Глава 3. математические методы в оценочной деятельности

Математические методы в оценочной деятельности предназначены прежде всего для обоснования достоверности и точности оценки стоимости.

Применяемые в оценочной деятельности математические методы можно условно классифицировать по тем подходам, в которых они преимущественно применяются. Соответственно, выделим математические методы, используемые в затратном, доходном и сравнительном подходах и в итоговом согласовании результатов оценки. Конечно, возможны ситуации, когда один математический метод применяется в рамках различных подходов к оценке. Следует различать понятия "метод оценки в оценке стоимости" и "математический метод в оценке стоимости". Например, в отличие от математического метода в оценке каждый метод оценки стоимости привязан к соответствующему

подходу. Такое взаимно однозначное соответствие между подходами и методами оценки стоимости установлено стандартами оценки, обязательными к применению субъектами оценочной деятельности.

Рассмотрим математические методы, используемые в традиционных подходах к оценке и при согласовании результатов оценки.

3.1. Математические методы, применяемые в затратном подходе

В затратном подходе применяются в основном расчетные и сводно-группировочные математические методы.

Группировка показателей может производиться по различным критериям: статьям баланса, видам износа и т.п.

Пример. Для оценки предприятия ЗАО "Альфа" по затратному подходу путем группировки статей баланса предприятия на дату оценки 1 января 2005 г. может быть получен следующий агрегированный баланс (табл. 1).

Таблица 1

Агрегированный баланс ЗАО "Альфа" на 1 января 2005 г., тыс. руб.

────────────────────────────────────┬──────────────────────────────────────

Активы │ Пассивы

──────────────────────────┬─────────┼───────────────────────────┬──────────

Внеоборотные активы	│		│Капитал и резервы	│	50 000
Земля и здания	│	000│Уставный капитал	│
Машины и механизмы	│		000│Прибыль и убытки	│	60 000
Итого внеоборотных	│		000│Итого капитал и резервы	│	110 000
активов	│		│	│
Оборотные активы	│		│Обязательства	│	25 000
Запасы	│	000│Долгосрочные обязательства │
Дебиторы	│		│(займы и кредиты)	│
│	500│	│	20 000
Наличность в банке и	│		500│Краткосрочные обязательства│
кассе	│		│(кредиторская	│
Итого оборотных активов	│		│задолженность)	│	45 000
│	000│Итого обязательства	│

──────────────────────────┼─────────┼───────────────────────────┼──────────

Баланс │ 155 000│Баланс │ 155 000

──────────────────────────┴─────────┴───────────────────────────┴──────────

Приведем еще один пример применения сводно-группировочных методов в оценке стоимости недвижимости, в частности на этапе определения износа.

Под износом понимается любая потеря полезности, которая приводит к тому, что рыночная стоимость объекта недвижимости становится меньше стоимости замещения (воспроизводства).

Пример. В данном примере рассматривается здание гаража для легковых автомобилей, перестроенное из бывшего здания для грузовых автомобилей. Вследствие несоответствующей планировки стоимость гаража уменьшилась на 100 000 денежных единиц (д. е.). До недавнего времени из гаража были два выезда на разные улицы. Теперь один выезд закрыт из-за нового строительства, вследствие чего стоимость гаража уменьшилась на 50 000 д. е. Стены гаража кирпичные. Их износ составляет 60 000 д. е. Перекрытия здания железобетонные, износ - 30 000 д. е. Выездные ворота требуют ремонта стоимостью 10 000 д. е., а замена ворот на новые с электромеханическим приводом и дистанционным управлением обойдется в 25 000 д. е. В гараже имеется подъемник, который не предназначен для новых моделей автомобилей. Замена подъемника на новый, позволяющий поднимать новые модели автомобилей, составит 20 000 д. е. Электропроводка и освещение из-за неисправностей требуют частичной замены и ремонта стоимостью 500 д. е. Ремонт и замена поврежденных рам и стекол обойдутся в 3000 д. е. В гараже имеется мойка, водяные фильтры которой выработали свой ресурс. Расходы на приобретение и замену водяных фильтров составят 2000 д. е. Некоторые батареи

отопления протекают. Их ремонт и частичная замена обойдутся в 6000 д. е.

Необходимо определить:

1) физический износ, в том числе неустранимый и устранимый;

2) функциональный износ, в том числе неустранимый и устранимый;

3) внешний износ;

4) общий износ.

Для определения износа проводятся группировки затрат и сводные расчеты, которые приведены в табл. 2.

