Системность в естествознании 7 страница

В основе классической механики лежат три закона механики Ньютона:

1) всякое тело продолжает удерживаться в состоянии покоя или равномерного и прямолинейного движения, пока и поскольку оно не понуждается приложенными силами изменить это состояние;

2) изменение количества движения пропорционально приложенной движущей силе и происходит в направлении той прямой, по которой эта сила действует: F = am, где F - действующая сила, α — ускорение, т - масса тела;

3) действию всегда есть равное и противоположное противодействие, т.е. взаимодействия двух тел друг на друга между собой равны и направлены в противоположные стороны. Большое значение для понимания явлений макромира имеет теория тяготения Ньютона. В основе ее представлений лежит закон, утверждающий, что две любые материальные частицы с массами т_а и т_ь притягиваются по направлению друг к другу с силой F, прямо пропорциональной произведению масс и обратно пропорциональной квадрату расстояния r между ними:

где G - гравитационная постоянная.

Из закона всемирного тяготения Ньютона следует, что тяготение - это потенциальное поле с некоторой напряженностью. Важным в теории тяготения Ньютона является наличие принципа эквивалентности, согласно которому тяготение одинаково действует на разные тела, сообщая им одинаковое ускорение независимо от массы, химического состава и других свойств. Теория Ньютона предполагает мгновенное распространение тяготения (в соответствии с принципом дальнодействия), что не согласуется со специальной теорией относительности (никакое взаимодействие не может распространиться со скоростью, превышающей скорость света в вакууме). Это подтверждает справедливость теории Ньютона только для скоростей, значительно меньших скорости света; кроме того, она неприменима при расчетах траектории света в поле тяготения и других явлений, связанных с эффектами из мега- и микромира.

В классической механике пространство принимается трехмерным, время - однонаправленным, одномерным и не зависящим от пространства. Для описания пространства используют введенную Р. Декартом координатную систему (названную впоследствии его именем).

При этом принимается, что все в мире состоит из атомов. В рамках этих представлений движение описывается как перемещение в пространстве по непрерывным траекториям в соответствии с законами механики Ньютона. В классической механике принято допущение, известное как принцип дальнодействия, по которому все физические процессы можно свести к перемещению материальных точек под действием силы тяжести, распространяющейся мгновенно.

Одно из центральных мест в классической механике занимает принцип относительности Г. Галилея, суть которого составляют два положения: 1) движение относительно (оно воспринимается по-разному наблюдателем в помещении под палубой корабля и наблюдателем, который смотрит на корабль с берега); 2) физические законы, управляющие движением тел в этом помещении, не зависят от того, как движется корабль (если только это движение равномерно).

В классической механике пространство мыслится как некий «фон», на котором развертывается движение материальных точек. Их положение можно определять, например, с помощью декартовых координат х, у, z, зависящих от времени t (рис. 6.2). При переходе из одной инерциальной системы отсчета, К, в другую, К', движущуюся по отношению к первой вдоль оси х со скоростью ν, координаты преобразуются: х' = х — vt, у' = у, z' = z; особенно важно, что время остается неизменным, т.е. t' = t; эти формулы получили название преобразований Галилея. По Ньютону, пространство выступает как некая координатная сетка, на которую не влияют материя и ее движение. Время в такой «геометрической» картине мира как бы отсчитывается некими абсолютными часами, ход которых ничто не может ни ускорить, ни замедлить.

§ 6.3. Концепции мегамира и теория относительности

Сущность теории относительности

Для описания физических явлений в мегамире широко используют специальную (частную) и общую теории относительности. Эти теории позволяют говорить о физических процессах как о свойствах пространства-времени. Согласно общей теории относительности, которая получила завершенную форму в 1915 г. в работах А. Эйнштейна, свойства пространства-времени определяются действующими в ней полями тяготения. Для общей теории относительности, именуемой также общей теорией тяготения, важен принцип эквивалентности, в соответствии с которым локально неразличимы силы тяготения и силы инерции, возникающие при ускорении системы отсчета. Этот принцип проявляется в том, что в заданном поле тяготения тела любой массы и физической природы движутся одинаково при одинаковых начальных условиях. Теория тяготения (общая теория относительности) описывает тяготение как воздействие физической материи на геометрические свойства пространства-времени, а эти свойства влияют на движение материи и на другие свойства вещества. По общей теории относительности, истинное гравитационное поле есть проявление искривления четырехмерного пространства-времени. Основной идеей теории является утверждение о том, что все тела движутся по геодезическим линиям в пространстве-времени, которое искривлено, и, следовательно, геодезические линии не прямые. Из этого вытекает, что тяготение зависит не только от распределения масс в пространстве, но и от их движения, давления и натяжения, имеющихся в телах, от электромагнитного поля и всех других полей.

