Лабораторная работа 3. Представление информации в двоичной системе счисления

Цель работы

Научиться переводить десятичные числа в двоичную систему счисления и обратно, производить вычисления в двоичной системе счисления, применять приложение Калькулятор при переводе чисел из одних систем счисления в другие.

Теоретическая справка

Система счисления — это знаковая система, в кото­рой числа записываются по определенным правилам с помощью символов некоторого алфавита, называе­мых цифрами.

Все системы счисления делятся на две большие группы: непозиционные ипозиционные.

В непозиционных системах счисления количественный эквивалент каждой цифры не зависит от ее положения в записи числа (римская система счисления).

В позиционных системах счисления количественный эк­вивалент (значение) цифры зависит от ее места (позиции) в записи числа. Позиция цифры в числе называется разрядом. Разряд числа возрастает справа налево, от младших разрядов к старшим.

Основанием позиционной системы счисления называется целое число, которое равно количеству цифр, используемых для изображения чисел в данной системе счисления.

Перевод десятичных чисел в двоичную систему счисления.

Перевод целых чисел.

1) Основание новой системы счисления выразить в де­сятичной системе счисления и все последующие дейст­вия производить в десятичной системе счисления;

2) Последовательно выполнять деление данного числа и по­лучаемых неполных частных на основание новой системы счис­ления до тех пор, пока не получим неполное частное, меньшее делителя;

3) Полученные остатки, являющиеся цифрами числа в новой системе счисления, привести в соответствие с алфавитом новой системы счисления;

4) Поставить число в новой системе счисления, записывая его, начиная с последнего частного.

Пример: перевести десятичное число 11 в двоичную систему счисления. Рассмотренную в теоретической справке последовательность действий (алгоритм перевода) удобнее изобразить так: 11₁₀ = 1011₂

Для перевода двоичного числа в десятичное необходимо это число представить в виде суммы произведений степеней основания двоичной системы счисления на соответствующие цифры в разрядах двоичного числа.

Пример: перевести двоичное число 10110110 в десятичное. В этом числе 8 цифр и 8 разрядов (разряды считаются, начиная с нулевого, которому соответствует младший бит). В соответствии с уже известным нам правилом представим его в виде суммы степеней с основанием 2:

10110110₂=(1·2⁷)+(0·2⁶)+(1·2⁵)+(1·2⁴)+(0·2³)+(1·2²)+(1·2¹)+(0·2⁰) = 128+32+16+4+2 = 182₁₀

Перевод дробных чисел.

1) Основание новой системы счисления выразить в десятичной системе и все последующие действия производить в десятичной системе счисления

2) Последовательно умножать данное число и получаемые дробные части произведений на основание новой системы до тех пор, пока дробная часть произведения не станет равной нулю или не будет достигнута требуемая точность представле­ния числа в новой системе счисления;

3) Полученные целые части произведений, являющиеся циф­рами числа в новой системе счисления, привести в соответствие с алфавитом новой системы счисления;

4) Составить дробную часть числа в новой системе счисления, начиная с целой части первого произведения.

Пример. Перевести десятичную дробь 0,1875 в двоичную.

	*2
	*2
	*2
	*2

Здесь вертикальная черта отделяет целые части чисел от дробных частей.

Отсюда: 0,1875₁₀ = 0,0011₂ .

2.1.7 Арифметические операции в позиционных системах счисления

Сложение.

Пример: сложим числа 15 и 6 в двоичной системе

1111₂+110₂

Проверка: Преобразуем полученные суммы к десятичному виду:

10101₂ = 2⁴ + 2² + 2⁰ = 16+4+1=21

Вычитание.

Рассмотрим примеры на вычитание.

При выполнении операции вычитания всегда из большего по абсолютной величине числа вычитается меньшее и у результата ставится соответствующий знак.

Умножение.

Перемножим числа 5 и 6 в двоичной системе

101₂*110₂

Проверка: 11110₂ = 2⁴ + 2³ + 2² + 2¹ = 30

Деление.

Используя таблицу вычитания и таблицу умножения для двоичных чисел, делим подобно тому, как мы делим десятичные числа.

Разделим 14 на 2 в двоичной системе

Стандартное приложение Windows — Калькулятор.
Калькулятор предназначен для выполнения математических вычислений — от самых простых, в одно-два действия, до сложных инженерных расчетов. Окно приложения Калькулятор может находиться в одном из двух состояний: обычный (рис. 1)

Рисунок 1 – Приложение «Калькулятор» состояние обычный.

или инженерный (рис. 2). Выбор вида окна Калькулятора осуществляется с помощью пункта Видглавного меню.

Рисунок 2 - Приложение «Калькулятор» состояние инженерный.

Окно приложения Калькулятор очень похоже на настоящий калькулятор. Арифметические примеры можно вводить, нажимая соответствующие кнопки Калькулятора, или клавиши алфавитно-цифровой части клавиатуры, или с дополнительной клавиатуры при включенном режиме NumLock. Рассмотрим окно Калькулятора в обычном состоянии (рис. 1).

