Геометрическая сущность и математическая основа карт

Географическое положение точек земной поверхности описывается, как известно, их координатами. Математическая задача построения картографического изображения заключается в проектировании на плоскость (карту) шарообразной поверхности Земли при строгом соблюдении однозначного соответствия между координатами точек на земной поверхности и координатами их изображения на карте. Такое проектирование требует знания формы и размеров Земли.

Говоря о форме (фигуре) Земли, имеют в виду не физическую ее поверхность, представляющую собой сложные сочетания возвышенностей и низменностей, гор и долин, а некоторую воображаемую (условную) поверхность среднего уровня Мирового океана в спокойном состоянии, которая как бы покрывает всю нашу планету и перпендикулярна в любой ее точке к направлению отвесной линии (направлению силы тяжести). Такая поверхность называется уровенной поверхностью.

Фигура Земли, образованная уровенной поверхностью, совпадающая с поверхностью Мирового океана в состоянии полного покоя и равновесия и продолженная под материками и островами, называется геоидом.

Фигура геоида связана с направлением силы тяжести и, следовательно, существенно зависит от неравномерного распределения масс в земной коре. Поэтому поверхность геоида имеет неправильную, в геометрическом отношении весьма сложную фигуру с неравномерно изменяющейся кривизной. Однако исследованиями установлено, что поверхность геоида, в общем близка к поверхности эллипсоида вращения с небольшим сжатием по направлению малой (полярной) оси.

Размеры любого эллипсоида вращения характеризуют большая а и малая b полуоси. Отношение называется сжатием эллипсоида.

Эллипсоид вращения имеет математически правильную поверхность, образованную вращением эллипса вокруг его малой оси. Расхождения по высоте точек поверхности геоида от поверхности наиболее близко подходящего к нему по своим размерам эллипсоида характеризуются в среднем величиной порядка 50 м и не превышают 150 м. По сравнению с размерами Земли такие расхождения настолько незначительны, что на практике для картографирования форму Земли принимают за эллипсоид. Эллипсоид, который характеризует фигуру и размеры Земли, называют, земным эллипсоидом.

Установление размеров земного эллипсоида, наиболее близко подходящего по своей форме и размерам к фактической фигуре Земли, имеет большое научно-теоретическое и практическое значение. Это важно для создания точных топографических карт. Если размеры земного эллипсоида будут установлены неверно, то это приведет к неверным исчислениям при проектировании на его поверхность (а, следовательно, и при изображении на картах) всех длин линий и размеров площадей по сравнению с их действительными размерами на уровенной поверхности Земли.

Чтобы легче разбираться в географических терминах и понятиях, применяемых в последующем изложении, напомним некоторые из них (рис.1).

Рис. 1. Основные точки и линии на земном шаре

Концы земной оси, вокруг которой происходит суточное вращение Земли, называются географическими полюсами – северным (Р) и южным (P1). Плоскость, перпендикулярная к оси вращения Земли и проходящая через ее центр, называется плоскостью земного экватора. Эта плоскость пересекает земную поверхность по окружности, называемой экватором (ЕЕ₁). Плоскость экватора делит Землю на два полушария – северное и южное. Линия пересечения земной поверхности плоскостью, параллельной плоскости экватора и проходящей через данную точку (М), называется параллелью этой точки (AMА₁).

Для каждой точки на земной поверхности существует вполне определенная прямая, называемая отвесной или вертикальной линией (ВМ). Она указывается направлением свободно подвешенной нити с грузиком на конце (отвесом). Любая плоскость, проходящая через эту линию, называется вертикальной или отвесной, а перпендикулярная к ней – горизонтальной плоскостью. Плоскость, касательная к земной поверхности в данной точке, называется плоскостью горизонта в этой точке.

Вертикальная плоскость, проходящая через данную точку (М) и земную ось, называется плоскостью географического меридиана этой точки; линия пересечения плоскости меридиана с земной поверхностью называется географическим или истинным меридианом данной точки (РМР₁), а с плоскостью горизонта – полуденной линией (NS).

Сетка, образованная пересекающимися меридианами и параллелями, называется географической сеткой.

Сферическую поверхность развернуть на плоскости без разрывов и складок невозможно, то есть ее изображение на плоскости нельзя представить без искажений, с полным соблюдением геометрического подобия всех очертаний. Полного подобия спроектированным на уровенную поверхность очертаниям островов, материков и различных объектов можно добиться лишь на шаре (глобусе). Изображение поверхности Земли на шаре (глобусе) обладает свойствами равномасштабности, равноугольности и равновеликости.

Эти геометрические свойства одновременно и полностью сохранить на карте невозможно. Построенная па плоскости географическая сетка, изображающая меридианы и параллели, будет иметь определенные искажения, также будут искажены изображения всех объектов земной поверхности. Характер и размеры искажений зависят от способа построения картографической сетки, на основе которой составляется карта.

Отображение поверхности эллипсоида или шара на плоскости называется картографической проекцией. Существуют различные виды картографических проекций. Каждому из них соответствуют определенная картографическая сетка и присущие ей искажения. В одном виде проекции искажаются размеры площадей, в другом – углы, в третьем – площади и углы. При этом во всех проекциях без исключения искажаются длины линий.

Картографические проекции классифицируют по характеру искажений, виду изображения меридианов и параллелей (географической сетке) и некоторым другим признакам.

