Приемы математико-картографического моделирования
Формализованное картографическое изображение хорошо приспособлено для математического анализа. Как упоминалось выше, каждой точке карты с координатами х и у поставлено в соответствие лишь одно значение картографируемого параметра г, что позволяет представить изображение данного явления как функцию z — F(x,y). В других случаях картографическое изображение удобно представить как поле случайных величин и воспользоваться для его анализа вероятностно-статистическими методами.
В принципе почти все разделы математики применимы для обработки и анализа картографического изображения. Проблема лишь в том, чтобы точно подобрать математическую модель и, главное, дать надежное содержательное истолкование результатам моделирования. Достаточно прочно в картографический анализ вошли некоторые разделы численного анализа, многомерной статистики, теории вероятностей и теории информации.
Аппроксимации. Под аппроксимациями в математике понимают замену (приближение) сложных или неизвестных функций другими, более простыми функциями, свойства которых известны. Любую сложную поверхность (поле), изображенную на изолинейной карте, можно аппроксимировать, т.е. приближенно представить в виде
где/(f у) — некая аппроксимирующая функция, е — остаток, не поддающийся аппроксимации. Функцию/(х, у) можно далее разложить в ряд, представив уравнение поверхности в виде
где/(f, у) — компоненты разложения, которые предстоит опреде-
лить. В общем случае для этого с аппроксимируемой карты снимают ряд значений zn после чего составляют систему уравнений, решаемых совместно по способу наименьших квадратов, т.е. так, чтобы
Существуют разные способы аппроксимации. Это обычные алгебраические многочлены, ортогональные многочлены Чебышева и Лежандра, которые определенным образом упрощают вычисления, сплайн-функции и др. Не останавливаясь на особенностях математического аппарата, отметим, что во всех случаях задача сводится к тому, чтобы аппроксимирующее уравнение наилучшим образом описывало исходную поверхность, а сумма квадратов отклонений I е.2 была бы минимальна.
На рис. 12.16 показано последовательное улучшение аппроксимаций на примере несложных поверхностей. Аппроксимация 1-го порядка (линейное уравнение) дает плоскость, отражающую только общий уклон поверхности, это очень грубое, слишком общее приближение. Поверхность 2-го порядка уже больше похожа на исходную модель, а аппроксимация 3-го порядка (кубическое уравнение) дает достаточно хорошее приближение к исходной поверхности.
Тригонометрические функции позволяют описывать сложные, сильно расчлененные поверхности, а сферические функции применяют, если при вычислениях нельзя пренебречь кривизной земной поверхности. Аппроксимация с помощью двойных рядов Фурье, представленная на рис 12.17, иллюстрирует постепенное усложнение поверхности за счет добавления двухмерных синусоид с разными фазами и амплитудами. Компьютерное моделирование позволяет выполнять подобные аппроксимации для поверхностей любой сложности, вычисляя уравнения высокого порядка, содержащие порой несколько десятков членов разложения.
В исследовательской практике аппроксимации используют для аналитического описания поверхностей (полей), изображенных на картах, и выполнения с ними различных действий: суммирования, вычитания, интегрирования и дифференцирования, для подсчета объемов тел, ограниченных этими поверхностями, и решения множества других задач. Одно из направлений использования аппроксимаций — разложение поверхностей на составляющие, что позволяет выделять и анализировать нормальные и аномальные факторы развития и пространственного размещения явлений (см. разд. 13.2).
230 Глава XII Методы использования карт
Приемы математико-картографического моделирования 231
Рис. 12.16.Аппроксимации поверхностей:
а — блок-диаграмма исходной поверхности; б, в, г — блок-диаграммы аппроксимирующих поверхностей соответственно I, 2 и 3-го порядков.
Рис. 12.17.Схема тригонометрической аппроксимации поверхности с помощью последовательного наложения двухмерных синусоидальных волн (по Дж. Дэвису).
Приемы математической статистики. Эта группа приемов математико-картографического моделирования предназначена для изучения по картам пространственных и временных статистических совокупностей и образуемых ими статистических поверхностей.
