Расчет эмпирических характеристик

РАСЧЕТ ХАРАКТЕРИСТИК НАДЕЖНОСТИ

ТЕХНИЧЕСКИХ СИСТЕМ

Методические указания

к выполнению курсовых работ для студентов:

специальности 140606-«Электрический транспорт»

и специальности 190401-«Электроснабжение железных дорог»

дневной формы обучения

Составители: Ю.В. Киселев

С.А. Привалов

САМАРА 2006

УДК 629.7.017.1

Расчет характеристик надежности технических систем : методические указания к выполнению курсовых работ для студентов специальностей 140606 и 190401 дневной формы обучения [Текст] / составители : Ю.В. Киселев, С.А. Привалов. - Самара: СамГАПС, 2006. - 20 с.

Утверждены на заседании кафедры «Муниципальный пассажирский транспорт», 23 марта 2006 года, протокол № 3.

Печатается по решению редакционно-издательского совета академии.

В методических указаниях содержатся основные сведения о теории расчета надежности систем электрического транспорта. Даны примеры расчета характеристик надежности технических изделий и справочные материалы, необходимые для расчетов.

Указания предназначены для студентов, обучающихся по специальностям 140606-«Электрический транспорт» и 190401-«Электроснабжение железных дорог», и могут быть полезны студентам, обучающимся по другим специальностям и изучающим проблемы надежности технических устройств.

Составители: Киселев Ю.В.

Привалов С.А.

Рецензенты: Григорьев Василий Лазаревич, д.т.н., профессор, СамГАПС,

Редактор: И.А. Шимина

Компьютерная верстка: Н.В. Чертыковцева

Подписано в печать 6.06.06. Формат 60х90 1/16

Бумага писчая. Печать оперативная. Усл. п. л.1,3.

Тираж 150 экз. Заказ № 102.

Ó Самарская государственная академия путей сообщения, 2006

1. ЦЕЛЬ И ЗАДАЧИ РАБОТЫ

Целью настоящей работы является освоение студентами методов оценки уровня надежности элементов, узлов и агрегатов технических систем по данным эксплуатации. В процессе выполнения работы необходимо освоить методику обработки статистических данных об отказах и неисправностях технических систем, получаемых при наблюдении во время эксплуатации, с целью определения закона распределения времени наработки изделий до отказа и получения количественных показателей характеристик надежности.

2. МЕТОДИКА И ПОРЯДОК РАСЧЕТА

Исходными данными для решения настоящей задачи являются: интервал времени наблюдения за объектами (t_a), упорядоченные по возрастанию (вариационный ряд) значения наработки до отказа выборки изделий (t_i), количество изделий, находящихся в эксплуатации (размер выборки -N) и количество отказов в выборке (N).

Порядок расчета следующий:

1. Группировка данных.

2. Расчет эмпирических характеристик надежности.

3. Выбор теоретического закона распределения.

4. Определение неизвестных параметров закона распределения.

5. Проверка правильности принятой гипотезы о законе распределения.

6. Оценка надежности объекта.

Группировка данных. Интервал наработки, на котором обнаружены неисправности, разбивается на несколько разрядов (интервалов) величиной Dt. Количество разрядов k определяется правилом Старджена:

. (1)

Расчет эмпирических характеристик надежности. В каждом интервале Dt_i производится расчет эмпирических значений плотности f^*(t), интенсивности l^*(t) отказов и вероятности безотказной работы P^*(t) по формулам (2):

(2)

где ( )=N_иi - число объектов, исправно проработавших на начало рассматриваемого периода (т.е. на начало i-го разряда);

Dn_i - число объектов, отказавших в интервале наработки Dt_i.

Выбор теоретического закона распределения. На основе расчета эмпирических характеристик строятся гистограммы распределения плотности, интенсивности отказов и вероятности безотказной работы как функции наработки. Исходя из внешнего вида гистограмм, их схожести с известными законами распределения (Приложение 1) и физической природы появления отказа, структуры изделия, условий и режимов эксплуатации, принимается гипотеза о виде теоретического распределения отказов.