По характеру искажений различают следующие картографические проекции:

равноугольные – сохраняющие равенство углов между направлениями на карте и в натуре. На карте сохранено равенство углов, но искажены размеры площадей;

равновеликие – сохраняющие пропорциональность площадей на картах соответствующим площадям на земном эллипсоиде. На них сохранена пропорциональность всех площадей, но искажено подобие фигур, то есть отсутствует равноугольность. Взаимная перпендикулярность меридианов и параллелей на такой карте сохраняется только по среднему меридиану;

равнопромежуточные – сохраняющие постоянство масштаба по какому-либо направлению;

произвольные – не сохраняющие ни равенства углов, ни пропорциональности площадей, ни постоянства масштаба.

Смысл применения произвольных проекции заключается в более равномерном распределении искажении на карте и удобстве решения некоторых практических задач.

По виду изображения сетки меридианов и параллелей картографические проекции подразделяются на конические, цилиндрические, азимутальные и др.

Причем в пределах каждой из этих групп могут быть разные по характеру искажений проекции (равноугольные, равновеликие и т. д.).

Геометрическая сущность конических и цилиндрических проекций заключается в том, что сетка меридианов и параллелей проектируется на боковую поверхность конуса или цилиндра с последующим развертыванием этих поверхностей на плоскость. Геометрическая сущность азимутальных проекций заключается и в том, что сетка меридианов и параллелей проектируется на плоскость, касательную к шару в одном из полюсов или секущую по какой-либо параллели.

Картографическую проекцию, наиболее подходящую по характеру, величине и распределению искажений для той или иной карты, выбирают в зависимости от назначения и содержания карты, а также от размеров, конфигурации и географического положения картографируемой территории.

Благодаря картографической сетке все искажения, как бы велики они ни были, сами по себе не влияют на точность определения по карте географического положения (координат) изображаемых на ней объектов. В то же время картографическая сетка, являясь графическим выражением проекции, позволяет при измерениях по карте учитывать характер, величину и распределение искажений. Любая географическая карта представляет собой математически определенное изображение земной поверхности.

2. Проекции топографических карт, используемых в Республике Беларусь

Важным требованием, предъявляемым к топографическим картам, является установление единой картографической проекции, в которой должны составляться по возможности топографические карты всех масштабов. Это связано с тем, что использование топографических карт, составленных в разных проекциях, создает большие неудобства в работе.

Выбор картографической проекции для топографических карт зависит от размеров картографируемой территории и ее географического положения. Большинство стран мира для составления топографических карт используют равноугольные проекции, сохраняющие равенство углов между направлениями на карте и на местности и подобие бесконечно малых фигур.

Еще со времен СССР для топографических карт масштабов 1:25 000–1:1 000 000 принята единая равноугольная поперечно-цилиндрическая проекция Гаусса. Эта же проекция используется в Республике Беларусь и для обработки результатов полевых геодезических измерений при определении координат геодезических пунктов.

Геометрическую сущность проекции топографических карт, используемых в Республике Беларусь можно представить следующим образом. Весь земной эллипсоид делят на зоны и для каждой зоны в отдельности составляют карты. При этом устанавливают такие размеры зон, чтобы можно было каждую из них развернуть в плоскость, то есть изобразить на карте, практически без заметных искажений.

Для получения картографической сетки и составления карты в проекции Гаусса поверхность земного эллипсоида разбивают по меридианам на 60 зон по 6° каждая (рис. 2).

Рис. 2. Деление поверхности Земли на шестиградусные зоны

Чтобы представить, как получается на плоскости изображение зон, вообразим цилиндр, который касается осевого меридиана одной из зон глобуса (рис. 3). Зону спроектируем по законам математики на боковую поверхность цилиндра так, чтобы при этом сохранилось свойство равноугольности изображения (равенство всех углов на поверхности цилиндра их величине на глобусе). Затем спроектируем на боковую поверхность цилиндра все остальные зоны, одну рядом с другой. Разрезав далее цилиндр по образующей АА₁ или ВВ₁ и развернув его боковую поверхность в плоскость, получим изображение земной поверхности на плоскости в виде отдельных зон (рис. 4).

Осевой меридиан и экватор каждой зоны изображаются прямыми линиями, перпендикулярными друг к другу. Все осевые меридианы зон изображаются без искажения длин и сохраняют масштаб на всем своем протяжении. Остальные меридианы в каждой зоне изображаются в проекции кривыми линиями, поэтому они длиннее осевого меридиана, то есть искажены. Все параллели также изображаются кривыми линиями с некоторым искажением. Искажения длин линий увеличиваются по мере удаления от осевого меридиана па восток или запад и на краях зоны становятся наибольшими, достигая величины порядка 1/1000 длины линии, измеряемой по карте. Например, если вдоль осевого меридиана, где нет искажений, масштаб равен 500 м в 1 см, то на краю зоны он будет равен 499,5 м в 1 см.

Рис. 3. Проекция зоны на цилиндр, касательный к земному эллипсоиду

по осевому меридиану

Отсюда следует, что топографические карты имеют искажения и переменный масштаб. Однако эти искажения при измерениях на карте очень незначительны, и потому считают, что масштаб любой топографической карты для всех ее участков является постоянным.

Рис. 4. Изображение зон земного эллипсоида

Благодаря единой проекции все наши топографические карты имеют единую систему плоских прямоугольных координат, в которой определяется положение геодезических пунктов, что позволяет получать координаты всех точек и объектов в одной и той же системе, как по карте, так и при измерениях на местности.