232 Глава XII. Методы использования карт
Приемы математико-картографического моделирования 233
Рис. 12.18.Фрагмент карты рельефа (а) с сеткой точек регулярной выборки (выходы сетки отмечены на рамке), гистограмма и кривая распределения высот (б): со — частость; h — высоты рельефа.
Статистический анализ картографического изображения преследует главным образом три цели:
♦ изучение характеристик и функций распределения явления;
♦ изучение формы и тесноты связей между явлениями;
♦ оценка степени влияния отдельных факторов на изучаемое явление и выделение ведущих факторов.
В основу всякого статистического исследования кладется выборка, т.е. некоторое подмножество однородных величин я., снятых с карты по регулярной сетке точек (систематическая выборка), в случайно расположенных точках (случайная выборка), на ключевых участках (ключевая выборка) или по районам (районированная выборка).
Выборочные данные группируют по интервалам, составляют гистограммы распределения (рис. 12.18) и затем вычисляют различные статистики — количественные показатели, характеризующие пространственное распределение изучаемого явления. Наиболее употребительные показатели — среднее арифметическое, среднее взвешенное арифметическое, среднее квадратическое, дис-
Рис. 12.19.Карты явлений и поле корреляции.
А — карта испарения с суши (мм/год) для территории Республики Коми; В — карта средней годовой температуры воздуха (°С) для той же территории.
персия, вариация и др. Кроме того, с помощью специальных показателей (критериев согласия) можно оценить соответствие данного конкретного распределения тому или иному теоретическому закону распределения. Например, установить, согласуется ли эмпирическое распределение высот рельефа с кривой нормального распределения, как это видно на рис. 12.18, или подчиняется какой-то иной функции.
Другая типичная исследовательская задача — оценка взаимосвязи между явлениями — решается с помощью хорошо разработанного в математической статистике аппарата теории корреляции. Для этого необходимо иметь выборки по сравниваемым явлениям, показанным на картах разной тематики (например, А и В). Значения а. и Ь. берут в одних и тех же /-х точках, т.е. строго скоординировано, и затем строят график поля корреляции (рис. 12.19).
Если поле корреляции может быть аппроксимировано прямой, которая называется линией регрессии, то приступают к вычислению коэффициента парной корреляции г. Его числовые значения заключены в интервале +1 > г > — 1. При г равном +1 или —1 существует функциональная прямая или обратная связь. Если г близок к 0, то связь между явлениями отсутствует, а при г > |0,7| связь считается существенной. Коэффициент корреляции рассчитывают по формуле
234 Глава XII. Методы использования карт
Приемы математико-картографического моделирования 235
где а. и Ь. — выборочные данные, полученные по картам А и В; п — объем выборки (число пар данных); Ма и Мь — соответствующие значения средних, а оаи оь — средних квадратических.
236 Глава XII. Методы использования карт
где ра. и ph. — ранги значений, полученных соответственно по картам А и В, т.е. их порядковые номера в возрастающей последовательности (1, 2, 3 и т.д.), an — объем выборки.
По смыслу у аналогичен коэффициенту парной корреляции г, он изменяется в интервале от —1 до +1. При этом не требуется больших объемов выборки, расчеты можно выполнять даже при п = 3. К тому же не нужны точные количественные значения й и Ьр достаточно знать их ранги. Все это удобно для работы с картограммами, где используются интервальные шкалы, а объем выборки ограничен числом административных районов.
Аппарат теории корреляции достаточно разнообразен, в нем есть показатели, удобные для анализа взаимосвязей по картам ареалов (где явления характеризуются только двумя состояниями: «есть» и «нет»), по картам качественного фона (где каждое явление имеет много состояний, но не охарактеризовано количественно). Существуют коэффициенты для расчета криволинейных зависимостей и связей между тремя явлениями (коэффициенты множественной корреляции) и т.п.
Расчет корреляций дает основу для более сложных видов анализа: регрессионного, дисперсионного, факторного и др. Часто при исследованиях ставится задача выделить основные факторы, определяющие развитие и размещение того или иного явления. Эту задачу решает многомерный факторный анализ. Он позволяет свести к минимуму (к трем-четырем главным факторам) большие совокупности исходных показателей, характеризующих сложное явление. Уравнение факторного анализа имеет вид
где а — исходные показатели;^ — выделенные главные факторы, дающие синтетическую оценку изучаемого явления; / — «вес» каждого фактора в этой синтетической оценке («факторная нагрузка»); ер — остаток, характеризующий неучтенные отклонения.