Экспоненциальное распределение. Причины отказов - внезапные концентрации нагрузок внутри или вне объекта. Отказ наступает при превышении нагрузкой допустимой величины, интенсивность отказов здесь не зависит от наработки. Такое распределение характерно для большого класса внезапных отказов, появляющихся без каких-либо предшествующих симптомов. Близки к экспоненциальному распределению отказы объекта, состоящего из большого числа элементов, вероятности отказов которых малы.

Нормальное распределение. Это распределение имеет случайная величина, представляющая собой сумму большого числа независимых случайных величин, причем все они в общей сумме играют относительно малую роль. В практике эксплуатации нормальное распределение характерно для отказов, связанных с накоплением повреждений в материале конструкции, происходящем с постоянной или примерно постоянной скоростью развития. Такими отказами могут являться износы, старение материалов, наклеп, происходящие с постоянной скоростью.

Логарифмически-нормальное распределение. Этому распределению могут подчиняться отказы, имеющие следующую причину. Каждое воздействие внешней нагрузки приводит к накоплению повреждений в материале детали. При этом величина добавляемого повреждения пропорциональна уже накопленному. Отказ наступает при превышении накопленного повреждения определенной величины. Примером такого отказа могут служить усталостные разрушения деталей технических систем.

Распределению Вейбулла обычно отвечает физическая модель так называемого «слабого звена». Объект представляется состоящим из большого числа элементов, накопление повреждений в которых идет независимо друг от друга. Отказ объекта наступает при отказе одного любого элемента. При этом независимо от типа распределения отказов каждого элемента, распределение отказов объекта будет Вейбулловским. Оно хорошо описывает усталостную долговечность транспортных конструкций и приработочные отказы.

Распределение Рэлея характерно для объектов, имеющих интенсивные износы, старение, накопление повреждений.

Равномерное распределение применяется, если отсутствуют физические предпосылки, приводящие к вышеперечисленным моделям, а гистограмма плотности не имеет явно выраженной тенденции к увеличению или уменьшению.

Определение неизвестных параметров закона распределения. Исходя из вида выбранного закона распределения отказов, выбирается метод определения неизвестных параметров.

Для нахождения параметров экспоненциального закона распределения и закона распределения Вейбулла рекомендуется применять метод максимума правдоподобия.

Последний метод дает простое выражение для вычисления параметра l экспоненциального закона распределения:

, (3)

где - время наблюдения.

Некоторую трудность здесь представляет нахождение параметров распределения Вейбулла. Их можно найти путем графического решения системы уравнений, которые также получены методом максимального правдоподобия:

;

(4)

Для этого строятся кривые t₀= i₁(m) и t₀= i₂(m) по ряду значений m. Точка пересечения этих кривых дает значения искомых параметров t₀ и m (рис. 1).

Параметры нормального и логарифмически-нормального законов распределения можно найти с использованием метода разделяющих разбиений. Суть метода заключается в приравнивании значений теоретической и эмпирической функции распределений при некоторых значениях наработки и составлении системы уравнений, число которых равно числу неизвестных параметров закона распределения. Для нормального закона распределения эта система будет состоять из двух уравнений:

(5)

где m_t- математическое ожидание;

s_t- среднеквадратическое отклонение;

Q^*, I - эмпирическая и теоретическая функции распределения.

Для большей точности определения параметров распределения значения наработки t₁ и t₂ рекомендуется выбирать в первой и последней третях вариационного ряда. Так как Q^*(t_i) = 1-P^*(t_i), а I(m_t, s_t, t_i) = Ф[(t_i-m_t)/s_t], где Ф - стандартная нормальная функция распределения (таблица 2 Приложения 2), то из системы уравнений (5) можно получить следующую систему:

(6)

где z_i - аргумент функции Ф(z_i) при ее значении, равном F^*(t_i).

