Такие нарушения в картографии называются искажениями.

Ис­кажения могут быть присущи длинам линий, площадям объектов, углам между направлениями, а следовательно, формам объектов.

Искажения длин линий выражаются в том, что линии, одинаковые на поверхности эллипсоида, на карте отображаются отрезками разной величины. Это обусловлено тем, что масштаб длин на карте меняется при перемене места, а также при смене направления в данной точке. Чем длиннее отрезок на карте, тем больше в его пределах будет различаться масштаб длин. Поэто­му для строгого определения масштаба карты воспользуемся по­нятием отрезка с минимально воображаемой длиной.

Масштабом длин будем называть отношение бесконечно ма­лого отрезка на карте к его горизонтальной проекции на поверх­ности эллипсоида или шара.

Искажение площадей состоит в том, что равновеликие объекты отображаются в различных частях карты фигурами разной площади. Соответственно масштаб площадей также различен в раз­ных частях карты (кроме специальных равновеликих проекций). По аналогии масштабом площадей называется отношение величин бесконечно малой площади на карте к соответствующей величине бесконечно малой площади на поверхности эллипсоида или шара.

Искажение углов заключается в том, что углы между ка­кими-либо направлениями на карте не равны горизонтальным углам между теми же направлениями на поверхности земного эллипсоида.

По этой причине, а также из-за искажений длин нарушается форма объектов. Искажение форм -отклонение от подобия форм объектов на карте и форм соответствующих объектов на эллипсоиде или шаре называется.

Все виды искажений на картах связаны между собой: при изменении длин нарушаются площади объектов; зачастую определенному искажению углов на карте соответствует одно и то же искажение форм. Особая связь существует между искаже­нием площадей и искажением углов: увеличение одного из них влечет уменьшение другого.

Анализируя любую карту с целью выявления присущих ей искажений, сначала устанавливают их вид, а затем характер распределения и величины.

Наличие искажений легко установить, сравнивая картографи­ческую сетку с неискаженной географической сеткой на глобусе. При этом, однако, следует помнить, что если какое-либо из пе­речисленных свойств на карте не нарушается, то это еще не га­рантирует отсутствие на ней соответствующего вида искажений. К тому же на мировых картах и картах полушарий искажения легко установить при визуальном просмотре, на картах матери­ков и океанов выявить искажения таким образом труднее, а на картах Республики Беларусь и ее регионов это уже практически невозможно.

При анализе характера распределения искажений в первую очередь необходимо установить места, где искажения отсутству­ют, и участки карты с максимальными величинами искажений.

Места, где на карте искажений нет, называют точками или линиями нулевых искажений. Эти точки или линии являются общими для глобуса и полученной на его основе карты. На карте может быть одна или две точки либо одна или две линии нуле­вых искажений данного вида. Незначительная часть картогра­фических проекций вместо точек нулевых искажений имеет точ­ки минимальных искажений. При удалении от всех перечислен­ных точек и линий величины искажений на картах растут, одна­ко скорость возрастания зависит от направления. Поэтому, если на карте получается одна точка нулевых искажений, ее старают­ся поместить в центре карты. Так же поступают и в отношении одной линии нулевых искажений.

Однако при любом расположении нулевых и минимальных искажений величина максимальных искажений на карте зави­сит от размеров изображаемой территории. Для расчета количе­ственных характеристик искажений пользуются показателями масштабов.

Главный масштабсохраняется только в точках и линиях, где нет искажений.

Масштабы во всех других точках карты, отлича­ющиеся от главного, называются частными. Чем сильнее разли­чаются масштабы, тем больше искажений, поэтому показатели искажений рассчитываются как отношение частного масштаба в конкретной точке карты по определенному направлению к глав­ному масштабу карты и выражаются в долях единицы, посколь­ку при их равенстве отношение равно 1.

Главный масштаб, как правило, подписывают на карте, а ча­стный подлежит определению. Для его расчета необходимо произ­вести ряд измерений по карте и применить формулы, используе­мые в математической картографии.

Анализируя искаженность карты, можно не только установить наличие или отсутствие картографического искажения того или иного вида, но и измерить величины этих искажений. Такую зада­чу решают, вычислив показатели искажений.

Показатель искажения длинm имеет особые обозначения, если он направлен по меридиану (m), по параллели (n). Самый большой показатель искажения длин у данной точки обозначают латинской буквой а, а наименьший — буквой b. Сами же взаимно перпенди­кулярные направления, по которым действуют наибольший и наи­меньший показатели искажения длин, называют главными направлениями.

За показатель искажения углов между линиями картографичес­кой сетки принимают величину отклонения их от 90° и обозначают его греческой буквой e (эпсилон).

e = q— 90°,

где q (тэта) — измеренный на карте угол между ме­ридианом и параллелью.

В точке, где угол пересечения меридиана и параллели оста­ется на карте прямым, углы между другиминаправлениями могут быть измененными на карте, поскольку в каждой данной точке величина искажения углов может изменяться с переменой направ­ления.

За общий показатель искажения углов w (омега) принима­ют наибольшее искажение угла в данной точке, равное разности его величины на карте и на поверхности земного эллипсоида (или шара). При известных показателях a и b величину w узнают по формуле:

Sin w = a + b

А — b

Показатель искажения площадей (р) вычисляют как произве­дение наибольшего и наименьшего показателей искажения длин в данном месте карты:

р = а b

Главные направления в данной точке карты могут совпадать с ли­ниями картографической сетки, но могут с ними не совпадать. Тог­да показатели а и b по известным m и n вычисляют по соответствующим фор­мулам.

Показатель искажения форм (k) зависит от различия наибольше­го (а) и наименьшего (b) показателей искажения длин в данном месте карты и выражается формулой:

K = а/b

Виды искажений и их величину в конкретном месте карты можно наглядно отобразить с помощью эллипсов искажений.

Эллипса­ми искажений называют изображенные на карте геометриче­ские фигуры (эллипсы или круги), формы и размеры которых соот­ветствуют видам и величине искажений, имеющихся в центральной точке фигуры.

По одному из направлений растяжение будет максимальным (большая ось эллипса), по перпендикулярному ему - минималь­ным (малая ось). По всем остальным направлениям масштаб бу­дет иметь промежуточное значение.

Направления в конкретной точке на карте, по одному из кото­рых масштаб длин имеет наибольшее, а по другому — наименьшее значение, называются главными направлениями. Если необхо­димо определить направление и степень растяжения или сжатия географического объекта в конкретном месте на карте, надо в данной точке построить эллипс искажений.

Для этого рассчитывают дополнительный параметр: угол меж­ду осью эллипса и меридианом данной точки b :

Величина искажений зависит не только от территориального охвата карты, но и от способа переноса изображения с глобуса на плоскость, т.е. от картографической проекции.

Характер распределения искажений на карте можно устано­вить, не прибегая к вычислениям соответствующих показателей. Для этих целей существуют макеты изокол. Это уменьшенное изображение карт с нанесенными на них линиями, соединяющи­ми точки с одинаковыми показателями искажений . Интерполируя между изоколами, можно определить величину ис­кажений в любой точке на карте. Для каждого вида проекции име­ются характерные только ей изоколы длин, площадей, углов.

Можно также использовать таблицы искажений, в которых приведены величины

а, b , р и k для узловых точек картографи­ческой сетки. Величина того или иного показателя для цент­ральной точки объекта может быть получена интерполировани­ем между узловыми точками.

Лекция № 3