Приемы теории информации. Эти приемы используют для оценки степени однородности и взаимного соответствия явлений, изучаемых по картам.
Речь идет об основной функции теории информации — энтропии. В термодинамике энтропия характеризует степень беспорядка в физической системе, в теории связи — степень неопределенности
Приемы математико-картографинеского моделирования 237
передаваемых сообщений, а в картографическом анализе эта функция оказалась довольно удобной для оценки степени однородности/ неоднородности (разнообразия) картографического изображения.
Энтропией Е (А) некоторой системы А называется сумма произведений вероятностей со/ различных состояний этой системы на логарифмы вероятностей, взятая с обратным знаком
В теории информации принято брать логарифмы вероятностей при основании 2, что связано с двоичной системой счисления. Смысл функции не изменится, если пользоваться десятичными или натуральными логарифмами. Функция Е(А) остается неотрицательной, она обращается в нуль, когда на карте изображен только один контур или выдел (т.е. изображение совершенно однородно), и монотонно возрастает с увеличением числа контуров п. Это свойство функции энтропии позволяет количественно характеризовать неоднородность картографического изображения (рис. 12.21), понимаемую как разнообразие контуров и неравномерность их распространения по площади (различие величин со,.).
Рис. 12.21.Увеличение энтропии Е{А) с возрастанием числа контуров на карте (а) и изменением соотношения их площадей (б). |
Кроме того, информационные функции используют для оценки степени взаимного соответствия (совпадения) контуров на разных картах. В этом случае они выполняют роль своеобразных показателей взаимосвязи явлений наподобие коэффициентов корреляции.
Изучение структуры 239
Глава XIII
Исследования по картам
Способы работы с картами
Рассмотренные в предыдущей главе технические приемы используют для работы с отдельными картами либо с сериями карт и комплексными атласами. Исследования по картам выполняют для определения размещения и пространственно-временной структуры явлений и процессов, их взаимных соотношений и связей, выявления тенденций развития и динамики, для получения всевозможных количественных характеристик и оценок, проведения районирования и классификаций, прогноза изменений во времени и пространстве.
Способы работы с картами подразделяют следующим образом.
Анализ отдельной карты
♦ Изучение картографического изображения без его преобразования, т.е. анализ карты в том виде, в каком она есть.
♦ Преобразование картографического изображения с целью приведения его в вид, более удобный для данного конкретного исследования.
♦ Разложение картографического изображения на составляющие — особый вид преобразования, применяемый для выделения нормальной и аномальной (фоновой и остаточной) компонент развития и размещения явлений и процессов.
Анализ серий карт
♦ Сравнение карт разной тематики с целью установления взаимосвязей и зависимостей между явлениями.
♦ Сопоставление разновременных карт для изучения динамики и эволюции явлений и процессов, составления прогнозов их развития во времени.
♦ Изучение карт-аналогов для обнаружения общих закономерностей распространения явлений и процессов на разных территориях.
Исследования по картам, как и любые другие, включают несколько этапов:
♦ постановка задачи — формулирование цели, выделение подзадач, определение требований к точности;
♦ подготовка к исследованию — выбор картографических источников, методов, технических средств, алгоритмов и т.п.;
♦ собственно исследование — получение предварительных, а затем окончательных результатов, их оценка, создание новых карт;
♦ интерпретация результатов — содержательный анализ, формулирование выводов и рекомендаций, оценка их надежности.
Исследования по картам — это всегда более или менее формализованная процедура. На всех этапах ей должны сопутствовать содержательный географический анализ получаемых результатов, соотнесение их с реальной ситуацией и, если необходимо, корректировка самой процедуры исследования.
Изучение структуры
Изучение по картам структуры явлений и процессов — это выявление и анализ их элементов, размещения в пространстве, конфигурации, порядка (уровня) и иерархии. Конечная цель исследования всегда состоит в познании пространственной организации геосистем, их генезиса, в раскрытии механизма функционирования.
