Прямая и обратная геодезическая задача

Прямая.В геодезии часто приходится передавать координаты с одной точки на другую. Например, зная исходные координаты точки А (рис.23), горизонтальное расстояние S_AB от неё до точки В и направление линии, соединяющей обе точки (дирекционный угол α_AB или румб r_AB), можно определить координаты точки В

Дано: Точка А( X_A, Y_A ), S_AB и α_AB. Найти: точку В( X_B, Y_B ). Непосредственно из рисунка имеем:

ΔX = X_B – X_A ; ΔY = Y_B – Y_A .

Разности ΔX и ΔY координат точек последующей и предыдущей называются приращениями координат. Они представляют собой проекции отрезка АВ на соответствующие оси координат. Их значения находим из прямоугольного прямоугольника АВС:

ΔX = S_AB · cos α_AB ; ΔY = S_AB · sin α_AB .

Так как в этих формулах S_AB всегда число положительное, то знаки приращений координат ΔX и ΔY зависят от знаков cos α_AB и sin α_AB. Для различных значений углов знаки ΔX и ΔY представлены в табл.1.

Таблица 1.Знаки приращений координат ΔX и ΔY

Приращения координат
I (СВ)	II (ЮВ)	III (ЮЗ)	IV (СЗ)
ΔX	+	–	–	+
ΔY	+	+	–	–

При помощи румба приращения координат вычисляют по формулам:

ΔX = S_AB · cos r_AB ; ΔY = S_AB · sin r_AB .

Вычислив приращения координат, находим искомые координаты другой точки:

X_B = X_A + ΔX;Y_B = Y_A+ ΔY .

Обратная геодезическая задача заключается в том, что при известных координатах точек А( X_A, Y_A ) и В( X_B, Y_B ) необходимо найти длину S_AB и направление линии АВ: румб r_AB и дирекционный угол α_AB (рис.24).

Сначала находим приращения координат:

ΔX = X_B – X_A ;

ΔY = Y_B – Y_A .

Величину угла r_AB определем из отношения

ΔY	= tg rAB
ΔX

SAB=	ΔX	=	ΔY	= ΔX · sec rAB = ΔY · cosec rAB
cos rAB	sin rAB

SAB=	ΔX	=	ΔY	= ΔX · sec αAB = ΔY · cosec αAB
cos αAB	sin αAB

Для контроля расстояние S_AB дважды вычисляют по формулам:

Расстояние S_AB можно определить также по формуле

.

Топографические планы и карты, масштаб и номенклатура

Планом– называется уменьшенное, точное и подобное изображение на плоскости отдельного небольшого участка местности без учёта кривизны Земли. Размер площади, которую можно изобразить на плане не выходя за пределы заданной точности, определяется формулами:

План без съемки рельефа r =корень(3R^2дl)

План со съемкой рельефа r =корень(2R^2дh)

где R - радиус земного шара (6380 км);

дl и дh - заданная точность точек опорной сети по горизонтальному проложению и по высоте;

r - радиус круга, в пределах которого обеспечивается заданная точность

Планы бывают контурными и топографическими. На контурных планах изображают только контуры горизонтальных проекций местных предметов. Совокупность местных предметов, нанесенных на план, называют ситуацией плана. На топографических планах, кроме ситуации, условными знаками изображают рельеф местности.

Картой называют чертеж, изображающий в уменьшенном и обобщенном виде всю поверхность земли или значительную ее часть в специальной картографической проекции с учетом кривизны земли. На карте при помощи условных знаков показывают размещение и связи различных предметов и явлений, а также их качественные и количественные характеристики.

Виды масштабов.

Масштабом плана или карты называется отношение длины линии d на плане к длине горизонтального проложению D соответствующей линии местностей.

Численный масштаб: Это отношение выражается в виде дроби с числителем 1 и знаменателем, показывающим, во сколько раз горизонтальные проложению линий местности уменьшены при перенесении их на план. В такой записи масштаб называют численным.

Именованный масштаб: степень уменьшения указывают словами, например в «1 см 50м». Такая запись соответствует численному масштабу 1:5000 и означает, что 1 см карты соответствует 5000 см местности, т.е. 50 м.

Графический масштаб – это шкалы (номограммы), деления которых подписаны в расстояниях на местности. Для удобства применяются линейный и поперечный масштабы.

Поперечный масштаб обеспечивает более высокую точность измерений. Его строят следующим образом. На прямой линии откладывают несколько раз основание масштаба. Из конца каждого полученного отрезка восстанавливают перпендикуляры, произвольной длины, крайние из которых делят на 10 равных частей н через точки деления проводят параллельные линии. Верхний и нижний крайние левые отрезки делят на 10 частей и точки деления соединяют косыми линиями.

Номенклатура топографических планов и карт

Номенклатура – система обозначений отдельных листов карт и планов.

В основу номенклатуры карт на территории Российской Федерации положена международная разграфка листов карты масштаба 1:1000000. Для получения одного листа карты этого масштаба земной шар делят меридианами и параллелями на колонны и ряды (пояса).