В специальной теории относительности, основы которой были разработаны Эйнштейном в 1905 г., изучаются свойства пространства-времени, справедливые с той точностью, с какой можно пренебрегать действием тяготения. Таким образом, специальная теория относительности представляет собой частный случай общей теории относительности. Теория относительности опирается на геометрию четырехмерного пространства-времени Г. Минковского, который ввел в 1907-1908 гг. понятие о том, что событие задается четырьмя координатами - тремя пространственными и одной временной. Геометрия пространства-времени Минковского позволяет наглядно интерпретировать кинематические эффекты специальной теории относительности. Явления, описываемые теорией относительности, называют релятивистскими (от лат. relativus - относительный), так как они проявляют себя при скоростях движения тел, близких к скорости света в вакууме с.

Преобразования Х.А. Лоренца

Как уже говорилось, в первой четверти XIX в. была создана теория электромагнитного поля, поэтому принцип относительности Г. Галилея потребовал пересмотра; можно сказать, он родился заново, но уже как универсальный, справедливый не только в механике, но и в электродинамике и других областях физики. Подобно тому как математической формулировкой законов механики являются уравнения Ньютона, уравнения Максвелла служат количественным представлением законов электродинамики. Вид этих уравнений также должен оставаться неизменным при переходе из одной инерциальной системы отсчета в другую. (Под инерциалъными понимают такие системы, в которых справедлив закон инерции: материальная точка, на которую не действуют никакие силы, находится в состоянии покоя или равномерного прямолинейного движения.) Чтобы удовлетворить этому условию, необходимо заменить преобразования Галилея иными. В 1904 г. нидерландский физик Х.А. Лоренц предложил такие преобразования координат и времени какого-либо события при переходе от одной инерциальной системы отсчета к другой, носящие его имя и являющиеся основой специальной (частной) теории относительности:

где v - скорость объекта. При v << с преобразования Лоренца переходят в преобразования Галилея, но если скорость v сопоставима со скоростью света с, то:

Позднее А. Эйнштейн показал, что в преобразованиях Лоренца отражаются не реальные изменения размеров тел при движении, а изменения результатов измерения в зависимости от движения системы отсчета. Относительными оказывались и «длина», и «промежуток времени» между событиями, и даже «одновременность» событий, иначе говоря, не только всякое движение, но и пространство, и время.

Принцип относительности А. Эйнштейна

В 1905 г. Эйнштейн, исходя из невозможности обнаружить абсолютное движение, сделал вывод о равноправии всех инерциальных систем отсчета. Он сформулировал два важнейших постулата, которые составили основу обобщенного принципа относительности: 1) все законы физики одинаково применимы в любой инерциальной системе отсчета и не должны меняться при преобразованиях Лоренца; 2) свет всегда распространяется в свободном пространстве с одной и той же скоростью независимо от движения источника. Принцип относительности Эйнштейна является расширением принципа относительности Г. Галилея на любые физические явления (механические, оптические, тепловые и др.), которые, согласно этому принципу, протекают одинаково (при одинаковых условиях) во всех инерциальных системах отсчета. Любая система отсчета, движущаяся относительно инерциальной системы отсчета поступательно, равномерно и прямолинейно, также является инерциальной системой отсчета.

При этом все инерциальные системы отсчета равноправны, т.е. во всех таких системах законы физики одинаковы. Заметим, что французский ученый А. Пуанкаре в 1905 г. (опубликовано в 1906 г.) независимо от Эйнштейна также развил математические следствия «постулата относительности». Эйнштейн так иллюстрировал замедление течения времени в движущейся системе по отношению к неподвижной [30, 31]. Пусть мимо железнодорожной платформы движется поезд со скоростью, близкой к скорости света (рис. 6.3). В точке А₁ на платформе находится наблюдатель N₁. На полу вагона в точке А размещен фонарик. Когда происходит совмещение точки А в вагоне с точкой А₁ на платформе, фонарик включается и появляется луч света. Так как скорость его конечная, хотя и большая, то луч достигнет потолка вагона, где расположено зеркало, и отразится за определенное время, за которое поезд уйдет вперед. Для наблюдателя в вагоне луч света пройдет путь 2АВ, а для наблюдателя на платформе - 2АС. Ясно, что чем больше скорость поезда, тем длиннее линия АС. Очевидно, что 2АС > 2AB. Это как раз и говорит о замедлении течения времени внутри движущейся системы по отношению к неподвижной.