Таблица 2

Сводно-группировочные расчеты для определения износа здания гаража

N п/п	Виды и элементы износа	Величина износа, д. е.
	Физический износ	116 000
1.1	Неустранимый физический износ	90 000
1.1.1	Износ стен	60 000
1.1.2	Износ перекрытий	30 000
1.2	Устранимый физический износ	26 000
1.2.1	Износ ворот физический	10 000
1.2.2	Износ электропроводки	5 000
1.2.3	Износ окон и рам	3 000
1.2.4	Износ водяных фильтров	2 000
1.2.5	Износ батарей отопления	6 000
	Функциональный износ	145 000
2.1	Неустранимый функциональный износ	100 000
2.1.1	Износ, вызванный несоответствием	100 000
	планировки
2.2	Устранимый функциональный износ	45 000
2.2.1	Износ ворот функциональный	25 000
2.2.2	Износ подъемника функциональный	20 000
	Внешний износ	50 000
3.1	Износ, вызванный закрытием одного выезда	50 000
	Итого	311 000

3.2. Математические методы, применяемые в доходном подходе

В основе доходного подхода лежит математическая теория изменения стоимости денег во времени. Стоимость денег изменяется из-за влияния ряда факторов, включая инфляцию и возможность получения дохода в результате инвестирования капитала.

Анализ денежных потоков основан на использовании шести функций денежной единицы: 1) будущая стоимость денежной единицы; 2) накопление денежной единицы за период; 3) фактор фонда возмещения; 4) текущая стоимость денежной единицы;

5) текущая стоимость единичного аннуитета;

6) взнос на амортизацию денежной единицы.

Перечисленные величины могут быть определены с использованием соответствующих шести колонок широко распространенных международных таблиц шести функций денежной единицы.

Рассматриваемые шесть функций представляют попарные прямые и обратные комбинации из следующих трех переменных:

PV - текущая стоимость капитала; FV - будущая стоимость капитала;

PMT - размер равновеликого периодического платежа.

В качестве условно постоянных величин принимаются:

i - процентная ставка;

n - количество периодов времени.

Основная формула, по которой определены табличные данные значения шести функций денег, имеет следующий вид:

/ n\

│1 - (1 + i)	│	-n	(1)
PV + (1 + iS) PMT│------------	i	│ + FV(1 + i)	= 0,
\	/

где S = 0, если платеж выполняется в конце периода; S = 1, если платеж выполняется в начале периода.

В формуле (1) денежные перечисления (исходящие платежи) учитываются в виде отрицательных значений, тогда как денежные поступления вводятся в виде положительных величин.

Рассмотрим более подробно функции денежной единицы.

3.2.1. Будущая стоимость денежной единицы

Формула для определения будущей стоимости может быть получена из основной формулы (1) при PMT = 0:

n	(2)
FV = -PV(1 + i) .

Будущая стоимость денежной единицы показывает, до какой величины увеличивается капиталовложение одной денежной единицы за n периодов времени при сложной процентной ставке i.

Пример. Инвестор собирается приобрести квартиру, которая стоит 1 000 000 руб. Сколько будет стоить эта квартира через 5 лет, если ежегодное увеличение стоимости составит 5%?

Решение.Значения PV = -1 000 000, n = 5, I = 0,05, получим:

FV = 1 000 000 x 1,05 = 1 276 282 руб.

Эту же задачу можно решить, используя таблицы шести функций денежной единицы, в которых при i = 5, n = 5 и ежегодном начислении процентов находим в 1-й колонке фактор накопления, равный 1,276282.

Наиболее просто решаются задачи, связанные с функциями денежной единицы, путем применения финансового калькулятора типа TEXAC и CASIO FC-100.

На финансовом калькуляторе имеются клавиши "PV", "FV", "PMT", "n", "i", с помощью которых вводятся известные значения переменных с учетом их знаков. В приведенном примере это величины PV, n, i. Затем нажимается клавиша "COMP" (вычислить) и клавиша, соответствующая искомой величине (в приведенном примере это FV). На дисплее появляется вычисленное значение определяемой функции с учетом ее знака.

