Перевод числа из двоичной (восьмеричной, шестнадцатеричной) системы в десятичную

При переводе числа из двоичной (восьмеричной, шестнадцатеричной) системы в десятичную надо это число представить в виде суммы степеней основания его системы счисления.

a. из двоичной

1011012=1∙25+0∙24+1∙23+1∙22+0∙21+1∙20=32+0+8+4+0+1=4410

110111012=1∙27+1∙26+0∙25+1∙24+1∙23+1∙22+0∙21+1∙20=128+64+0+16+8+4+0+1=22110

0,11012=1∙2-1+1∙2-2+0∙2-3+1∙2-4=0,5+0,25+0+0,0625=0,812510

b. из восьмеричной

138=1∙81+3∙80=1110

71458=7∙83+1∙82+4∙81+5∙80=7∙512+64+32+5=368510

c. из шестнадцатеричной

1316=1∙161+3∙160=16+3=1910

DAEF16=13∙163+10∙162+14∙161+15∙160=13∙4096+10∙256+14∙16+15=5604710

0,D8D16=13∙16-1+8∙16-2+13∙16-3=13∙0,062500+8∙0,003906+13∙0,000244=0,846920010=0,8469210

Перевод из двоичной системы счисления в шестнадцатеричную и обратно.

а) исходное число разбивается на тетрады (т.е. 4 цифры), начиная с младших разрядов. Если количество цифр исходного двоичного числа не кратно 4, оно дополняется слева незначащими нулями до достижения кратности 4;

б) каждая тетрада заменятся соответствующей шестнадцатеричной цифрой в соответствии с таблицей.

  1. Выполнить перевод числа 100112 в шестнадцатеричную систему счисления

Поскольку в исходном двоичном числе количество цифр не кратно 4, дополняем его слева незначащими нулями до достижения кратности 4 числа цифр. Имеем:

Перевод числа из двоичной (восьмеричной, шестнадцатеричной) системы в десятичную - student2.ru

Перевод числа из двоичной (восьмеричной, шестнадцатеричной) системы в десятичную - student2.ru 00112=(112)=316

100112=1316

00012=(12)=116

  1. Выполнить перевод числа 101100102 в шестнадцатеричную систему счисления

Перевод числа из двоичной (восьмеричной, шестнадцатеричной) системы в десятичную - student2.ru 1011|00102

 
  Перевод числа из двоичной (восьмеричной, шестнадцатеричной) системы в десятичную - student2.ru

Перевод числа из двоичной (восьмеричной, шестнадцатеричной) системы в десятичную - student2.ru 10112=B16

101100102=B216

00102=216

  1. Выполнить перевод числа 0,00101012 в шестнадцатеричную систему счисления

Перевод числа из двоичной (восьмеричной, шестнадцатеричной) системы в десятичную - student2.ru

Перевод числа из двоичной (восьмеричной, шестнадцатеричной) системы в десятичную - student2.ru 00102=102=216

0,00101012=0,2A16

10102=A16

Перевод из шестнадцатеричной системы счисления в двоичную:

а) каждая цифра исходного числа заменяется тетрадой двоичных цифр в соответствии с таблицей. Если в таблице двоичное число имеет менее 4 цифр, оно дополняется слева незначащими нулями до тетрады;

б) незначащие нули в результирующем числе отбрасываются.


  1. Выполнить перевод числа 1316 в двоичную систему счисления

Перевод числа из двоичной (восьмеричной, шестнадцатеричной) системы в десятичную - student2.ru 116 = 12 = 00012;

Перевод числа из двоичной (восьмеричной, шестнадцатеричной) системы в десятичную - student2.ru 316 = 112 = 00112.

1316 = 0001|00112.

После удаления незначащих нулей имеем 1316 = 100112

  1. Выполнить перевод числа AC16 в двоичную систему счисления

Перевод числа из двоичной (восьмеричной, шестнадцатеричной) системы в десятичную - student2.ru A16=10102

Перевод числа из двоичной (восьмеричной, шестнадцатеричной) системы в десятичную - student2.ru C16=11002

1010|11002

AC16=101011002

  1. Выполнить перевод числа 0,2A16 в двоичную систему счисления

Перевод числа из двоичной (восьмеричной, шестнадцатеричной) системы в десятичную - student2.ru 216=00102

0,2А16=0,001010102

А16=10102.

Отбросим в результате незначащий ноль и получим окончательный ответ: 0,2А16 = 0,00101012

Перевод из двоичной системы счисления в восьмеричную и обратно.

Аналогично переводу из двоичной системы счисления в шестнадцатеричную. Главным отличием является то, что основанием будет 8, а не 16, и деление числа производится не тетрадами, а группами по три числа.

  1. Выполнить перевод числа 100112 в восьмеричную систему счисления

10|0112=010|0112

Перевод числа из двоичной (восьмеричной, шестнадцатеричной) системы в десятичную - student2.ru 0102=28

0100112=238

0112=38

  1. Выполнить перевод числа 101100102 в восьмеричную систему счисления

Перевод числа из двоичной (восьмеричной, шестнадцатеричной) системы в десятичную - student2.ru Перевод числа из двоичной (восьмеричной, шестнадцатеричной) системы в десятичную - student2.ru Перевод числа из двоичной (восьмеричной, шестнадцатеричной) системы в десятичную - student2.ru 10|110|0102=010|110|0102

0102=28

1102=68

0102=28

101100102=2628


  1. Выполнить перевод числа 0,00101012 в восьмеричную систему счисления

0|010|1012=000|010|1012

0002=08

0102=28

1012=58

0,00101012=0,0258

Перевод из восьмеричную системы счисления в двоичную:

  1. Выполнить перевод числа 138 в двоичную систему счисления

Перевод числа из двоичной (восьмеричной, шестнадцатеричной) системы в десятичную - student2.ru 18=12=0012;

Перевод числа из двоичной (восьмеричной, шестнадцатеричной) системы в десятичную - student2.ru 38=112=0112.