Необходимо подчеркнуть, что отрезки длин и промежутки времени изменяются в отношении определенных пространственных координат. Если, например, длина космического корабля в полете уменьшается в 2 раза с точки зрения наблюдателя на Земле, то при возвращении на Землю корабль сбавляет скорость и его длина становится такой, как при отлете.

Время в теории относительности необратимо. Отсюда следует широко известный парадокс близнецов: после путешествия одного из близнецов на ракете, летевшей со скоростью, близкой к скорости света, он увидит, что его брат стал старше его. Приведем еще один парадокс. Представим, что с Земли стартовал космический корабль со скоростью 0,99 или 0,98 скорости света и вернулся обратно через 50 лет, прошедших на Земле. Согласно теории относительности, по часам корабля этот полет продолжался бы один год. Если космонавт, отправившись в полет в возрасте 25 лет, оставил на Земле только что родившегося сына, то при встрече 50-летний сын повстречается с 26-летним отцом. Следует заметить, что физиологические процессы здесь абсолютно ни при чем. Нельзя сказать, что за один год сын космонавта состарился на 50 лет. Дело в том, что в соответствии с теорией относительности не существует абсолютного времени и пространства. Сын постарел на 50 лет за годы, прожитые на Земле, а в системе отсчета корабля время по отношению к Земле другое.

В пользу релятивистского замедления говорит следующий экспериментальный факт. В космических лучах в верхних слоях атмосферы образуются частицы, называемые пи-мезонами или пионами. Время жизни пионов 10^-8 с. За это время, двигаясь даже со скоростью, почти равной скорости света, они могут пройти не больше 300 см. Но приборы их регистрируют, т.е. они проходят путь, равный 30 км, или в 10 000 раз больше, чем для них возможно. Теория относительности объясняет этот факт так: 10^-8 с является естественным временем жизни пиона, измеренным по часам, движущимся вместе с пионом, т.е. покоящимся по отношению к нему. Но в системе отсчета Земли время жизни пиона намного больше, и за это время он в состоянии пройти земную атмосферу.

Требование неизменности вида основных уравнений физики во всех инерциальных системах отсчета применительно к уравнениям классической механики приводит к необходимости их модификации, сводящейся к замене массы тела т₀ (так называемой массы покоя) на , причем т неограниченно возрастает по мере приближения скорости объекта v к скорости света с. Поскольку масса является мерой инерции, последнее утверждение означает, что, даже непрерывно подталкивая тело (частицу), невозможно сообщить ему (ей) скорость, большую или равную скорости света с. При таких скоростях, которые называют релятивистскими, зависимость энергии E тела от его скорости v описывается не формулой классической механики E_кин = mv²/2, а релятивистской формулой , где т — масса покоя.

Из формулы следует, что энергия тела стремится к бесконечности при скоростях, стремящихся к скоростям света, поэтому, если масса покоя не равна нулю, скорость тела всегда меньше с, хотя она может стать сколь угодно близкой к ней. Это наблюдается, например, в опытах на ускорителях заряженных частиц, где они движутся со скоростью, практически равной скорости света. Со скоростью света движутся частицы с нулевой массой покоя (фотоны и, возможно, нейтрино). Скорость света является предельной скоростью передачи любых взаимодействий и сигналов из одной точки в другую.

Из уравнений релятивистской механики (как и механики Ньютона) вытекает закон сохранения энергии, для которого получается новое выражение: Е=тс² - соотношение Эйнштейна, связывающее массу тела и его энергию. Иногда это соотношение ошибочно истолковывают как указание на возможность взаимных превращений массы и энергии. В действительности оно означает лишь то, что масса всегда пропорциональна энергии. В частности, наличие массы у покоящейся частицы говорит о наличии у нее энергии (энергии покоя), что не играет роли в классической механике, но приобретает принципиальное значение при рассмотрении процессов, в которых количество и сорт частиц могут изменяться и поэтому энергия покоя может переходить в другие формы. Так, в атомных ядрах благодаря энергии притяжения частиц общая масса ядра оказывается меньше суммы масс отдельных частиц (дефект массы).