В случае когда начисление процентов проводится чаще одного раза в год, формула (1) приобретает следующий, более общий, вид:

		/	/	nk	\
		i\		-nk
/	i \	│1 - │1	+ - │	│	/
│	\	k/	│	i\	(3)
PV + │1 + - S│PMT│--------------│ + FV│1 + - │ = 0,
\	k /	│		i	│	\	k/
		│		-	│
		\		k	/

а формула (2) для определения будущей стоимости денежной единицы преобразуется к виду:

/ i\

FV = -PV│1	+ - │ .	(4)
\	k/

Например, при ежемесячном накоплении процентов получим:

12n

/ i\

FV = -PV│1	+ -- │ .	(5)
\	12/

При использовании финансового калькулятора CASIO FC-100 учет ежемесячного начисления процентов производится автоматически. Нажатие клавиши "SHIFT" перед клавишей "n" обеспечивает умножение количества периодов на 12, а нажатие клавиши "SHIFT" перед клавишей "i%" обеспечивает деление процентной ставки на 12.

3.2.2. Накопление денежной единицы

Формула для определения накопления за период получается из базовой формулы (1) при PV = 0:

n
(1 + i) - 1	(6)
FV = -PMT------------,
i
если платежи проводятся в конце периода (S = 0), и
n
(1 + i) - 1	(7)
FV = -PMT(1 + i)------------,
i

если платежи проводятся в начале периода (S = 1).

Накопление денежной единицы за период показывает суммарное накопление по сумме платежей, вносимых в конце или начале каждого периода по истечении установленного срока n при определяющей процентной ставке i.

Пример. В течение 5 лет вкладывается по 250 руб. ежемесячно в виде периодически выполняемых взносов. Годовая ставка составляет 6%. Какой будет общая величина основной суммы и процентного дохода в конце 5-летнего срока?

Решение.В таблицах шести функций денежной единицы используем 2-ю колонку приежемесячном начислении процентов, n = 5 лет, i = 6.

При решении с калькулятором вводим PMT = -250; i = 6 с клавишей "SHIFT" (ежемесячные начисления процентов), n = 5 с клавишей "SHIFT". Нажав клавиши "COMP" и "FV", получим на экране искомое значение: 17 442,50763.

3.2.3. Фактор фонда возмещения

Формула для определения фонда возмещения может быть получена из основной формулы (1) при PV = 0:

i	,	(8)
PMT = -FV------------
(1 + i)	n
- 1

если платежи проводятся в конце периода (S = 0), и

PMT = -FV	i	(9)
--------------------,
	n+1

(1 + i) - (1 + i)

если платежи проводятся в начале периода (S = 1).

Фактор фонда возмещения показывает денежную сумму, которую необходимо вносить в конце каждого периода для того, чтобы через заданное число периодов n при определенной процентной ставке i остаток составил одну денежную единицу.

Пример. Каким должен быть каждый периодически выполняемый взнос, если при годовой ставке 6%, начисляемой ежемесячно на основе сложных процентов, за 10 лет будет накоплена общая сумма 10 000 руб.?

Решение.При решении с использованием финансового калькулятора вводим FV = 10 000, i = 6 склавишей "SHIFT" (ежемесячное начисление процентов), n = 10 с клавишей "SHIFT". Нажав клавиши "COMP" и "PMT", получим на экране искомое значение: -61,02050194.

Если бы взнос проводился не в конце, а в начале каждого периода, то перед нажатием клавиш "COMP" и "PMT" нужно нажать клавишу "BGN", и на экране получился бы другой результат: -60,71691736.

3.2.4. Текущая стоимость денежной единицы

Формулу для расчета текущей стоимости получим из формулы (1) при PMT = 0:

	(10)
PV = -FV--------.
n
(1 + i)

Текущая стоимость денежной единицы представляет собой сегодняшнюю стоимость денежной единицы, которая должна быть получена в будущем при заданном периоде n и процентной ставке i.

Эта функция является обратной величиной функции накопления денежной единицы.

Функция текущей стоимости денежной единицы применяется в процедуре дисконтирования, т.е. при определении текущей (сегодняшней) стоимости прогнозируемой (будущей) суммы денежных средств.

Пример. Какую сумму следует сегодня депонировать в банке под 5,5% годовых с ежемесячным начислением процентов, чтобы через 20 лет получить 20 000 долл.?

Решение.Данную задачу не удается решить с использованием таблиц шести функций денежнойединицы, поскольку в этих таблицах приводятся данные для целых значений процентов. Решаем поставленную задачу с применением финансового калькулятора. В качестве исходных данных с помощью соответствующих клавиш вводим FV = 2000, i = 5,5 с клавишей "SHIFT" (ежемесячное начисление процентов), n = 20 с клавишей "SHIFT". Затем нажимаем клавиши "COMP" и "PV" и получаем на экране искомое значение: PV = -6674,173868 долл.

3.2.5. Текущая стоимость единичного аннуитета

Аннуитет представляет собой серию равновеликих периодических платежей. Текущая стоимость единичного аннуитета определяется как текущая стоимость депозита, с которого в течение периода n может быть получена сумма в одну денежную единицу при процентной ставке i.