· В центре расположены кнопки с цифрами (от 1 до 9) и кнопки + / - (смена знака числа) и , (запятая).

· Справа расположены кнопки вычисления некоторых функций, с которыми вы познакомитесь в старших классах, кнопка результата =,а также кнопки со знаками арифметических действий:

o / — деление;

o * - умножение;

o - — вычитание;

o + — сложение.

· Вверху расположены кнопки:

o ( Backspace) — стирает последнюю цифру набранного числа;

o (СЕ) - стирает последнее набранное число;

o (С) - стирает результат предыдущих вычислений (он не виден на экране, но Калькулятор его "помнит"), записывает число 0 в строку ввода и подготавливает Калькулятор к новому вычислению.

· Слева расположены кнопки:

o MS — сохраняет число в памяти (записывает набранное число или результат вычислений в память);

o MR — вызывает число из памяти (записывает в строку ввода число, хранящееся в памяти; при этом оно остается записанным и в памяти);

o MC — очищает память (удаляет число, хранящееся в памяти, и записывает в память число 0);

o М+ — прибавляет число из строки ввода к числу, хранящемуся в памяти, и сохраняет результат в памяти. Число в строке ввода не изменяется.

Инженерный калькулятор(рис.2). Если в процессе работы на стандартном калькуляторе возникла необходимость вычисления какой-либо функции, то можно переключиться на использование инженерного калькулятора (с помощью командыИнженерный менюВид). При этом все результаты будут автоматически перенесены на индикатор и в память инженерного калькулятора.

Инженерный калькулятор, кроме строки меню и индикатора, содержит три безымянные области с опциями:Hex (Шестнадцатеричное), Dес (Десятичное),Oct(Восьмеричное),Bin (Двоичное);Deg (Градусы),Rad (Радианы),Grad (Градиенты) и Inv (Инвертировать),Hyp (Гиперболический), а также расширенную клавиатуру.

Опции в первой области предназначены для выбора системы представления чисел и соответствующей системы счисления. Наряду с традиционным десятичным (Dec) представлением можно выбрать шестнадцатеричное (Hex), восьмеричное (Oct) или Двоичное(Bin). Щелчком мыши на соответствующей опции можно производить переключение между четырьмя возможными системами счисления.

Опции второй области предназначены для работы с тригонометрическими функциями и позволяют выбрать единицу измерения углов: в градусах (Deg), радианах (Rad) или градах(Grad), но только в десятичной системе счисления.

При выборе шестнадцатеричной, восьмеричной и двоичной систем представления чисел опции во второй области заменяются на опцииDword (Двойное слово), Word (Слово) иByte (Байт), устанавливающие разрядность обрабатываемых чисел соответственно:

	Dword — 32-битовые числа;
	Word — 16-битовые числа;
	Byte — 8-битовые числа.

ОпцииInv иHyp активизируют дополнительные функции инженерного калькулятора:

	Опция Inv позволяет вычислять обратные функции.
	Опция Hyp переключает калькулятор на вычисление гиперболических функций (синус, косинус, тангенс).

Статистические операции

После щелчка на клавише Sta активизируются статистические функции, и открывается дополнительное окноСтатистика.

Это окно можно переместить так, чтобы оно не мешало вводить данные в калькулятор. В окне отображается список данных, вводимых в калькулятор (ввод оканчивается щелчком мыши на клавишеDAT).

Кнопки в окнеСтатистика имеют следующие значения:

	RET — позволяет переключиться в окно калькулятора;
	LOAD — копирует в калькулятор отмеченные числа;
	CD — удаляет отмеченные числа;
	CAD — удаляет все числа.

После ввода данных становятся доступными статистические вычисления, проводимые с помощью следующих клавиш научного калькулятора:

	Ave — позволяет рассчитать среднее значение при установленной опцииInv—среднее значение квадратов;
	Sum — позволяет вычислить сумму величин при установленной опцииInv—сумму квадратов;
	S — позволяет вычислить стандартное отклонение для n-1 при установленной опцииInv — стандартное отклонение для n.

Логические операции

Инженерный калькулятор имеет следующие кнопки для выполнения логических операций:

	And — предназначена для выполнения логической операции И;
	OR — предназначена для выполнения логической операцииИЛИ;
	NOT — предназначена для выполнения логического отрицанияНЕ;
	XOR — предназначена для выполнения логической операцииИсключающее ИЛИ;
	Lsh — сдвигает отображаемое значение на количество двоичных разрядов, задаваемых последующим целым числом.

Ход работы

1. В соответствии с вариантом произвести перевод чисел из десятичной СС в двоичную СС, из двоичной СС в десятичную СС.

2. Произвести арифметические операции над числами в двоичной системе счисления, выполните проверку.

3. Проверить выполненную работу, используя приложение « Калькулятор».

4. Оформить отчёт письменно. Подготовить устные ответы на контрольные вопросы.