Позиции, перенумерованные таким образом, называют разрядами числа (в заданном числе количество разрядов равно n).

Далее, если считать, что приведенная выше последовательность изображает число в системе счисления с основанием r, то каждая из цифр этой последовательности может принимать одно из значений диапазона

r-1 >=а_i>=0 (1.2)

0 ÷ 9 – в десятичной, 0 ÷ 1 – в двоичной.

Для оценки количественного значения каждого разряда числа используется основание системы счисления, которое указывает, во сколько раз единица i+1 разряда больше единицы i предыдущего младшего разряда Таким образом, заданное число можно представить так

(1.3)

Данное выражение используется для записи чисел в любой позиционной системе счисления. Рассмотрим в качестве примера широко известную десятичную систему счисления, в которой для обозначения используется десять цифр (0,1,2,3,4,5,6,7,8,9) и за основание взято число десять (10).

Запишем пару чисел 230 и 127 десятичной системы счисления, пользуясь указанным выше выражением

1) 230 = 2•10² + 3•10¹ + 0•10⁰

2) 127 = 1•10² + 2•10¹ +7•10⁰

Двоичная система счисления

Основанием двоичной системы счисления является число два. Любые числа в этой системе изображаются последовательностью цифр 0 и 1. При этом каждый старший разряд больше соседнего младшего в два раза.

Для получения значения двоичного числа 10101 в десятичной системе счисления достаточно вычислить написанное выражение

10101₂ = 1 •2⁴ + 0 •2³ + 1 •2² + 0 •2¹ + 1 •2° = 16 + 0 + 4 + 0 + 1 = 21₁₀

В дальнейшем основание системы счисления будем указывать в качестве нижнего индекса у самой правой цифры числа, например 125₁₀ - десятичная система счисления, 1011₂ - двоичная система счисления.

В двоичной системе счисления целые десятичные числа от нуля до девяти соответственно изображаются так

Табл. 1.5

Десятичная
Двоичная

Шестнадцатеричная система счисления

Вскоре появилась необходимость в адресации 2 байт, которые назвали "словом". Для такой адресации было явное преимущество использования шестнадцатеричной системы исчисления перед восьмеричной, т е системы для адресации 8•2=16 бит

В шестнадцатеричной системе счисления используется следующие цифры и символы 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, А - десять, В - одиннадцать, С - двенадцать, D - тринадцать, Е - четырнадцать, F - пятнадцать. За основание системы счисления берется число шестнадцать, изображаемое как 10.

Например, для числа

5A3₁₆=5·16²+10·16¹+3·16⁰ = 5·256 +10·16+3·1= 1280+160+ 3= 1443₁₀

Таблица перевода чисел из шестнадцатеричной системы в другие

016	=	010	=	08	=
116	=	110	=	18	=
216	=	210	=	28	=
316	=	310	=	38	=
416	=	410	=	48	=
516	=	510	=	58	=
616	=	610	=	68	=
716	=	710	=	78	=
816	=	810	=	108	=
916	=	910	=	118	=
A16	=	1010	=	128	=
B16	=	1110	=	138	=
C16	=	1210	=	148	=
D16	=	1310	=	158	=
E16	=	1410	=	168	=
F16	=	1510	=	178	=

Лекция 3

Двоичная арифметика

Арифметические операции в двоичной системе счисления выполняются по правилам, указанным в таблице 1.6.

Табл. 1.6

Над числами в двоичной системе счисления можно выполнять арифметические действия.

При этом используются следующие таблицы:

Сложение	Вычитание	Умножение
0+0=0	0-0=0	0*0=0
1+0=1	1-0=1	1*0=0
0+1=1	1-1=0	0*1=0
1+1=10	10-1=1	1*1=1

Рассмотрим примеры:

Запись операции	Расчет столбиком
1 1 0 1 0 12 + 1 1 0 1 12
1 1 0 1 12 - 1 1 0 12
1 1 0 1 12 * 1 0 12

Для деления в двоичной системе счисления нужно уметь сравнивать числа (определять, какое больше) и хорошо вычитать. Посмотри деление на анимированном примере Пример:

Еще несколько примеров:

Пример сложения «столбиком» (14 + 5 = 19):

+

Пример умножения «столбиком» (14 × 5 = 70):

×
+

Двоичная система счисления широко используется для представления данных в вычислительных машинах. Это связано с тем, что в этой системе счисления очень просто выполняются арифметические и логические действия, а для представления двоичных чисел в машине можно использовать достаточно простые электронные элементы.