138 = 001|0112.

После удаления незначащих нулей имеем 138=10112

  1. Выполнить перевод числа 1378 в двоичную систему счисления

Перевод числа из двоичной (восьмеричной, шестнадцатеричной) системы в десятичную - student2.ru 18=0012

Перевод числа из двоичной (восьмеричной, шестнадцатеричной) системы в десятичную - student2.ru 38=0112

Перевод числа из двоичной (восьмеричной, шестнадцатеричной) системы в десятичную - student2.ru 78=1112

001|011|1112=1|011|1112

138=10111112

  1. Выполнить перевод числа 0,748 в двоичную систему счисления

Перевод числа из двоичной (восьмеричной, шестнадцатеричной) системы в десятичную - student2.ru 78=1112

0,748=0,1111002

48=1002.

Таблица 2. Основные методы

  10→2 Перевод числа из двоичной (восьмеричной, шестнадцатеричной) системы в десятичную - student2.ru   2→10 Перевод числа из двоичной (восьмеричной, шестнадцатеричной) системы в десятичную - student2.ru
  2→16 Перевод числа из двоичной (восьмеричной, шестнадцатеричной) системы в десятичную - student2.ru
  2→8 Перевод числа из двоичной (восьмеричной, шестнадцатеричной) системы в десятичную - student2.ru
    10→8     Перевод числа из двоичной (восьмеричной, шестнадцатеричной) системы в десятичную - student2.ru 8→2 Перевод числа из двоичной (восьмеричной, шестнадцатеричной) системы в десятичную - student2.ru
  8→10 Перевод числа из двоичной (восьмеричной, шестнадцатеричной) системы в десятичную - student2.ru
  8→16 Перевод числа из двоичной (восьмеричной, шестнадцатеричной) системы в десятичную - student2.ru
    10→16         Перевод числа из двоичной (восьмеричной, шестнадцатеричной) системы в десятичную - student2.ru   16→2 Перевод числа из двоичной (восьмеричной, шестнадцатеричной) системы в десятичную - student2.ru
  16→8   Перевод числа из двоичной (восьмеричной, шестнадцатеричной) системы в десятичную - student2.ru
  16→10 Перевод числа из двоичной (восьмеричной, шестнадцатеричной) системы в десятичную - student2.ru

Арифметические операции в позиционных системах счисления

Сложение

Правила сложения в любой позиционной системе счисления аналогичны правилам сложения в десятичной системе счисления. При сложении цифры суммируются по разрядам, и если при этом возникает избыток, то он переносится влево.

1. Сложим числа 15 и 6 в различных системах счисления.

Десятичная 1510+610 Двоичная 11112+1102 Восьмеричная 178+68

Перевод числа из двоичной (восьмеричной, шестнадцатеричной) системы в десятичную - student2.ru

Шестнадцатеричная: F16+616

Перевод числа из двоичной (восьмеричной, шестнадцатеричной) системы в десятичную - student2.ru

Проверка. Преобразуем полученные суммы к десятичному виду:
101012 = 24 + 22 + 20 = 16+4+1=21,
258 = 2∙81 + 5∙80 = 16 + 5 = 21,
1516 = 1∙161 + 5∙160 = 16+5 = 21.

Ответ: 15+6 = 2110 = 101012 = 258 = 1516

2. Сложим числа 15, 7 и 3.

Десятичная 1510+710 +310 Двоичная 11112+1112+112 Восьмеричная 178+78+38

Перевод числа из двоичной (восьмеричной, шестнадцатеричной) системы в десятичную - student2.ru Перевод числа из двоичной (восьмеричной, шестнадцатеричной) системы в десятичную - student2.ru Перевод числа из двоичной (восьмеричной, шестнадцатеричной) системы в десятичную - student2.ru

Шестнадцатеричная: F16+716+316

Перевод числа из двоичной (восьмеричной, шестнадцатеричной) системы в десятичную - student2.ru

Проверка:
110012 = 24 + 23 + 20 = 16+8+1=25,
318 = 3*81 + 1*80 = 24 + 1 = 25,
1916 = 1*161 + 9*160 = 16+9 = 25.

Ответ: 15+7+3 = 2510 = 110012 = 318 = 1916.

Вычитание

1. Вычтем единицу из чисел 102, 108 и 1016

Двоичная 102–12 Восьмеричная 108–18 Шестнадцатеричная 1016–116

Перевод числа из двоичной (восьмеричной, шестнадцатеричной) системы в десятичную - student2.ru Перевод числа из двоичной (восьмеричной, шестнадцатеричной) системы в десятичную - student2.ru Перевод числа из двоичной (восьмеричной, шестнадцатеричной) системы в десятичную - student2.ru

2. Вычтем единицу из чисел 1002, 1008 и 10016.

Двоичная 1002–12 Восьмеричная 1008–18 Шестнадцатеричная 10016–116

Перевод числа из двоичной (восьмеричной, шестнадцатеричной) системы в десятичную - student2.ru

3. Вычтем число 59,75 из числа 201,25 в различных системах счисления

Десятичная 201,2510 – 59,7510 Двоичная 11001001,012–111011,112

Перевод числа из двоичной (восьмеричной, шестнадцатеричной) системы в десятичную - student2.ru

Восьмеричная 311,28–73,68 Шестнадцатеричная С9,416–3B,C16

Перевод числа из двоичной (восьмеричной, шестнадцатеричной) системы в десятичную - student2.ru

Ответ: 201,2510 – 59,7510 = 141,510 = 10001101,12 = 215,48 = 8D,816.

Наши рекомендации