В случае обычного аннуитета платежи проводятся в конце каждого периода. Формулу для расчета текущей стоимости обычного аннуитета получим из основной формулы (1) при FV = 0, S = 0:

	-n
PV = -PMT	1 - (1 + i)	(11)
-------------.
	i

Пример. Какую ссуду может взять заемщик на 15 лет под 7,5% годовых, если он будет выплачивать по 450 долл. в месяц для ее погашения в случаях обычного и авансового аннуитетов?

Решение.Для решения поставленной задачи не удается применить таблицы шести функций

денежной единицы из-за нецелого значения процентной ставки. Используем для решения финансовый калькулятор. Вводим в качестве исходных данных PMT = -450, n = 15 с клавишей "SHIFT", поскольку платежи ежемесячные, i = 7,5 с клавишей "SHIFT". После нажатия клавиш "COMP" и "PV" получим исходный размер ссуды при обычном аннуитете: PV = 48 543,04208 долл. Нажав клавиши "BGN", "COMP", "PV", получим размер ссуды при авансовом аннуитете: PV = 48 846,43609 долл.

3.2.6. Взнос на амортизацию денежной единицы

Взнос на амортизацию денежной единицы представляет собой равновеликий регулярный платеж, необходимый для полной амортизации кредита в денежную единицу, по которому выплачивается процент i в течение периода n.

Формулу взноса на амортизацию для обычного аннуитета получим из основной формулы (1) при FV = 0, S = 0:

PMT = -PV	i	(12)
-------------.
	-n
	1 - (1 + i)

Формулу взноса на амортизацию для авансового аннуитета получим из формулы (1) при FV = 0, S

= 1:

PMT = -PV	i	(13)
--------------------.
	1-n
	(1 + i) - (1 + i)

Пример. Каким будет размер ежемесячных взносов в конце каждого периода, если заемщик взял ссуду на покупку дома в размере 300 000 долл. на 25 лет под 6,2% годовых?

Решение.Задачу решаем с применением финансового калькулятора. Вводим с помощьюодноименных клавиш PV = 300 000, n = 25 с клавишей "SHIFT", i = 6,2 с клавишей "SHIFT". Для получения решения нажимаем клавиши "COMP" и "PMT", и на экране появится искомое значение: PMT = -1969,74629 долл.

Финансовый калькулятор позволяет решать задачи, которые практически невозможно решить с использованием таблиц шести функций денежной единицы.

Пример. Сколько времени потребуется для того, чтобы увеличить основную сумму 5000 долл. до суммы 10 000 долл. при годовой ставке 5,4%, начисляемой в виде сложных процентов ежемесячно?

Решение.Приведем расчет на финансовом калькуляторе. В качестве исходных данных вводим спомощью одноименных клавиш PV = -5000, FV = 10 000, i = 5,4 с клавишей "SHIFT". Затем нажимаем клавиши "COMP", "n" и получаем результат: n = 154,379021 месяца.

3.3. Математические методы, применяемые

в сравнительном подходе

Наиболее эффективными для использования в сравнительном подходе являются методы корреляционного анализа.

Зависимость	стоимости y от некоторых факторов x , x ... x	является
не функциональной	(точной), а такой,				n
что определенным	значениям x , x ...
x соответствует	групповая	средняя	результативность
стоимости y.	Такая
n						корреляционной и	изучается
зависимость y = y(x , x ... x ) показывается
с применением				n
корреляционного	анализа.		может решить целый ряд задач.
Выполняя	корреляционный	анализ, оценщик
Первоочередной	задачей	является измерение	тесноты	связей стоимости y и

факторов x , x ... x , влияющих на стоимость объекта оценки. Первоначальные 1 2 n

предположения о существующих связях необходимо математически подтвердить или опровергнуть соответствующими расчетами с применением корреляционного анализа.

На следующем этапе корреляционного анализа следует произвести выбор тех факторов, которые оказывают большее влияние на стоимость объекта оценки. Выбор факторов выполняется по уровню тесноты их связи со стоимостью оцениваемого объекта. Выбранные факторы затем используются на последующих этапах корреляционного анализа.

Одним из важных достоинств корреляционного анализа является обнаружение неизвестных связей

и соответствующих параметров, влияющих на стоимость объекта оценки.