Решение системы (6) дает:

. (7)

Для логарифмически-нормального распределения:

(8)

где - m_l и s_l - параметры логарифмически нормального распределения.

Тогда:

. (9)

Проверка правильности принятой гипотезы осуществляется с помощью критерия Пирсона. Для его использования необходимо определить некоторую величину U, характеризующую степень расхождения теоретического и эмпирического распределений, и оценить значимо ли это расхождение или не значимо. Если в качестве расхождения принять величину:

(10)

где q_i(Dt_i)- теоретическая вероятность отказа в интервале Dt_i, то она не будет зависеть от вида распределения отказов, и при увеличении числа N будет приближаться к распределению c² , т.е. U²=c².

При экспоненциальном распределении значение q_i(Dt_i) определяется выражением:

(11)

где t_i-1, t_i - наработки, соответствующие началу и концу интервала Dt_i.

При нормальном распределении

. (12)

Распределение c² зависит от числа степеней свободы r, которое равно числу разрядов k минус число связей, наложенных на q_i^*. Число связей равно числу неизвестных параметров распределения плюс единица (дополнительная «связь» - Число разрядов k равно числу интервалов разбиения вариационного ряда плюс единица, так как добавляется интервал от Т (t_N) до +¥:

r=k-s-1, (13)

где s - число параметров закона распределения.

Распределение c² представлено в табличном виде (таблица 3 Приложения 2). По нему для каждого значения c² и числа степеней свободы r можно найти вероятность того, что величина, распределенная по закону c², превзойдет табличное значение.

Оценку согласованности распределений производят, задаваясь уровнем значимости a, выраженной в процентах максимально допустимой вероятности того, что гипотеза отвергнута неправильно. Рекомендуемые уровни значимости - 1, 5, 10%. Задавшись a, по величине P=1-a и r, по таблице распределения находится критическое значение c²_кр. Если величина U², рассчитанная по формуле (10), попадает в критическую область
(c²_кр; +¥), то гипотеза о виде закона распределения отвергается и вероятность того, что гипотеза отвергнута ошибочно, не будет превышать a. Принимается гипотеза о другом виде распределения, и расчеты повторяются.

После проверки правильности выдвинутой гипотезы о виде закона распределения строятся графики теоретического распределения. Строятся графики для характеристик i(t), l(t) и P(t) в интервале времени 0 – (1,5-2) t_р .

Оценка надежности объекта. Осуществляется путем сравнения расчетных и нормативных значений некоторых показателей надежности. Как правило, в качестве таких показателей принимается наработка до первого отказа t_g при заданном значении нормативной вероятности безотказной работы g, либо по величине коэффициента К₁₀₀₀, равному числу отказов на 1000 часов наработки.

3. ПРИМЕРЫ РАСЧЕТА

Пример 1. Определить закон распределения времени наработки на отказ изделия и выполнить оценку надежности изделия после отработки ресурса.

Дано: время наблюдения t_a=1000 часов;

ресурс изделия составляет t_р = 1500 часов;

число изделий N=383;

число неисправных изделий n=16;

время наработки до отказов отдельных экземпляров t_i: 50, 70, 150, 220, 250, 400, 480, 500, 590, 640, 660, 790, 880, 910, 940, 980 часов.

Группировка данных. Интервал наработки 0...1000 часов разбиваем на разряды по правилу Старджена:

k = 1 +3,3*lg16=4,97.

Число разрядов принимаем равным 5 c величиной Dt_i=200 ч.

Расчет эмпирических характеристик надежности. По формулам (2) вычисляем в каждом разряде значения f_i^*(t), l_i^*(t) и P_i^*(t). Результаты расчетов представляются в табличном виде (таблица 1).