Один из наиболее информативных способов изучения структуры — анализ конфигурации картографических образов, т.е. изучение геометрического рисунка изображения. По внешнему облику объекта часто можно судить о его морфологии, генезисе, о факторах, сформировавших тот или иной объект. На рис. 13.1 показаны некоторые типичные конфигурации географических объектов, по которым можно сделать предположения об их генезисе. Так, параллельный рисунок гидрографической сети, скорее всего, свидетельствует о системе трещиноватости того же простирания, которой подчинены речные долины, а радиальное растекание водотоков — о куполообразном тектоническом поднятии. Древовидная конфигурация почвенных контуров означает их приуроченность к долинам рек, а
240 Глава XIII. Исследования по картам
Изучение структуры
Рис. 13.1. Типичные конфигурации объектов на тематических картах природы.
а — параллельный рисунок (гидросеть Приобского плато); б — древовидный рисунок (почвенные ареалы в долине р. Игрит); в — решетчатый рисунок (разломы в Предбайкалье); г — веерный рисунок (разрывные нарушения в Восточном Саяне); д — веерный рисунок (дельта р. Селенги); е — радиальный рисунок (речная сеть на Путоранском сводовом поднятии); ж — дугообразный рисунок (пойменные гривы в излучине р. Вилюй); з — кольцевой рисунок (тектонические структуры в Казахстане); и — пятнистый рисунок (пятна талых и мерзлых пород в Якутии).
веерный рисунок характерен для природных объектов, формирующихся на дельтах, и т.д.
Картографический метод позволяет эффективно выявлять пространственные закономерности и аномалии, т.е. типичные, устойчивые, широко распространенные структуры и отклонения от них. Карты, обладающие большой обзорностью, как бы специально предназначены для выявления общих закономерностей глобаль-
Рис. 13.2.Основные линеаменты северо-западного и северо-восточного простираний, выявляемые по физической карте Севера Русской равнины.
ного и регионального уровней. В значительной степени этому способствует и генерализация, освобождающая изображение от мелочей, деталей и выпукло проявляющая главные, наиболее существенные его черты.
Напомним, что именно благодаря обзорности карт были установлены такие важнейшие закономерности географической структуры, как зональность, сеть планетарных линеаментов, единая система срединно-океанических хребтов и рифтовых зон, структура центральных мест и т.п. Глобальные системы линеаментов можно обнаружить при внимательном анализе карт любого масштаба. На карте Севера Русской равнины (рис. 13.2) отчетливо проявлена система северо-западных и северо-восточных линеаментов. Им подчиняются береговые линии морей и озер, направления водоразделов и речных долин. Таковы очертания Кольского полуострова, берега Белого и Печорского морей, вытянутые озера Карелии, долины рек Северной Двины, Онеги, Мезени, Вашки, Сухоны, Вычегды, Печоры, Усы, Тиманский кряж, Северный Урал, хребет Пай-Хой и другие крупные оро- и гидрографические элементы. Все это — отражение системы трещиноватости,
16-4886
Рис. 13.3.Речная сеть в районе Транстиманской дислокации. Точечным пунктиром показано простирание дислокации.
охватывающей всю планету и обязанной своим происхождением ротационным напряжениям, возникающим на земном шаре. Интересно, что аналогичные системы северо-западных и северо-восточных линеаментов можно видеть и на картах других планет земной группы. Это общая закономерность планетарного рельефа.
На фоне закономерностей нередко удается подметить аномалии, и глаз опытного исследователя сравнительно легко их распознает. В качестве иллюстрации на рис. 13.3 показана уникальная для Севера Русской равнины широтная орографическая аномалия в полосе между 65° и 66° с.ш. Словно глубокая борозда прорезает Тиманский кряж, и в ней расположены долин рек Пезы, Циль-мы, Печоры. Она аномальна по отношению к господствующим здесь северо-западным линеаментам. Так проявлена в рельефе глубинная Транстиманская тектоническая дислокация.