В заключение заметим, что ряд выводов общей теории относительности качественно отличается от выводов ньютоновской теории тяготения. Важнейшие из них связаны с возникновением черных дыр, сингулярностей пространства-времени (мест, где формально, по теории, обрывается существование частиц и полей в обычной известной нам форме) и с наличием гравитационных волн (гравитационного излучения). Ограничения общей теории тяготения Эйнштейна обусловлены тем, что эта теория не квантовая, а гравитационные волны можно рассматривать как поток специфических квантов - гравитонов.

Других ограничений применимости теории относительности не обнаружено, хотя неоднократно высказывались предположения, что на очень малых расстояниях понятие точечного события, следовательно, и теория относительности могут оказаться неприменимыми. Современные квантовые теории фундаментальных взаимодействий (электромагнитная, слабого и сильного взаимодействий) основаны именно на геометрии пространства-времени частной теории относительности. Из этих теорий с наиболее высокой точностью проверена квантовая электродинамика лептонов. Неоднократно с высокой точностью повторялись опыты, использовавшиеся для обоснования теории относительности в первые десятилетия ее существования. Сейчас такого рода опыты имеют преимущественно исторический интерес, поскольку основной массив подтверждений общей теории относительности составляют данные, относящиеся к взаимодействиям релятивистских элементарных частиц, где справедливость кинематики частной теории относительности проверена на обширном материале.

§ 6.4. Концепции микромира и квантовая механика

Сущность квантовой механики и границы ее применимости

Для описания явлений микромира обычно привлекают квантовую механику (иногда ее еще называют волновой механикой). Квантовой механикой называют теорию, устанавливающую способ описания и законы движения микрочастиц (элементарных частиц, атомов, молекул, атомных ядер) и их систем (например, кристаллов), а также связь величин, характеризующих частицы и системы, с физическими величинами, непосредственно измеряемыми на опыте. Законы квантовой механики составляют фундамент изучения строения вещества. Они позволили выяснить строение атомов, установить природу химической связи, объяснить периодическую систему элементов, понять строение атомных ядер, изучать свойства элементарных частиц.

Поскольку свойства макроскопических тел определяются движением и взаимодействием частиц, из которых они состоят, законы квантовой механики лежат в основе понимания большинства макроскопических явлений. Например, квантовая механика позволила объяснить температурную зависимость теплоемкостей газов и твердых тел и вычислить их значения, определить строение и понять многие свойства твердых тел (металлов, диэлектриков, полупроводников), последовательно объяснить такие явления, как ферромагнетизм, сверхтекучесть, сверхпроводимость, понять природу астрофизических объектов - белых карликов, нейтронных звезд, выяснить механизм протекания термоядерных реакций на Солнце и звездах. В некоторых эффектах (например, Джозефсона) законы квантовой механики проявляются непосредственно в поведении макроскопических объектов.

Ряд крупнейших технических достижений XX в. основан по сути на специфических законах квантовой механики. Например, квантово-механические законы лежат в основе работы ядерных реакторов, обусловливают возможность осуществления термоядерных реакций в земных условиях, наблюдаются в ряде явлений в металлах и полупроводниках и т.д. Теория квантово-механического излучения составляет фундамент квантовой электроники. Законы квантовой механики используются при целенаправленном поиске и создании новых материалов (магнитных, полупроводниковых, сверхпроводящих и др.).

Для классической механики и теории относительности характерно описание частиц путем задания их положения в пространстве координат и скоростей и зависимости этих величин от времени. Такому описанию соответствует движение частиц по вполне определенным траекториям. Однако это описание не всегда справедливо, особенно для частиц с очень малой массой (микрочастиц). В таких случаях используют законы квантовой механики.

Квантовая механика делится на нерелятивистскую, справедливую в случае малых скоростей, и релятивистскую, удовлетворяющую требованиям специальной теории относительности. Мы будем рассматривать в основном сущность нерелятивистской квантовой механики вполне законченной и логически непротиворечивой теории, которая позволяет количественно решать в принципе любую физическую задачу в области своей компетентности. Разработка релятивистской квантовой механики еще не доведена до такого уровня. Например, если в нерелятивистской области можно считать, что движение определяется силами, действующими мгновенно на расстоянии, то в релятивистской области это допущение несправедливо. Поскольку, согласно теории относительности, взаимодействие передается с конечной скоростью, должен существовать физический агент, переносящий взаимодействие. Таким агентом считается физическое поле. Поэтому можно сказать, что трудности создания релятивистской теории по существу связаны с построением теории поля.