Меридианы проводят через каждые 6°. Счет колонн от 1 до 60 идет от 180° меридиана от 1 до 60 с запада на восток, против часовой стрелки. Колонны совпадают с зонами прямоугольной разграфки, но их номера отличаются ровно на 30. Параллели проводят через каждые 4°. Счет поясов от А до W идет от экватора к северу и югу.

В пересечении таких колонн и рядов (поясов) образуются листы карт масштаба 1:1000000. Номенклатура одного из таких листов складывается из буквы ряда и номера колонны: T-44, S-48.

Изображение рельефа на плане и карте, основные формы рельефа

Рельеф местности на планах и картах изображают различными способами (штриховкой, пунктиром, цветной пластикой), но чаще всего с помощью горизонталей, числовых отметок и условных знаков.

Горизонталь на местности можно представить как след, образованный пересечением уровенной поверхности с физической поверхностью Земли. Например, если представить холм, окружённый неподвижной водой, то береговая линия воды и есть горизонталь (рис. 30). Лежащие на ней точки имеют одинаковую высоту.

Допустим, что высота уровня воды относительно уровенной поверхности 110 м (рис. 30). Предположим теперь, что уровень воды упал на 5 м и часть холма обнажилась. Кривая линия пересечения поверхностей воды и холма будет соответствовать горизонтали с высотой 105 м. Если последовательно снижать уровень воды по 5 м и проектировать кривые линии, образованные пересечением поверхности воды с земной поверхностью, на горизонтальную плоскость в уменьшенном виде, то получим изображение рельефа местности горизонталями на плоскости.

Таким образом кривая линия, соединяющая все точки местности с равными отметками, называется горизонталью.

Рис. 30. Способ изображения рельефа горизонталями

При решении ряда инженерных задач необходимо знать свойства горизонталей:

1. Все точки местности, лежащие на горизонтали, имеют равные отметки.

2. Горизонтали не могут пересекаться на плане, поскольку они лежат на разных высотах. Исключения возможны в горных районах, когда горизонталями изображают нависший утес.

3. Горизонтали являются непрерывными линиями. Горизонтали, прерванные у рамки плана, замыкаются за пределами плана.

4. Разность высот смежных горизонталей называется высотой сечения рельефа и обозначается буквой h.

Высота сечения рельефа в пределах плана или карты строго постоянна. Её выбор зависит от характера рельефа, масштаба и назначения карты или плана. Для определения высоты сечения рельефа иногда пользуются формулой

h = 0,2 мм · М,

где М – знаменатель масштаба.

Такая высота сечения рельефа называется нормальной.

5. Расстояние между соседними горизонталями на плане или карте называется заложением ската или склона. Заложение есть любое расстояние между соседними горизонталями, оно характеризует крутизну ската местности и обозначается d.

Вертикальный угол, образованный направлением ската с плоскостью горизонта и выраженный в угловой мере, называется углом наклона ската ν. Чем больше угол наклона, тем круче скат.

Рис. 31. Определение уклона и угла наклона ската

Другой характеристикой крутизны служит уклон i. Уклоном линии местности называют отношение превышения к горизонтальному проложению. Из формулы следует, что уклон безразмерная величина. Его выражают в сотых долях (%) или тысячных долях – промилях (‰).

Формы рельефа:

Рельеф – форма физической поверхности Земли, рассматриваемая по отношению к её уровневой поверхности.

Рельефом называется совокупность неровностей суши, дна океанов и морей, разнообразных по очертаниям, размерам, происхождению, возрасту и истории развития. При проектировании и строительстве железных, автомобильных и других сетей необходимо учитывать характер рельефа – горный, холмистый, равнинный и др.

К основным формам рельефа относятся:

Гора – это возвышающаяся над окружающей местностью конусообразная форма рельефа. Наивысшая точка её называется вершиной. Вершина может быть острой – пик, или в виде площадки – плато. Боковая поверхность состоит из скатов. Линия слияния скатов с окружающей местностью называется подошвой или основанием горы.

Котловина – форма рельефа, противоположная горе, представляющая собой замкнутое углубление. Самая низкая точка её – дно. Боковая поверхность состоит из скатов; линия их слияния с окружающей местностью называется бровкой.

Хребет – это возвышенность, вытянутая и постоянно понижающаяся в каком – либо направлении. У хребта два склона; в верхней части хребта они сливаются, образуя водораздельную линию, или водораздел.

Лощина – форма рельефа, противоположная хребту и представляющая вытянутое в каком – либо направлении и открытое с одного конца постоянно понижающееся углубление. Два ската лощины; сливаясь между собой в самой низкой части её образуют водосливную линию или тальвег, по которой стекает вода, попадающая на скаты. Разновидностями лощины являются долина и овраг: первая является широкой лощиной с пологими задернованными скатами, вторая – узкая лощина с крутыми обнаженными скатами. Долина часто бывает ложем реки или ручья.

Седловина – это место, которое образуется при слиянии скатов двух соседних гор. Иногда седловина является местом слияния водоразделов двух хребтов. От седловины берут начало две лощины, распространяющиеся в противоположных направлениях. В горной местности через седловины обычно пролегают дороги или пешеходные тропы; поэтому седловины в горах называют перевалами.