Изучая структуру явлений, часто стараются выявить основные и второстепенные компоненты. Отделить аномалии от фона помогает операция разложения картографического изображения на со-ставляющие, которую можно выполнить с помощью усреднения, аппроксимации или фильтрации. В задаче о разложении принимается, что показанное на карте явление z представляет собой результат совокупного влияния основного, наиболее значительного, фонового фактора £., зависящего от причин регионального, а иногда даже глобального масштаба, и дополнительных факторов, накладывающихся на общий фон и усложняющих картину, — их называют остаточными io или аномальными
Рис. 13.4.Графическое разложение поверхности на составляющие.
о — гексагональная сетка, по которой осуществляется усреднение; б — исходная поверхность с отметками высот; в — усредненная фоновая поверхность с осредненными значениями высот; г — остаточная поверхность с величинами отклонений исходной поверхности от фоновой.
Примерами могут служить ареалы повышенного радиационного загрязнения на фоне допустимых значений, локальные поднятия и опускания на фоне региональных тектонических движений, местные климатические особенности, накладывающиеся на зональные закономерности, и т.п.
Самый простой способ разложения — графическое осреднение. Для этого на исходной карте размещают сетку регулярных точек так, как показано на рис. 13.4, в центре каждой шестиугольной ячейки вычисляют значение скользящего среднего ц как среднего из значений вершин и центра ячейки: На изолинейной
карте, построенной по значениям z(/p отражена осредненная фоновая поверхность (рис. 13.4в),передающая главные, наиболее крупные черты структуры. Если далее в каждой точке взять разности между фактическим и осредненным значениями и про-
вести по ним изолинии, то получится остаточная поверхность, показывающая размещение аномалий, отклонений, второстепенных деталей (рис. 14.4г).
16*
244 Глава XIII. Исследования по картам
А б в
Рис. 13.5.Карта осадков теплого периода (в мм) на территории Республики Коми (а) и карты фоновой (б) и остаточной (в) поверхностей, полученные в результате аппроксимации уравнением 1-го проядка.
Аналогичный эффект разложения на составляющие достигается и при расчете аппроксимирующей поверхности и отклонений от нее фактической исходной поверхности. При этом предполагается, что фоновая составляющая описывается некоторой неслучайной функцией/(х, у), а неучтенные отклонения от нее е соответствуют остаточной поверхности. Иначе говоря, члены аппроксимирующего уравнения приравниваются к членам уравнения разложения на составляющие
На рис. 13.5 представлена карта осадков теплого периода года на территории Республики Коми и результаты ее разложения на фоновую поверхность 1 -го порядка и остаточную поверхность. Карта фоновой поверхности передает общее увеличение количества осадков в направлении на юго-восток, что может быть связано с трансформацией масс арктического воздуха по мере их продвижения в глубь материка. А карта остаточной поверхности показывает отклонения от этой закономерности, в частности резкое увеличение количества осадков на западных склонах Урала и в районе Тиманского кряжа.
Углубленное изучение структуры явлений нередко требует преобразования картографического изображения, т.е. трансформирования его с целью создания производных карт и получения по ним новой информации. Различают несколько видов преобразования.
| |
Рис. 13.6.Схематизация. Преобразование карты современного рельефа в карту морфоизогипс: а — современный рельеф; б — восстановленный «первичный» рельеф; точечным пунктиром показано обобщение некоторых горизонталей.
Вычленение, т.е. выделение на карте интересующих исследователя компонентов сложной геосистемы и снятие прочих деталей. Выделенные элементы предстают в наглядной иудобной для данного исследования форме, например в виде системы спрямленных элементов рельефа и гидрографии, как на рис. 13.2.
Схематизация — устранение второстепенных деталей и представление картографического изображения в упрощенном виде. Так, при схематизации гипсометрического изображения и снятии деталей эрозионного расчленения проявляется основная первично-тектоническая структура рельефа (рис. 13.6).
Детализация — преобразование, противоположное схематизации, оно имеет целью сделать изображение более подробным. Например, на топографической карте можно детализировать изображение эрозионной сети, проведя по изгибам горизонталей тальвеги временных водотоков.
Континуализация — замена дискретного картографического изображения непрерывным, что обычно связано с введением понятия «географическое поле». Например, карту тектонических трещин преобразуют в псевдоизолинейную карту поля трещинова-
Глава XIII. Исследования по картам
Изунение структуры
Рис. 13.7.Континуализация.