Соотношение между классической и квантовой механикой определяется существованием универсальной мировой постоянной - постоянной Планка (или кванта действия). Если в условиях конкретной задачи физическая величина, имеющая размерность действия, значительно больше постоянной Планка, то применима классическая механика или теория относительности. Формально это условие и является критерием выбора физической теории для описания картины мира.

История становления квантовой теории

Разработка квантовой механики относится к началу XX в., когда были обнаружены две, казалось бы, не связанные между собой группы явлений (установление на опыте двойственной природы света - дуализма света и невозможность объяснить на основе имевшихся представлений существование устойчивых атомов и их оптические спектры), свидетельствующих о неприменимости механики Ньютона и классической электродинамики к процессам взаимодействия света с веществом и к процессам, происходящим в атоме. Установление связи между этими группами явлений и попытки объяснить их на основе новой теории и привели к открытию законов квантовой механики.

Впервые представления о кванте ввел в 1900 г. М. Планк в работе, посвященной теории теплового излучения тел. Существовавшая в то время теория теплового излучения, построенная на основе классической электродинамики и статистической физики, приводила к бессмысленному результату, а именно тепловое равновесие между излучением и веществом не может быть достигнуто, так как вся энергия должна перейти в излучение. Планк разрешил это противоречие, предположив, что свет испускается не непрерывно, как следует из классической теории излучения, а дискретными порциями энергии - квантами, причем величина кванта энергии зависит от частоты света.

Эта работа Планка стимулировала развитие квантовой механики в двух взаимосвязанных направлениях, завершившееся в 1927 г. окончательной формулировкой квантовой механики в двух ее формах. Первое направление связано с именем А. Эйнштейна, который предложил теорию фотоэффекта (1905). Развивая идею Планка, А. Эйнштейн предположил, что свет квантами не только испускается и поглощается, но и распространяется, т.е. дискретность присуща самому свету: свет состоит из отдельных порций — световых квантов (фотонов).

В 1922 г. А. Комптон экспериментально показал, что рассеяние света свободными электронами происходит по законам упругого столкновения двух частиц - фотона и электрона. Таким образом, было доказано, что наряду с известными волновыми свойствами (проявляющимися, например, в дифракции света — огибании светом различных препятствий) свет обладает и корпускулярными свойствами: он состоит как бы из частиц — фотонов. Возникло формальное логическое противоречие: для объяснения одних явлений необходимо считать, что свет имеет волновую природу, а объяснение других предполагало его корпускулярную природу.

В 1924 г. Л. де Бройль, пытаясь найти объяснение постулированным в 1913 г. Н. Бором условиям квантования атомных орбит, выдвинул гипотезу о всеобщности корпускулярно-волнового дуализма. Согласно де Бройлю, каждой частице независимо от ее природы следует поставить в соответствие волну, длина которой связана с импульсом частицы, при этом не только фотоны, но и все «обыкновенные частицы» (электроны, протоны и др.) обладают волновыми свойствами, которые, в частности, должны проявляться в дифракции частиц. В 1927 г. К. Дэвиссон и Л. Джермер впервые наблюдали дифракцию электронов.

В 1926 г. Э. Шрёдингер предложил уравнение, описывающее поведение таких «волн» во внешних силовых полях, - возникла волновая механика. Волновое уравнение Шрёдингера является основным уравнением нерелятивистской квантовой механики. В 1928 г. П. Дирак сформулировал релятивистское уравнение, которое описывает движение электрона во внешнем силовом поле и стало одним из основных уравнений релятивистской квантовой механики.

Второе направление развития (также являющееся обобщением гипотезы Планка) начинается с работы Эйнштейна (1907), посвященной теории теплоемкости твердых тел. Дело в том, что электромагнитное излучение, представляющее собой набор электромагнитных волн различных частот, динамически эквивалентно некоторому набору осцилляторов (физических систем, совершающих колебания), а испускание или поглощение волн эквивалентно возбуждению или затуханию соответствующих осцилляторов. Тот факт, что испускание и поглощение электромагнитного излучения веществом происходят квантами с энергией Tiv (h - постоянная Планка, v — частота света), можно объяснить так: осциллятор поля не может обладать произвольной энергией, он может иметь только дискретные уровни энергии, разность между которыми равна tiv. Эйнштейн, обобщая идею квантования энергии осциллятора электромагнитного поля на осциллятор произвольной природы, утверждал, что если тепловое движение твердых тел сводится к колебаниям атомов, то и твердое тело динамически эквивалентно набору осцилляторов с квантованной энергией, т.е. разность соседних уровней энергии равна ħv, где v - частота колебаний атомов. Теория Эйнштейна, уточненная П. Дебаем, М. Борном и Т. Карманом, сыграла выдающуюся роль в развитии теории твердых тел.

