а лишь расставляет «живые» клетки, которые взаимодействуют согласно правилам уже без его участия. Вскоре после опубликования правил, было обнаружено несколько интересных шаблонов (вариантов расстановки живых клеток в первом поколении), в частности глайдер (рис. 2).

Рис. 2. Глайдер

Некоторые такие фигуры остаются неизменными во всех последующих по­колениях, состояние других периодически повторяется, в некоторых случаях со смещением всей фигуры. Существует фигура (Diehard) всего из семи живых кле­ток, потомки которой существуют в течение 130 поколений, а затем исчезают.

Конвей первоначально предположил, что никакая начальная комбинация не может привести к неограниченному размножению, и предложил премию в 50 долларов ларов тому, кто докажет или опровергает эту гипотезу. Приз был получен группой из Массачусетского технологического института, придумавшей неподвижную повторяющуюся фигуру, которая периодически создавала движущиеся «глайдеры». Таким образом, количество живых клеток могло расти неограниченно. Затем были найдены движущиеся фигуры, оставляющие за собой следы из других фигур.

Классификация фигур:

• устойчивые, которые остаются неизменными;
• периодические, у которых состояние повторяется через некоторое число поколений;
• двигающиеся, у которых состояние повторяется, но с некоторым смеще­нием;
• ружья - фигуры, у которых состояние повторяется, но дополнительно по­является двигающаяся фигура;
• паровозы - двигающиеся фигуры, которые оставляют за собой следы в ви­де устойчивых или периодических фигур;
• пожиратели - устойчивые фигуры, которые могут пережить столкновения с некоторыми двигающимися фигурами;

В Интернете имеется достаточно много ресурсов, посвященных игре «Жизнь». Так, например, достаточно подробную информацию о ней (правила, статьи, моделирующие программы) можно найти на сайте http://www.sinisha.ru/life.html. По ссылке http://famlife.narod.m/cells.html можно пе­рейти на интерактивный математический симулятор данной игры.

Хотя игра состоит всего из двух простейших правил, она уже полвека при­влекает внимание ученых. «Жизнь» оказала определенное влияние на развитие многих разделов математики и информатики:

• теория автоматов;
• теория алгоритмов;
• теория игр;
• алгебра и теория чисел;
• теория вероятностей;
• комбинаторика и теория графов;
• фрактальная геометрия;
• вычислительная математика.

Кроме того, многие закономерности, обнаруженные в этой игре, имеют свои аналогии в других, подчас совершенно «нематематических» дисциплинах:

• кибернетика - сама игра является удачной попыткой Конвея доказать су­ществование простых самовоспроизводящихся систем;
• биология - в игре проявляется внешнее сходство с развитием популяций примитивных организмов;
• физиология - рождение и смерть клеток аналогичны процессу возникнове­ния и исчезновения нейронных импульсов, которые и формируют процесс мыш­ления, а также аналогичны созданию импульсов в нервной системе многоклеточ­ных организмов;

• астрономия - эволюции некоторых сложных колоний удивительным обра­зом схематично повторяют этапы развития спиралевидных галактик;
• физика твердого тела - теория автоматов вообще и игра «Жизнь» в частно­сти используются для анализа «явлений переноса» (диффузия, вязкость и др.);
• квантовая физика - поведение «жизненных» ячеек (рождение новых и вза­имное уничтожение) во многом напоминает процессы, происходящие при стол­кновении элементарных частиц;
• наномеханика - стационарные и пульсирующие колонии являются показа­тельным примером простейших устройств, созданных на основе нанотехнологий;
• социология — процессы доминации, вытеснения, поглощения, сосущество­вания, слияния и уничтожения популяций во многих аспектах схожи с явлениями, происходящими при взаимодействии больших, средних и малых социальных групп;
• философия - приведенный список примеров снова наводит на мысль, что все во Вселенной развивается по одним и тем же нескольким фундаментальным законам, пока еще непознанными человеком;

Пример 2. Задача на смеси.

В сосуде, объем которого равен Vo л, содержится р%-ный раствор соли. Из сосуда выливается а л смеси и доливается а л воды, после чего раствор перемеши­вается. Эта процедура повторяется n раз. Спрашивается, по какому закону меняет­ся концентрация соли в сосуде, т. е. какова будет концентрация соли после n про­цедур?

Решение. Первоначальное количество соли в растворе равно р/100*V₀.

После того как отлили а л смеси, в растворе осталось р/100 х Vo - р/100 * а = р/100 *Vo (1 - a/Vo) соли, а ее концентрация после добавления а л воды стала равной c₁= р/100*(1 - a/V₀). После того как отлили еще а л смеси (но уже с концентрацией c₁), в растворе осталось соли 1/100*V₀ (1 - a/V₀) – c₁ a = р/100*V₀ (1 - a/V₀)², а ее концентрация после добавления а л воды стала равной сг - р/100*(1 - a/Vo)². Нет надобности еще раз проделывать ту же процедуру, чтобы убедиться, что концентрация соли в растворе после n переливаний определяется формулой c_n=р/100*(1 - a/Vo)ⁿ.

Пример 3. Модель популяции в условиях сбора урожая.

Рассмотрим популяцию рыб, из которой в текущий момент времен изымает­ся часть популяции («сбор урожая»).

Решение. Модель имеет вид: Xj+1 = xj + axj - kxi, Xo = с, где a - коэффициент прироста популяции рыб; к - коэффициент сбора урожая (скорость изъятия особей).

Пример 4. Модель влияния факторов роста на урожайность.

Пусть у_max - максимально возможная (наблюдавшаяся) урожайность некото­рой сельхозкультуры, y(x(t)) - действительно получаемый урожай к моменту вре­мени t, у=у(х), х - доля фактора роста, например, при орошении, х = x(t).

Решение. Модель роста урожайности y(t) в зависимости от фактора роста ^х(*)> й = У(хО, xj = x(ti): yi+i = y_i+k(y_max- у_i), где у(0) = у₀- заданное начальное зна­чение урожая.

Пример 5. Задача на рост производительности.

1. Выработка продукции за первый год работы предприятия возросла на р %, а за следующий год по сравнению с первоначальной она возросла на 10 % больше, чем за первый год. Определить, на сколько процентов увеличилась выработка за первый год, если известно, что за два года она увеличилась в общей сложности на 48, 59 %?

Решение. За первый год выработка возросла в (1 + р/100) раз по сравнению с первоначальной, за второй год - в (1 + (р + 10)/100)раз по сравнению с началом второго года и в (1 + р/100)(1 + (р + 10)/100) по сравнению с первоначальной и со­ставила 1,4859: (1 + р/100)(1 + (р + 10)/100) = 1,4859.

Отсюда р= 17%.

Все указанные модели могут подвергаться уточнению и модификации.