С применением корреляционного анализа могут изучаться различные зависимости стоимости от влияющих на нее факторов: линейная, нелинейная и другие виды зависимостей. В рамках корреляционного анализа строится математическая модель изучаемой зависимости стоимости от факторов - уравнение корреляции, которое часто называют уравнением регрессии.

Одним из назначений корреляционного анализа является оценка тесноты связей между стоимостью и соответствующими факторами. Тесноту связи между стоимостью y и некоторым фактором x можно измерить путем сопоставления их уровней. Когда с увеличением величины фактора x пропорционально увеличивается стоимость y объекта оценки, отмечается наличие прямой или положительной связи.

Когда же с ростом стоимости y величина фактора x уменьшается, это свидетельствует о наличии обратной, или отрицательной, связи.

Теснота линейной связи измеряется коэффициентом корреляции r. Этот коэффициент принимает значения в интервале от -1 до +1. В случае положительной связи коэффициент корреляции r >= 0. В случае отрицательной связи коэффициент корреляции также будет отрицательным.

Когда коэффициент корреляции равен -1, это значит, что исследуемая зависимость носит обратный строго точный (функциональный) характер. Если же r = 1, то исследуемая зависимость является прямой функцией. Когда r = 0, отсутствует связь между стоимостью и соответствующим параметром объекта оценки.

Считается, что при |r| <= 0,3 связь является слабой, при 0,3 <= |r| <= 0,7 теснота связи средняя, а при |r| >= 0,7 связь сильная. Следовательно, при |r| >= 0,7 установленную связь можно использовать для оценки стоимости объектов.

В случае множественной корреляции (при наличии нескольких факторов) тесноту связи необходимо измерять не только между каждым фактором и стоимостью объекта оценки, но и между каждой парой факторов. В случаях функциональной или очень тесной связи между какими-то факторами один из них необходимо исключить.

Огромное значение в корреляционном анализе имеет выбор числа аналогов n и числа факторов k. На практике для выбора допустимого соотношения между числом аналогов и числом факторов пользуются следующим простым соотношением:

	(14)
(n + m) <= (n - m) .

В оценочной деятельности в зависимости от класса объектов оценки можно использовать различные виды корреляционных уравнений.

3.3.1. Однофакторные зависимости

Наиболее широкое распространение имеют однофакторные линейные зависимости, которые являются самыми простыми для построения и использования.

Уравнение линейной зависимости имеет вид:

y = a		+ a x ,	(15)

где	y	-	стоимость объекта оценки; x	- основной фактор, от которого
зависит				- первоначально неизвестные
стоимость объекта оценки; a , a

параметры уравнения.

в уравнении (15) определяются по методу наименьших

Параметры

квадратов,

в соответствии с которым должна быть минимизирована сумма

квадратов

отклонений

между

теоретическими

фактическими

значениями

стоимости y:

S = SUM (a

+ a x

-> min.

(16)

- y)

Для

определения

параметров a

по

формуле (16)

берутся и

и a

соответственно:

приравниваются к 0 частные производные S по a

+ a x

- y)

(17)

--- = 2 SUM (a

= 0;

1 1

+ a x

(18)

--- = 2 SUM (a

- y) x = 0;

1 1

Преобразовав

выражения

(17)

(18),

получим систему

нормальных

уравнений для определения a

и a :

+ a

SUM x

= SUM y;

(19)

SUM x

+ a

= SUM x y.

(20)

SUM x

Решая систему	двух линейных	уравнений (19) и (20) с помощью определителей по методу
Крамера, найдем искомые параметры:
			SUM x y
	SUM x SUM y - SUM x
a				(21)
= -----------------------------;

	n SUM x	- (SUM x )

	SUM x y - SUM x SUM y
a				(22)
= ----------------------;

	n SUM x - (SUM x )

Чтобы определить, насколько точно линейная функция (15) воспроизводит стоимость объектов оценки, вычислим коэффициент корреляции:

-------------------------------------------

	n SUM x y - SUM x	SUM y
r =				.	(23)

/	_______
	2┌		2┐
/ n SUM x	- (SUM x ) │SUM y	- (SUM y) │
\/		1 └		┘

Частным случаем линейной зависимости является прямая пропорциональная зависимость:

y = a x .	(24)
1 1

По методу наименьших квадратов записывается сумма квадратов отклонений теоретической стоимости объекта оценки от реальной стоимости:

S = SUM (a x	- y)		(25)
-> min.

Берем частную производную сумму S по искомому параметру a	и получаем:

dS			- y)x = 0,	(26)
--- = 2 SUM (a x
da		1 1

откуда определяем параметр a :

	SUM x y
a				(27)
= -------.

	SUM x