а — преобразование карты трещин широтного простирания в карту поля трещиноватости (км/км2); б — преобразование карты размещения тетеревиных птиц в карту их плотности; значками показано число птиц, а на изоли-нейной карте — их плотность на 1 км2.
тости (рис. 13.7), карту расселения — в карту плотности населения, карту размещения лесов — в карту лесистости и т.п. Такие преобразования дают представление об абстрактном рельефе явления, на производных картах хорошо читаются максимумы и минимумы распределения, их удобно коррелировать с другими изо-линейными картами.
Дискретизация — обратное преобразование, имеющее целью перевод непрерывного изображения в дискретную форму. Хорошим примером может служить интерполирование по сетке точек при создании цифровых моделей по картам с изолиниями или картограммам.
Средствами подобных преобразований часто служат графические операторы— сетки равномерно или неравномерно расположенных точек, геометрических ячеек, в каждой из которых выпол-
Рис. 13.8. Операторы (сетки и палетки), применяемые для преобразования картографического изображения.
а — регулярные неперекрывающиеся операторы: 1 — квадратная сетка; 2 — гексагональная сетка; 3 — радиально-концентрическая палетка; б — регулярные перекрывающиеся (скользящие) операторы: 4 — скользящие кружки; 5 — перекрывающиеся шестиугольники; в — нерегулярные операторы: 6 — случайно выбранные квадраты; 7 — избирательно взятые кружки.
няют пересчет исходных данных и получают производные показатели. Если ячейки (квадраты, кружки и др.) перекрываются по площади, то их называют скользящими операторами. Примеры наиболее типичных операторов показаны на рис. 13.8.
Преобразования подразделяют на однократные и многократные. В свою очередь, многократные преобразования бывают параллельными и последовательными. При параллельных преобразованиях по исходной карте А получают сразу несколько производных карт Л —> (В, С, ... , N). Например, по топографической карте строят
248 Глава XIII. Исследования по картам
карты расчленения рельефа, уклонов, экспозиции склонов и др. В других случаях карту А последовательно преобразуют в карту В, ее, в свою очередь, — в карту С и т.д.: А -> В -> С -> ... -> N. Допустим, по карте рельефа сперва строят карту глубины расчленения, затем последовательно — производные карты интенсивности смыва, эрозионной опасности, почвозащитных мероприятий и т.п. При изучении структуры сложных явлений часто применяют древовидные преобразования, сочетая параллельные и последовательные варианты.
Изучение взаимосвязей
Анализ и количественная оценка внутренних и внешних связей и взаимозависимостей между геосистемами, их подсистемами и отдельными компонентами — одна из центральных задач в науках о Земле. В ее решении картографическому методу принадлежит коронная роль благодаря поистине неисчерпаемому разнообразию карт всевозможной тематики. По ним удобно оценивать изменчивость связей в пространстве, выделять основные и второстепенные зависимости, а также выполнять индикационные исследования, т.е. предсказывать размещение одних (индицируемых) явлений по другим (индикаторам).
Для изучения взаимосвязей используют широкий арсенал технических приемов. Самые простые среди них — визуальный анализ и описание взаимосвязей. Из графических приемов эффективно совмещение контуров анализируемых явлений на общей основе— графический оверлей, в результате чего выявляют совпадающие, частично совпадающие и совсем не совпадающие контуры. Они трактуются как отражение взаимосвязей различной силы.
Многие зависимости наглядно видны на комплексных профилях и разрезах, совмещенных розах-диаграммах (см. рис. 12.6 и12.7), составленных по сериям карт, а также на блок-диаграммах и мета-хронных диаграммах.
Конечно, наилучшие возможности для изучения и количественной оценки взаимосвязей явлений предоставляют аппарат теории корреляции и информационный анализ: коэффициенты корреляции, показатели взаимного соответствия и др. (см. разд. 12.7).
Следует иметь в виду одну важную особенность картографического метода исследования.
Рис. 13.9. Сходство картографических изображений при отсутствии причинной связи между явлениями (Южная Армения). а — плотность сельского населения; б — цветение картофеля.