Таблица 1

Расчет эмпирических характеристик

№ инт.	ti-1, час	ti, час	Dti, час	Dni	fi*=Dni/NDti, 1/час	li*=Dni/NиiDti, 1/час	Pi*=fi*(t)/li*(t)
					3.915*10-5	3.915*10-5	1.0
					2.61*10-5	2.63*10-5	0.9922
					5.22*10-5	5.28*10-5	0.9886
					3.915*10-5	4.02*10-5	0.9739
					5.22*10-5	5.40*10-5	0.9667

Следует помнить, что N_иi - это разность между числом объектов N, над которыми велось наблюдение, и числом объектов, отказавших на начало интервала i. Например, для четвертого интервала N_и4=383-3-2-4=374.

Выбор теоретического закона распределения. По данным таблицы 1 строятся гистограммы эмпирического распределения (рис. 2).

а) б)

в)

Рис. 2. Гистограммы эмпирического распределения:

а) плотность распределения; б) интенсивность отказов;

в) вероятность безотказной работы

Примем, что наблюдаемое изделие является сложным объектом, состоящим из множества элементов, вероятность отказов которых достаточно мала. Следовательно, можно выдвинуть гипотезу, что его отказы распределены по экспоненциальному закону. Этому предположению не противоречит и внешний вид гистограмм.

Определение параметров закона распределения. Экспоненциальный закон распределения является однопараметрическим, т.е. для его полного определения необходимо найти один параметр - интенсивность отказов l. В настоящем примере параметр l можно вычислить с использованием метода максимума правдоподобия по выражению (3)

Отсюда среднее время наработки до отказа Т_ср=1/l=1/4,088*10^-5=24460 ч.

Проверка правильности принятой гипотезы осуществляется с помощью критерия Пирсона, рассчитанного по выражению (10). Число разрядов при расчете критерия на единицу больше числа разрядов разбиения вариационного ряда k, так как добавляется интервал от t_a до +¥. Результаты расчетов представлены в таблице 2

Таблица 2

Расчет критерия Пирсона

№ инт.	ti-1, ч	ti, ч	Dti, ч	Dni	qi(Dti)	N*qi(Dti)	Dni -N*qi(Dti)	Ui2
					0.0081462	3.12	-0.12	0.00463
					0.0080809	3.095	-1.095	0.38725
					0.0080156	3.07	0.93	0.28205
					0.0079503	3.045	-0.045	0.00065
					0.0078851	3.02	0.98	0.31822
		¥			0.959925	367.65	-0.65	0.000115
	U2=SUi2= 0.99397

Величина q_i(Dt_i) рассчитывается по выражению (11). Например, для второго интервала:

Число степеней свободы r в случае шести разрядов таблицы и одного параметра закона распределения, в соответствии с (13), равно 4 (r=6-1-1). Задавшись уровнем значимости a=10%, по таблице 3 Приложения 2 в зависимости от P=1-a=90% и числа степеней свободы r=4 находим критическое значение c²_кр=7,78. Подсчитанное значение U²=0,99397 не попадает в критическую область (7,78; +¥), следовательно, принятая гипотеза об экспоненциальном законе распределения не противоречит статистическим данным.

Построение графиков теоретического распределения. Построение графиков функций f_i(t), l_i(t) и P_i(t) производим после расчета их значений по формулам (таблица 1 Приложения 2 ):

Расчетные данные рекомендуется свести в таблицу.

Пример 2. Определить закон распределения неисправностей подшипников опор электродвигателя.

Дано: время наблюдения t_a=1000 часов;

ресурс t_р = 3000 часов;

число изделий N=352;

число неисправных изделий n=18;

время наработки до отказов отдельных экземпляров t_i: 60, 110, 110, 110, 130, 170, 200, 230, 260, 280, 280, 370, 510, 570, 780, 790, 920, 1000 часов.

Группировка данных. Интервал наработки 0...1000 часов разбиваем на разряды по правилу Старджена:

k = 1 +3,3lg18=5,14.

Число разрядов принимаем равным 5 величиной Dt_i=200 ч.

Расчет эмпирических характеристик надежности. По формулам (2) вычисляем в каждом разряде значения f_i^*(t), l_i^*(t) и P_i^*(t). Результаты расчетов представляются в табличном виде (таблица 3).

Tаблица 3