В 1913 г. Н. Бор применил идею квантования энергии к теории строения атома, планетарная модель которого следовала из результатов опытов Э. Резерфорда (1911). Согласно этой модели, в центре атома находится положительно заряженное ядро, в котором сосредоточена почти вся масса атома, а вокруг ядра вращаются по орбитам отрицательно заряженные электроны. Рассмотрение такого движения на основе представлений классической электродинамики приводило к парадоксальному результату — невозможности существования стабильных атомов. Дело в том, что, согласно этим представлениям, электрон не может устойчиво двигаться по орбите, поскольку вращающийся электрический заряд должен излучать электромагнитные волны и, следовательно, терять энергию, а радиус его орбиты должен непрерывно уменьшаться, и через время 10^-8 с электрон должен упасть на ядро. Однако атомы не только существуют, но и весьма устойчивы.

Объясняя устойчивость атомов, Бор предположил, что из всех орбит, допускаемых классической механикой для движения электрона в электрическом поле атомного ядра, реально осуществляются лишь те, которые удовлетворяют определенным условиям квантования, а именно величина действия для классической орбиты должна быть кратной постоянной Планка. Бор постулировал, что электрон, совершая допускаемое условиями квантования орбит движение (т.е. находясь на определенном уровне энергии), не испускает световых волн. Излучение происходит лишь при переходе электрона с одной орбиты на другую, т.е. с одного уровня энергии на другой, с меньшей энергией; при этом рождается квант света. В результате этого возникает линейчатый спектр атома. Бор получил формулу для частот спектра, линий атома водорода (и водородоподобных атомов), охватывающую совокупность открытых ранее эмпирических формул. Существование уровней энергии в атомах было подтверждено опытами Франка - Герца (1913-1914).

Таким образом, Бор, используя квант, постоянную Планка, отражающую дуализм света, показал, что эта величина определяет также движение электронов в атоме. Этот факт позднее был объяснен на основе универсальности корпускулярно-волнового дуализма, в соответствии с которым понятия частицы и волны, с одной стороны, дополняют друг друга, а с другой - противоречат друг другу. Он связан также со способами изучения явлений микромира. Существуют два типа приборов: в одних квантовые объекты ведут себя как волны, в других — как частицы, поэтому экспериментально можно наблюдать квантовые явления, на которые налагается взаимодействие приборов с микрообъектом, а не реальность как таковую.

Успех теории Бора, как и предыдущие успехи квантовой теории, был достигнут за счет нарушения логической цельности теории: одновременно использовались классическая механика и чуждые ей искусственные правила квантования, к тому же противоречащие классической электродинамике. Теория Бора оказалась не в состоянии объяснить движение электронов в сложных атомах (даже в атоме гелия), возникновение связи между атомами, приводящей к образованию молекулы, не могла ответить на вопрос, как движется электрон при переходе с одного уровня энергии на другой, и т.п.

Дальнейшая разработка вопросов теории атома привела к пониманию, что движение электронов в атоме нельзя описывать в терминах классической механики (как движение по определенной траектории или орбите), поскольку движение электрона между уровнями не подчиняется законам, определяющим поведение электронов в атоме. Была необходима новая теория, в которую входили бы только величины, относящиеся к начальному и конечному стационарным состояниям атома.

В 1925 г. В. Гейзенберг построил формальную схему, где вместо координат и скоростей электрона фигурировали абстрактные алгебраические величины - матрицы. Связь матриц с наблюдаемыми величинами (уровнями энергии и интенсивностями квантов, переходов) описывалась простыми непротиворечивыми правилами. Развитие М. Борном и П. Иорданом работы Гейзенберга привело к возникновению матричной механики. Уравнение Шрёдингера позволило показать математическую эквивалентность волновой (основанной на уравнении Шрёдингера) и матричной механики. В 1926 г. Борн дал вероятностную интерпретацию волн де Бройля.